不等式的基本性质ppt课件一
合集下载
不等式的基本性质 课件
a b 0 a b;a b 0 a b;a b 0 a b.
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”;
2、要会用自然语言描述上述基本性质；
3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
不等式的基本性质
【知识回顾】
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法:
(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
探究！
类比等式的基本性质，不等 式有哪些基本性质呢？
例1已知a b 0，c d 0,求证 ab . dc
例2、已知a>b>0,C<d<0,e<0,求证：
e
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ac bd
【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能 自己“制造”性质来进行．
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）； 单向性 （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）; 双向性 ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc; ab0,cd 0acbd; （5）ab0,nN,n1an bn; （6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”;
2、要会用自然语言描述上述基本性质；
3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
不等式的基本性质
【知识回顾】
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法:
(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
探究！
类比等式的基本性质，不等 式有哪些基本性质呢？
例1已知a b 0，c d 0,求证 ab . dc
例2、已知a>b>0,C<d<0,e<0,求证：
e
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ac bd
【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能 自己“制造”性质来进行．
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）； 单向性 （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）; 双向性 ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc; ab0,cd 0acbd; （5）ab0,nN,n1an bn; （6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
不等式的基本性质 课件
1)·(a2-a+1).
题型三
利用不等式的基本性质求范围
【例 3】 已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为
, 的取值范围为
.
解析：∵x-y=x+(-y),∴需先求出-y 的范围.
1
1
∵ = · , ∴ 需先求出 的范围.
1
1
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
4
2
4
4
2
4
π
-
π
< .
∴− ≤
2
2
2
-
π
-
< 0.
< 0. ∴ − ≤
又 α<β,∴
222Fra bibliotekππ π -
+
的取值范围为 - ,0 .
,
的取值范围为 - ,
故
2
2 2 2
2
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
n
(6)如果 a>b>0,那么 >
(∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.
由a>b 就可知
答案：C
2 +1
>
, 故正确;选项
题型三
利用不等式的基本性质求范围
【例 3】 已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为
, 的取值范围为
.
解析：∵x-y=x+(-y),∴需先求出-y 的范围.
1
1
∵ = · , ∴ 需先求出 的范围.
1
1
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
4
2
4
4
2
4
π
-
π
< .
∴− ≤
2
2
2
-
π
-
< 0.
< 0. ∴ − ≤
又 α<β,∴
222Fra bibliotekππ π -
+
的取值范围为 - ,0 .
,
的取值范围为 - ,
故
2
2 2 2
2
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
n
(6)如果 a>b>0,那么 >
(∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.
由a>b 就可知
答案：C
2 +1
>
, 故正确;选项
不等式的基本性质PPT课件
事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
人教初中数学七下 9.1.2 不等式的性质课件1 【经典初中数学课件 】
【例】利用不等式的性质解下列不等式：
(3) 2 x﹥50；
3
不等式的两边都除以
2
，不等号的方向不变，得
3
x﹥75
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
０
75
【例】利用不等式的性质解下列不等式： (4)-4x﹥3.
不等式两边都除以_-_4__，不等号的方向_改__变___，得
x﹤－ 3 4
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
B
C
D
E
三、巩固提高
一、平面上利用有序数对确定物体位置的方法
• 1、行列定位法： 例如： 座位
• 2、方格纸定位法： 例如： 棋盘
• 3、经纬定位法 例如：地图
• 4、区域定位法 例如：探究四的简图
四、概括整合
生活中还有哪些确定位置的其他方法？
（1）如果全班同学站成一列做早操，现在教师 想找某个同学，是否还需要用2个数据呢？
根据发现的规律填空:当不等式两边加或减 同一个数(正数或负数）时,不等号的方向_不__变___.
(3) 6＞2, 6×5__﹥__2×5 , 6×（-5）_﹤___2×（-5） ;
(4)–2<3, (-2)×6_﹤__3×6 , (-2) ×（-6）_﹥__3×（-6 ） 当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向_不__变__; 而乘同一个负数时,不等号的方向_改__变__;
这个不等式的解集在数轴上的表示为：
0
33
【例】利用不等式的性质解下列不等式： (2)3x<2x+1； 解：不等式两边都减去_2_x__，不等号的方向_不__变__，得
3x-2x﹤2x+1-2x x﹤1
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
基本不等式(共43张)ppt课件
解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1
7.不等式的基本性质PPT课件(沪科版)
知识总结
不等式的基 不等式的两边都乘以(或除以)同 本性质3 一个负数，不等号的方向改变．
变号
不等式的基 本性质4
不等式的基 本性质5
如果a＞b，那么b＜a 如果a＞b，b＞c，那么a>c
变号
注意传递 性
方法规律总结： 不等式的基本性质与等式的基本性质的区分和联系． 区分：等式两边都乘(或除以)同一个负数时，等式仍然
性质5 如果a＞b， b＞c那么a＞c. 例如，由∠A＞∠B，∠B＞30°，可得∠A＞30°.
(来自《教材》)
例4•〈绵阳〉设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的 物体，现用天平称两次，情况如图所示，那 么▲，●，■这三种物体按质量从大到小排列 应为( ) C
•A．■，●，▲
B．▲，■，●
•C．■，▲，●
cc
(来自《教材》)
知2－讲
例2 已知实数a、b ，若a＞b ，则下列结论正确
的是( D )
A．a－5＜b－5
a
C．3
＜
b 3
B．2＋a＜2＋b D．3a＞3b
知2－讲
导引：不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号 的方向不变，不等式的两边同时除以或乘以一 个正数，不等号的方向也不变，所以A、B、C 错误，选D.
• 这样，对于不等式a＞b，两边同乘以－3， 会得到什么结果呢？
知3－导
×(－1)
×3
a＞b a×(－1)＜b×(－1) a×(－3)＜b×(－3).
×(－3)
3. 如果a＞b，c＜0，那么ac与bc有怎样的大小关系？
(来自《教材》)
归纳
知3－导
性质3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负 数，不等号的方向改变.即 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，a ＜ b .
《不等式的基本性质》PPT课件 (共23张PPT)
先×(-3),再+2
先再
1.已知x>y,比较2-3x与2-3y的大 前 定
小. 先×(-3),再+2
后不 比等
×(a-3)
较号
2.已知m<<n,且(a-3)m> >(a-3)n,求a的范
围.
×(a-3)
解: 由题意可得:a-3<0(不等式的基本性质3)
∴a<3(不等式的基本性质2)
例1：已知x>y，试比较－2x和－2y的大小，并 说明理由
一个不为0的数，所得结果仍是等式
如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）
探索与发现
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
(1)6>4 6+2__＞__4+2
6－2__＞__4－2
(2) –1<3 -1+2__<__3+2 -1－3_<___3－3
发现:当不等式两边加上或减去同一个 数时,不等号的方向___不__变___
变式1:比较a－2x和a－2y的大小
变式2:比较 a 2x 和 a 2 y 的大小
3
3
变式3: 若x>y,且(a－3)x＜(a－3)y,求a的取值范围。
变式4：若x>y,比较(a-3)x与(a-3)y的大小？
例2：由 5 >2可得（ 5）2 >2 5 ，
不等式两边同时乘了
，
你能由 5 >2，推出 5 <2Байду номын сангаас5吗？
×(-3)
(6)若m>>-3,则-3m < 9;
×(-3)
(7)若a≥b,则2a ≥ 2b; (8)若-a＜b,则a >-b.
不等式的基本性质ppt课件
你有什么发现？ 当不等式的两边同乘同一个正数时,不等号的方 向不__变__;而乘同一个负数时,不等号的方向_改__变__.
8
不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所
得的不等式仍成立; （不等号方向不变）
不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必 须把不等号的方向改变，所得的不等式成立.
（不等号方向改变）
当不等式两边加或减去同一个数时,不等号的方向_不__变__
5
不等式的两边都加上（或 都减去）同一个数，所得到的 不等式仍成立. 即 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
6
不等式的基本性质2的证明: 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
23
例5、若 x y ，且 (a 3)x (a 3) y 求 a 的取值范围。
解：∵x＜y， （a-3）x＞（a-3）y ∴a-3＜0 （不等式性质3） ∴a＜3 （不等式性质2）
24
例6、某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之 间，买3个这样的键盘需要多少钱？（用适当的 不等式表示）
依据__不__等__式__的__基_本__性__质. 3
(2)若 -2 x≤1,两边同除以-2,得X_≥__－__1_/_2_,依据 _不__等__式__的__基__本性质3 ；
（3）若-m>5，则m < -5.（依据 不等式的基本性）质3 （4）已知x>y，那么－3x < －3y
（依据 不等式的基本性质3 ）
解：设计算机键盘的单价为x元， 由题意得：
60≤X≤70
8
不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所
得的不等式仍成立; （不等号方向不变）
不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必 须把不等号的方向改变，所得的不等式成立.
（不等号方向改变）
当不等式两边加或减去同一个数时,不等号的方向_不__变__
5
不等式的两边都加上（或 都减去）同一个数，所得到的 不等式仍成立. 即 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
6
不等式的基本性质2的证明: 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
23
例5、若 x y ，且 (a 3)x (a 3) y 求 a 的取值范围。
解：∵x＜y， （a-3）x＞（a-3）y ∴a-3＜0 （不等式性质3） ∴a＜3 （不等式性质2）
24
例6、某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之 间，买3个这样的键盘需要多少钱？（用适当的 不等式表示）
依据__不__等__式__的__基_本__性__质. 3
(2)若 -2 x≤1,两边同除以-2,得X_≥__－__1_/_2_,依据 _不__等__式__的__基__本性质3 ；
（3）若-m>5，则m < -5.（依据 不等式的基本性）质3 （4）已知x>y，那么－3x < －3y
（依据 不等式的基本性质3 ）
解：设计算机键盘的单价为x元， 由题意得：
60≤X≤70
不等式的基本性质(共16张PPT)
复习回顾
（1）什么叫做不等式？
例如： 5x12 x5
6
4
（2）等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言
表示吗？
问题：研究等式性质的基本思路是什么？
运算的 不变性
探究1 不等式的性质1
为了研究不等式的性质，我们可以先从一些数字的运算
开始.用“＜”或“＞”完成下列两组填空.
① 5＞3 5+2 3+2 , 5+(-2)
（1）x-5<11 ； （2）3x+3>2x+7 .
巧记口诀（拍掌读口诀） 加减都用性质1，不等号方向不改变 乘除正数性质2，不等号方向还不变 乘除负数性质3，不等号方向必改变
运用新知：
例1： 设a>b,用“<”或”>”填空,并说明依据不等式的哪条性质:
(1) a +12 b +12
(2) b -10 a -10
(3) 3a
3b
(5)-3.5b+1 -3.5a+1
不等式性质2： 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方 向不变.
数学语言： 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，a/c＞b/c .
问题3：类似等式性质的符号语言表示，你能把不等式的性质2用符号语言表示吗？
针对练习：
（1）在不等式-8＜0的两边都除以-8得-8÷（-8） （2）在不等式-3＞-4的两边都乘以-3可得 （3）在不等式a＞b的两边都乘以-1可得
-2 ×（-3）____ 3 ×（-3） -2 ÷（-3）_____ 3 ÷（-3）
课堂检测： 加减都用性质1，不等号方向不改变
(1)不等式的性质是什么?不等式性质与等式性质的联系与区别是
不等式的基本性质 课件
不等式的基本性质
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
类比等式的基本性质，不等式有哪些基本 性质呢？
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是 正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
以性质（3）为例给出证明：
（3）a b a c b（c 可加性）;
证明：（1）先证明：a b ac bc
a b a-b 0
ab .
dc
证明：1 1 c d c d 0 1 1 0
d c dc
dc
1 1 0又a b 0 a b 0
dc
dc
故 a,c<d<0,e<0,求证：
a
e
c
b
e
d
证明： a b 0,c d 0a c b d
则 1 1 bacd 0 a c b d (a c)(b d )
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）; （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）;
单向性 双向性
ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc;
ab0,cd 0acbd;
（5）ab0,nN,n1an bn;
（6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
例 4．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋2 β，α－2 β的取
值范围．
解：∵－π2≤α≤π2， －π2≤β≤π2， ∴－π≤α＋β≤π.∴－π2≤α＋2 β≤π2. 又∵－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2， ∴－π≤α－β≤π.∴－π2≤α－2 β≤π2. ∴α＋2 β、α－2 β的取值范围均为[－π2，π2]．
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
类比等式的基本性质，不等式有哪些基本 性质呢？
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是 正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
以性质（3）为例给出证明：
（3）a b a c b（c 可加性）;
证明：（1）先证明：a b ac bc
a b a-b 0
ab .
dc
证明：1 1 c d c d 0 1 1 0
d c dc
dc
1 1 0又a b 0 a b 0
dc
dc
故 a,c<d<0,e<0,求证：
a
e
c
b
e
d
证明： a b 0,c d 0a c b d
则 1 1 bacd 0 a c b d (a c)(b d )
不等式的基本性质
（1）a b b a(对称性）; （2）a b,b c a （ c 传递性）; （3）abacb（ c 可加性）;
单向性 双向性
ab,cd acbd; （4）ab,c0acbc;ab,c0acbc;
ab0,cd 0acbd;
（5）ab0,nN,n1an bn;
（6）a b 0,nN ,n 1 n a n b.
例 4．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋2 β，α－2 β的取
值范围．
解：∵－π2≤α≤π2， －π2≤β≤π2， ∴－π≤α＋β≤π.∴－π2≤α＋2 β≤π2. 又∵－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2， ∴－π≤α－β≤π.∴－π2≤α－2 β≤π2. ∴α＋2 β、α－2 β的取值范围均为[－π2，π2]．
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：
50x 650 650 ＞12％， 当x＝14时，不等式不成
立，所以x＝14不是不等式的解。
1、比较a与a+2的大小； 2、比较2与2+a的大小。
1、解： ∵ 0＜ 2， ∴ a ＜ a+2 2、解：若a ＜0，则 2+a ＜2；
若a ＞ 0，则 2+a ＞ 2； 若a = 0，则 2+a = 2；
若x<y，且(a-3)x>(a-3)y， 求a的取值范围. 解：∵x<y，且(a-3)x>(a-3)y， ∴a-3<0（不等式的基本性质3）
② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变；
③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ；
（2）能正确应用性质对不等式进行变形；
注意事项
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数 时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定 范围的字母，应分情况讨论.
P9：习题1.2 第1、2、3题
∴a<3（不等式的基本性质2）
若x<y，且(a-3)x>(a-3)y， 求a的取值范围.
解：∵x<y，且(a-3)x>(a-3)y， ∴a-3<0（不等式的基本性质3） ∴a<3（不等式的基本性质2）
1、某商店先在广州以每件15元的价格购进某 种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的 价格购进同一种商品40件。如果商店销售这 些商品时，每件定价为x元，可获得大于12％ 的利润，用不等式表示问题中的不等关系， 并检验 x＝14（元）是否使不等式成立？
解: （1）根据不等式的性质1，两边都加上2得：
x－2＋2 ＞ 3＋2
即 x ＞5
（2）根据不等式的性质3，两边都除以－2得：
x ＜ 3 2
选择适当的不等号填空，并说明理由：
（1）若a<b , 则-a___>_-b, 则2-a__>__2-b；
（2）若x>y，则2x-1_>___2y-1; （3）若6 x ＜ 5x-1 ，
填空： 1、若x+1>0，两边同加上-1，
得__x_>_-_1____
（依据：不_等__式__的__基_本__性__质__2_）； 2、若 1 x≤ 1，两边同乘-3，
32
得 _x_≥___3____
2
（依据：不__等__式__的__基_本__性__质__3_）.
3、把下列不等式化成 x＜ a 或 x＞ a 的 形式： （1） x－2 ＞ 3 （2） －2 x ＞3
则x__<__-1
已知a>0，试比较2a与a的大小.
解：在数轴上分别表示2a和a
的点（a>0），如图.
a
a
0t;a.
思考：当a<0呢？ 当a=0呢？
试比较5a与3a 的大小。
解：∵ 5 ＞ 3
∴ 5a 3a
想想:这种解法对吗？如果正确，说 出它根据的是不等式的哪一条基本性 质；如果不正确，请说明理由。
不等式与等式只有一字之差，那么它们的性 质是否也有相似之处呢？
初 小 崭 百锋 出 试 露 尺芒 茅 牛 头 竿毕 庐 刀 角 头露
选择适当的不等号填空，并说明理由.
（1）若a>b,则2a _>__2b
（2）若a>b,则–a <___–b
（3）若a>-b，则a+b__>__0；
（4）若–a<b，则a__>__–b
答：这种解法不正确，因为字母 a的取值范
围我们并不知道。如果 a 0，那么 5a 3a ；
如果a 0，那么 3a 5a 。
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3; （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
本节重点
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是：
① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变；
§1.2 不等式的基本性质
读书改变命运 ！刻苦成 就事业 ！！态度决定一 切！！！
由a+5=b+5, 能得到a=b？ 由a-5=b-5, 能得到a=b？ 由5a=5b, 能得到a=b？ 由–8a=–8b, 能得到a=b？
由2x+a=y+a,能得到2x=y？
挑战“记忆”:
还记得等式的基本性质吗？
等式的性质1：等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，等式仍然成立. 等式的性质2：等式的两边都乘以（或除以） 同一个不为0的数，等式仍然成立.
50x 650 650 ＞12％， 当x＝14时，不等式不成
立，所以x＝14不是不等式的解。
1、比较a与a+2的大小； 2、比较2与2+a的大小。
1、解： ∵ 0＜ 2， ∴ a ＜ a+2 2、解：若a ＜0，则 2+a ＜2；
若a ＞ 0，则 2+a ＞ 2； 若a = 0，则 2+a = 2；
若x<y，且(a-3)x>(a-3)y， 求a的取值范围. 解：∵x<y，且(a-3)x>(a-3)y， ∴a-3<0（不等式的基本性质3）
② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变；
③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ；
（2）能正确应用性质对不等式进行变形；
注意事项
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数 时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定 范围的字母，应分情况讨论.
P9：习题1.2 第1、2、3题
∴a<3（不等式的基本性质2）
若x<y，且(a-3)x>(a-3)y， 求a的取值范围.
解：∵x<y，且(a-3)x>(a-3)y， ∴a-3<0（不等式的基本性质3） ∴a<3（不等式的基本性质2）
1、某商店先在广州以每件15元的价格购进某 种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的 价格购进同一种商品40件。如果商店销售这 些商品时，每件定价为x元，可获得大于12％ 的利润，用不等式表示问题中的不等关系， 并检验 x＝14（元）是否使不等式成立？
解: （1）根据不等式的性质1，两边都加上2得：
x－2＋2 ＞ 3＋2
即 x ＞5
（2）根据不等式的性质3，两边都除以－2得：
x ＜ 3 2
选择适当的不等号填空，并说明理由：
（1）若a<b , 则-a___>_-b, 则2-a__>__2-b；
（2）若x>y，则2x-1_>___2y-1; （3）若6 x ＜ 5x-1 ，
填空： 1、若x+1>0，两边同加上-1，
得__x_>_-_1____
（依据：不_等__式__的__基_本__性__质__2_）； 2、若 1 x≤ 1，两边同乘-3，
32
得 _x_≥___3____
2
（依据：不__等__式__的__基_本__性__质__3_）.
3、把下列不等式化成 x＜ a 或 x＞ a 的 形式： （1） x－2 ＞ 3 （2） －2 x ＞3
则x__<__-1
已知a>0，试比较2a与a的大小.
解：在数轴上分别表示2a和a
的点（a>0），如图.
a
a
0t;a.
思考：当a<0呢？ 当a=0呢？
试比较5a与3a 的大小。
解：∵ 5 ＞ 3
∴ 5a 3a
想想:这种解法对吗？如果正确，说 出它根据的是不等式的哪一条基本性 质；如果不正确，请说明理由。
不等式与等式只有一字之差，那么它们的性 质是否也有相似之处呢？
初 小 崭 百锋 出 试 露 尺芒 茅 牛 头 竿毕 庐 刀 角 头露
选择适当的不等号填空，并说明理由.
（1）若a>b,则2a _>__2b
（2）若a>b,则–a <___–b
（3）若a>-b，则a+b__>__0；
（4）若–a<b，则a__>__–b
答：这种解法不正确，因为字母 a的取值范
围我们并不知道。如果 a 0，那么 5a 3a ；
如果a 0，那么 3a 5a 。
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3; （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
本节重点
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是：
① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变；
§1.2 不等式的基本性质
读书改变命运 ！刻苦成 就事业 ！！态度决定一 切！！！
由a+5=b+5, 能得到a=b？ 由a-5=b-5, 能得到a=b？ 由5a=5b, 能得到a=b？ 由–8a=–8b, 能得到a=b？
由2x+a=y+a,能得到2x=y？
挑战“记忆”:
还记得等式的基本性质吗？
等式的性质1：等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，等式仍然成立. 等式的性质2：等式的两边都乘以（或除以） 同一个不为0的数，等式仍然成立.