高数下习题讲解1
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.73.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆1323222=+z x ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+ 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得R z 21=所以，Γ在zox 面上的投影曲线为.23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==（三）（1）、（2）联立消去x 得R z 21=所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D .习题7.82.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}|1,,='''=t t z t y t x {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x '''={}{}2023,2,13,2,1|0t t t t tt ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须s 与n 垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,s i n c o s 2,c o s |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .习题8.11.求下列函数的的定义域，并画出定义域的图形. （3）221yx z w --=；（4）19222222-++---=z y x z y x u .【解】（3）要使函数表达式有意义，必须满足 0122>--y x 即 122<+y x 故所求函数的定义域为(){}1|,22<+=y x y x D . （4）要使函数表达式有意义，必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-++≥---.01,09222222z y x z y x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤++.1,9222222z y x z y x 故所求函数的定义域为(){}91|,,222≤++<=z y x z y x D .3.求下列各极限. （1）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x 111lim3,2,1,,； （2）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0,； （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→； （4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→；（5）()()yx y x y x +-++→11lim220,0,； （6）()()2220,0,lim y x yx y x +→.【解】（1）因为函数()zy x z y x f 111,,++=是三元初等函数，其定义域为(){}0,0,0|,,≠≠≠=z y x z y x D ，且()D ∈3,2,1，所以三元函数()zy x z y x f 111,,++=在()3,2,1处连续，从而有 ()()611312111111lim3,2,1,,=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x . （2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0, ()()y x y x 1sinlim0,0,→=()()0001sin lim 0,0,=+=+→x y y x .【其中()()y x y x 1sinlim 0,0,→()()01sin lim 0,0,==→x y y x 均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→()()()e e xy xyxy xyy x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→1tan 10,0,1lim .（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→()()()0.lim 22220,0,=+-=→xy y x y x y x .【上述结论中用到12222≤+-y x y x 及()()0lim 0,0,=→xy y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,()()()()11lim 22220,0,+++++=→y x y x y x y x()()().lim 220,0,y x y x y x ++=→()().0210111lim 220,0,=⨯=+++→y x y x 【上述结论中用到()y x yx y x y x y x +=++≤++≤2220，()()()0lim 0,0,=+→y x y x 及夹逼准则】.（6）()()2220,0,lim y x y x y x +→()()0.lim 2220,0,=+=→y y x x y x .【上述结论中用到1222≤+yx x 及()()0lim 0,0,=→y y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】.4.证明极限()()4220,0,lim y x xy y x +→不存在.【证】（一）让动点()y x P ,沿直线0=y 趋于点()0,0O 时，()42200lim y x xy y x +=→000.l i m 4220=+=→x x x . （二）让动点()y x P ,沿抛物线x y =2趋于点()0,0O 时，()42202lim y x xy xy x +=→21.l i m 220=+=→x x x x x .习题8.21.证明：函数()444,y x y x f +=在原点()0,0处连续，但不存在偏导数()0,0x f '，()0,0y f '. 【证明】 （一）因为()()()()0,00,lim0,0,f y x f y x ==→，所以，()y x f ,在()0,0处连续.（二）因为()()x f x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0()xx x ∆-+∆=→∆00lim4440 xxx ∆∆=→∆0l i m 不存在，所以不存在偏导数()0,0x f '；由轮换对称性知，也不存在偏导数()0,0y f '. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.（1）x y y x z 33-=； （2）xy z ln =； （3）xy e z x sin =； （4）xy z arctan=； （5）()yxy z +=1； （6）2yxe z y=.【解】（1）323y y x x z -=∂∂；x y x yz 233-=∂∂ . （2）因y x z ln ln +=，故x x z 1=∂∂；yy z 1=∂∂. （3）xy ye xy e x z x x cos sin +=∂∂； xy xe yzx cos =∂∂ （4）x x y x y xz '⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222222y x y x y y x x +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=； y x y x y xz'⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222221y x x x y x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=. （5）()()xy y ye xy z +=+=1ln 1；()()[]x xy y xy y e x z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y xy y e xy y .111ln ()1211-++=y xy xy y ；()()[]y xy y xy y e y z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x xy y xy e xy y .11)1ln(1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln(1()()[]xy xy xy xy y ++++=-)1ln(111. （6）2y e x z y =∂∂；422.y y e y e x y z y y -=∂∂()422y y y xe y -=()32yy xe y -=. 3.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ,4,4:22y y x z 在点()5,4,20M 处的切线方程及切线对于x 轴的倾角的度数. 【解】（一）Γ的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===Γ416,4,:2x z y x x （x 为参数）.点0M 对应参数2=x ，故切向量为{}1,0,12,0,1|2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x x s 切.所以，点()5,4,20M 处的切线方程为150412-=--=-z y x . （二）因为()()1244,2||4,2)4,2(22=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='xy x f x x ，所以切线对于x 轴的倾角的度数为41arctan πα==. 4.求下列函数的所有二阶偏导数.（1）()y x z 32sin +=； （2）42244y y x x z +-=；（3）xy z 2=； （4）yxy x y x z arctan arctan 22-=.【解】 （1）()y x x z 32cos 2+=∂∂； ()y x yz32cos 3+=∂∂； ()y x x z 32sin 422+-=∂∂；()y x y x z 32sin 62+-=∂∂∂；()y x yz 32sin 922+-=∂∂. （2）2384xy x x z -=∂∂； 3248y y x yz+-=∂∂； 2222812y x x z -=∂∂；xy y x z 162-=∂∂∂；2222128y x yz +-=∂∂. （3）()x xy xy x z '=∂∂2.2121()x yy xy 212.2121==；()y xy xy y z '=∂∂2.2121()yx x xy 212.2121==. xyx y x y x y x z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂；xyx x y y x z 421.121212=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂∂； xyy xy x y x y z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂. （4）yxy x y x z arctan arctan 22-=.x x y xy x y x x z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y y x y x y x y x x y x 1.11.11a r c t a n 222222 223222a r c t a n 2yx y y x y x x y x +-+-= ()2222a r c t a n 2y x yy x x y x ++-=y x y x -=a r c t a n 2； y y y x y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222.11a r c t a n 21.11y x y x y y x y x x y x 222223a r c t a n 2yx xy y x y y x x ++-+= ()y xy yx x y xa r c t a n 22222-++=y x y x a r c t a n 2-=.⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂2222.112arctan 2arctan 2x y x y x x y y x y x x z x 222a r c t a n 2yx xyx y +-=. 11.112a r c t a n 222-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂∂x x y x y x y x y x z y 12222-+=y x x 2222yx y x +-=； y y x y x y z '⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂arctan 222 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22.112a r c t a n 20y x y x y y x 222a r c t a n 2yx xyy x ++-=. 5.验证下列等式.（1）设xy xe z =，证明： z yz y x z x=∂∂+∂∂； （2）证明函数r u 1=，222z y x r ++=满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ；（3）证明()bx e t x T tab sin ,2-=满足热传导方程22xTa t T ∂∂=∂∂，其中a 为正常数，b 为任意常数.【证】（1）因⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∂∂x y e x y e x e x z x y x y x y 12；x yx y e x e x y z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂1.所以，z xe ye x y e x y z yx z x x y x y x y ==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂1. （2）()x z y x z y x x r '++++=∂∂22222221()r xx z y x =++=221222；①x r dr du x u ∂∂=∂∂.【因为①】32.1rx r x r -=-=. 623322.3..1rx r r x r r x x x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂【因为①】 5226233.3..1rx r r r x r x r --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=； ② 同理可得522223ry r y u --=∂∂； ③ 522223rz r z u --=∂∂ ④ 所以，222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂【因为②，③，④】()5222233r z y x r ++--=033522=--=rr r . （3）由()bx e t x T t ab sin ,2-=，得()[]bx e ab bx ab e tTt ab t ab sin sin 2222---=-=∂∂. ① []bx be b bx e xTt ab t ab cos .cos 22--==∂∂. []b bx be x T t ab .sin 222-=∂∂-bx e b tab sin 22--=. ②所以有22xTa t T ∂∂=∂∂bx e ab t ab sin 22--=.6.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=,0,0,0,1cos ,22222222y x y x y x y x y x f 求()0,0x f '，()0,0y f '.【解】因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0 ()[]()xx x x ∆-+∆+∆=→∆001cos0lim222201coslim 0=∆∆=→∆x x x 【上述结论中用到11cos ≤∆x及0lim 0=∆→∆x x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】，所以，()00,0='x f . 同理，()00,0=''y f .习题8.31.求下列函数的全微分.（1）yxy x z +=24；（2）32y x ez +=；（3）xyz u =；（4）z xy u =.【解】 （1）因为y xy x z 18+=∂∂，224y xx y z -=∂∂，所以 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y xy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=22418. （2）因为()xyx y xe xz'+=∂∂+2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y x eyx 2.2122222222y x xe y x +=+； 由轮换对称性知，2222yx ye y z yx +=∂∂+.所以dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=()ydy xdx yx e y x ++=+2222. （3）因为yz x u =∂∂，xz yu=∂∂，xy z u =∂∂，所以，x y d z x z d y y z d x dz zu dy y u dx x u du ++=∂∂+∂∂+∂∂=. （4）z xy u =. 因为z y x u =∂∂，1-=∂∂z xzy yu ，y xy z u z ln =∂∂，所以， ydz xy dy xzy dx y dz zudy y u dx x u du z z z ln 1++=∂∂+∂∂+∂∂=-. 2.求下列函数在指定点的全微分.（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .【解】（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .因为x zy x y x z x u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y y x z z1111； y z y x y x z y u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2111y x y x z z； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂211.ln z y x y x z u z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-2111ln 1z y x y x z z.所以dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-dx y y x z z1111dy y x y x z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2111dz z y x y x z z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2111ln 1.从而 ()dy dx du -=1,1,1|.4.求曲面22:y x z S +=在点()2,1,10M 处的切平面方程和法线方程.【解】令()z y x z y x F -+=22,,. 则曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 ()()(){}000,,M F M F M F z y x '''= {}(){}1,2,21,2,2|2,1,1-=-=y x .所以S 在点0M 处的切平面方程为()()()02.1121.2=---+-z y x . 化简得0222=--+z y x . 法线方程为122121--=-=-z y x . 6.利用全微分求近似值.（1）()()3397.102.1+；【解】（1）令(),,33y x y x f z +==则()()332133223,,23,yx y y x f yxyx x y x f y y x +='+='-.取03.0,02.0,2,100-=∆=∆==y x y x ，则有()()()()()03.02,102.02,12,103.02,02.01-⨯'+⨯'+≈-+y x f f f f ，即：()()().95.203.0202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+ 8.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,1sin ,222222y x y x y x xy y x f证明：（1）()y x f ,在点()0,0处连续且偏导数存在； （2）()y x f ,在点()0,0处可微. 【证】（1）因为()y x f y x ,lim 0→→01sinlim 220=+=→→yx xy y x 【无穷小乘以有界量还是无穷小量】()0,0f =，所以()y x f ,在点()0,0处连续. 又因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0l i m000l i m 0=∆-=→∆x x ，所以()00,0='x f ；同理()00,0='y f ，所以()y x f ,在点()0,0处偏导数存在. （2）()y x f ,在点()0,0处的全增量为()()()()()220,01s i n0,00,0|y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆.因为 ()()[]()()22000,00,0limy x yf x f z y x y x ∆+∆∆'+∆'-∆→∆→∆()()()()01sinlim22220=∆+∆∆+∆∆∆=→∆→∆y x y x yx y x ，所以，()y x f ,在点()0,0处可微. 【上述结论用到了()()()()22221sin0y x y x yx ∆+∆∆+∆∆∆≤()()()()22221s i n.y x y x y x ∆+∆∆+∆∆∆=()()[]()()()[]()()()0,0,02121222222→∆∆→∆+∆=∆+∆∆+∆≤y x y x y x y x及夹逼准则 . 】习题8.41.求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设uv e z =，而2,sin x v x u ==，求dxdz ； （2）设()xyx z ln =，求x z ∂∂，yz ∂∂； （3）设()xy y x yf x z ,222+=，求x z ∂∂，yz∂∂. 【解】（1）因为uv ve u z =∂∂，uv ue v z =∂∂；x dx du cos =，x dxdv2=.所以由全导数公式，有 ()x x x x e x ue x ve dxdvv z dx du u z dx dz x x uv uv cos sin 22.cos ..2sin 2+=+=∂∂+∂∂=. 【另解：因为x x e z sin 2=，故 ()'=x x e dxdz x x sin 2sin 2()x x x x e x x c o s s i n 22s i n2+=.】 （2）()[]x x xy e x z '=∂∂ln ln ()[]x x xy x xy e '=ln(ln ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x xy x y e x xy 1.ln 1)ln(ln ln()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x y x y x xy ln )ln(ln ln ()()()x x y x y xyxy ln ln ln ln 1+=-； ()()()y xy xy x x yz '=∂∂ln ln .ln ()()x x x xyln ln .ln =. （3）()()()[]x x xy y x f y x xy y x f y x xz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]y f x f y x xy y x f xy .2..,.221222'+'++=；()()()[]y y xy y x f y x xy y x f y x yz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]x f y f y x xy y x f x .2..,.212222'+'++=.2.设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y x xy z ϕ，其中()u ϕ是可微函数，证明： +∂∂x z x xy z y z y+=∂∂. 5.设()221,,z yx e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求x u ∂∂，yu ∂∂. 6.求下列函数的22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2和22yz∂∂.（1）()y xy f z ,=；（2）()y x e y x f z +=,cos ,sin . 【解】（1）由()y xy f z ,=得1f y x z '=∂∂，21f f x yz '+'=∂∂； []()11211122f y f y y f y xz x ''=''=''=∂∂； []()1211112111112f y f xy f f f x y f f y f yx z y ''+''+'=''+''+'=''+'=∂∂∂； [][]()()22121122221121121222f f x f x f f x f f x x f f x y z y y ''+''+''=''+''+''+''=''+''=∂∂. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.（2）由()y x e y x f z +=,cos ,sin 得31.c o s f e f x x z y x '+'=∂∂+；32.sin f e f y yz y x '+'-=∂∂+； [][]x y x x f e f xxz ''+''=∂∂+3122.c o s ()[]13111cos cos .sin f e f x x f x y x ''+''+'-=+ ()[]33313.cos f e f x e f e y x y x y x ''+''+'++++ [][]y y x y f e f x yx z ''+''=∂∂∂+312.c o s()[]333231312sin sin cos f e f y e f e f e f y x y x y x y x y x ''+''-+'+''+''-=++++； 33223231312sin cos sin cos f e f ye f e f xe f y x y x y x y x y x ''+''-'+''+''-=++++； [][]y yx y f e f y y z ''+''-=∂∂+3222.s i n()[]23222sin sin .cos f e f y y f y y x ''+''-+'-=+ ()33323sin f e f y e f e y x y x y x ''+''-+'++++ 33223232222sin 2sin .cos f e f e f ye f y f y y x y x y x ''+'+'''-''+'-=+++. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.8.设()[]z x f z ϕ+= ①，其中ϕ,f 可导，求dxdz . 【解】①式两端对x 求导并注意到z 是关于x 的函数，得()[]()[]x z x z x f dx dz '++'=ϕϕ()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++'=dx dz z z x f .1ϕϕ ()[]()()[]dxdzz x f z z x f ..ϕϕϕ+''++'=. ② 由②式解得()[]()()[]z x f z z x f dx dz ϕϕϕ+'-+'=1.9.设()y x z z ,=由方程0ln 2=-+⎰-dt e z z xy t ①得到，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2.【解】（一）①式两端对x 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=-∂∂+∂∂-x e xzz x z ，即 211x e xzz -=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ②由②式解得21x e zz x z -+=∂∂. ③ （二）①式两端对y 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=+∂∂+∂∂-y e yzz y z ，即 211y e yzz --=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ④由④ 式解得 21y e zz y z -+-=∂∂. ⑤ （三）由③式得212x y e z z y x z -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∂∂∂()2.112x e y z z -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=【代入④】 ()22.1.112x y e e z z z --⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=()22.13y x e z z--+-=.10.设f 可微，试验证： （1）()22yx f y z -=① 满足方程211y zy z y x z x =∂∂+∂∂； 【证】()x y x f y x z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221()()[]x y x f y x f y '⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=222221()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--=xy x y x f yx fy2222222.()()222222y x f yx fxy-'--=； ()yy x f y y z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221.()()y y x f y y x f '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222211 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--+-=y y x y x f y x f y y x f 222222222.11 ()()()2222222221y x f yx f y y x f -'---=. 所以yz y x z x ∂∂+∂∂11()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--=2222221y x f y x f xy x ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'---+22222222211y x f y x f y yx f y ()221.1y x f y -=【由①式】..12y zy z y ==（2）()y x f z ,=满足方程t z s z y z x z ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.22，其中t s y t s x -=+=,. 【证】y zx z s y y z s x x z s z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂..； yz x z t y y z t x x z t z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂... 故 t z s z ∂∂∂∂.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y z x z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y z x z .22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y z x z . 14.设函数()y x f ,具有二阶连续偏导数，且满足等式0512422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u . ①试确定b a ,的值，使等式在变换by x ay x +=+=ηξ,下化为02=∂∂∂ηξu.【解】因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u1.1...；ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ubu a b u a u y u y u y u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ (2222222)2 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ②⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂y u y u y u y u u u y x u yy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)()22222..ηηξξ∂∂+∂∂∂++∂∂=ub u b a u a . ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂y u y u b y u y u a u b u a y uyy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)222222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=u b u ab u a . ④ 将②、③、④代入①式左边，得①左⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂=2222224ηηξξu u u ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂++∂∂+22222.12ηηξξu b u b a u a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂+222222225ηηξξu b u ab u a ()()()2222222512410121285124ηηξξ∂∂+++∂∂∂++++∂∂++=u b b u ab b a u a a 因此方程①化为()()()05124101212851242222222=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++ηηξξu b b u ab b a u a a . ⑤因此要使①在变换下化为02=∂∂∂ηξu，必须⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.05124,0512422b b a a 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,52,2b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,52b a 习题8.51.验证下列方程在指定点的邻域存在以x 为自变量的隐函数，并求dxdy. （1）4422y x y x +=+，在点()1,1；【解】令()4422,y x y x y x F --+=，则()342,x x y x F x -='，()342,y y y x F y -='，()01,1=F ，()()021,11,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程04422=--+y x y x在点()1,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，1=y 的函数()x y y =.由公式()()()()223321124242,,y y x x y y x x y x F y x F dx dy y x --=---=''-=. （2）xyy x arctan ln 22=+①，在点()0,1. 【解】令()x y y x y x F arctanln ,22-+=()xyy x arctan ln 2122-+=，则 ()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='2222.112.1.21,x y x y x y x y x F x 22y x y x ++=； ()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x y y y x y x F y 1.112.1.21,22222y x x y +-=. ()00,1=F ，()()010,1,10,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程0arctanln 22=-+xyy x 在点()0,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，0=y 的函数()x y y =.由公式()()yx yx x y y x y x F y x F dx dy y x -+=-+-=''-=,,. 2.求下列方程所确定的隐函数()y x z z ,=的偏导数x z ∂∂，yz∂∂. （1）()0ln 22=+-xyz xyz xz ；【解】令()()xyz xyz xz z y x F ln 22,,+-=z y x xyz xz ln ln ln 22+++-=，则x yz z F x 122+-='；yxz F y 12+-='；z xy x F z 122+-='. 所以z xy x x yz z F F x z z x 122122+-+--=''-=∂∂；z xy x y xz F F y z z y 12212+-+--=''-=∂∂. （2）()z y x f z +-=2.【解】令()()z z y x f z y x F -+-=2,,，则()z y x f F x +-'='2；()z y x f y F y +-'-='22；()12-+-'='z y x f F z . 所以()()122-+-'+-'-=''-=∂∂z y x f z y x f F F x z z x ()()zy x f zy x f +-'-+-'=221； ()()1222-+-'+-'--=''-=∂∂z y x f z y x f y F F y z z y ()()1222-+-'+-'=z y x f zy x f y . 3.设()y x z z ,=满足方程03333=-++axyz z y x ，求22xz∂∂.【解】令()axyz z y x z y x F 3,,333-++=，则ayz x F x 332-='；axy z F z 332-='. 所以a x y z a y z x F F x z z x 333322---=''-=∂∂a x y z x a y z --=22. ① 所以=∂∂22x z ()()()222222a x yz ay x z z x ayz axy z x x z ay -⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂---⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂【代入①】()()()2222222222.axyz ay axy z x ayz z x ayz axy z x axy z x ayz ay -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=()()[]()()()()[]()3222222222axyzaxyz ay x ayz z x ayz axy z axy zx x ayz ay ----------=()()323312a x yza z xy --=.4.设函数()z y x f u ,,=可微，其中()()x z z x y y ==,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 确定，求dx du . 【解】方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y e dx dz dx dz x z e dx dy xy xz 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y z dxdz dx dz x z y dx dy解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=.11,1122yzx xz yz dxdz yzx xy yz dx dy所以，由全导数公式得dx dz f dx dy f f dx du z y x ..'+'+'= ()()z y x f yzx xz yz f yz x xy yz f '-++'-++'=.11.1122. 5.求曲面4:=+zy zx e e S ①在点()1,2ln ,2ln 0M 处的切平面方程.【解】令()4,,-+=zy z xe e z y x F ，则z xx e z F 1='；z yy e z F 1='；z yz xz e zye z x F 22--='.曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}()||1,2ln ,2ln 22,1,1,,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧--='''=z yz x z y z x M z y x e z ye z x e z e z F F F{}2ln 4,2,2-=.所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为()()().012ln 42ln 22ln 2=---+-z y x 即 ()02ln 422=-+z y x .8.求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++Γ,04532,03:222z y x x z y x ①在点()1,1,10M 处的切线方程与法平面方程.【解法一】方程组两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得⎩⎨⎧='+'-=-'+'+.0532,03222z y z z y y x ②将点()1,1,10M 代入②式有()()()()⎩⎨⎧='+'-=-'+'.015132,011212z y z y ③由③式解得 ()()1611,1691-='='z y . 故Γ在点()1,1,10M 处的切向量为()(){}{}1,9,16||161,169,11,1,1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=''=z y s 切.所以，Γ在点()1,1,10M 处的切线方程L 为1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【解法二】（一）先求03:222=-++x z y x S 在点()1,1,10M 处的切平面方程. 令()x z y x z y x F 3,,222-++=，则32-='x F x ；y F y 2='；z F z 2='. 曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}{}(){}2,2,12,2,32,,||1,1,10-=-='''=z y x F F F n M z y x .所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为 ()()()012121.1=-+-+--z y x ，即 0322=-++-z y x . （二） Γ在点()1,1,10M 处的切线方程为⎩⎨⎧=-+-=-++-,04532,0322:z y x z y x L若进一步化L 为点向式，则为 1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【注意】解法二的一般思路叙述如下：欲求曲线()()⎩⎨⎧==Γ,0,,,0,,:z y x G z y x F 在其上某点()0000,,z y x M 处的切线方程.首先分别求出曲面()0,,:1=z y x F S 在点0M 处的切线平面01111=+++D z C y B x A . ①及曲面()0,,:2=z y x G S 在点0M 处的切线平面02222=+++D z C y B x A . ② 然后将方程①、②联立即为Γ在0M 处的切线方程.即⎩⎨⎧=+++=+++Γ.0,0:22221111D z C y B x A D z C y B x A请同学们思考此解法的理论依据是什么？10.设函数()y x z z ,=由方程0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x F ① 所确定，且F 为可微函数，求dz .【解】由①得0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x dF由微分形式的不变性，有0...321=⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'x z d F z y d F y x d F 即01.1.1.232221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'dz x dx x z d F dz z y dy z d F dy y x dx y F 于是有dy F z F y x dx F y F x z dz F z y F x .111212`132223'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎭⎫⎝⎛'-' 所以得223212`1321.11F zy F x dyF z F y x dx F y F x z dz '-''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-'=. 习题8.62.求133223++-=xy y x x z 在点()1,31M 处从1M 到()5,62M 的方向的方向导数. 【解】{}4,321==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==54,530h .()12363||1,3221=+-=∂∂y xy x x z M ；()963||1,3221-=+-=∂∂xy x y z M . {}().0549531254,53.9,121=⨯-+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂M h3.求xyz u =在点()2,1,51M 处从1M 到()14,4,92M 的方向的方向导数. 【解】{}12,3,421==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1312,133,1340h .()2||2,1,51==∂∂yz x u M ；()10||2,1,51==∂∂xz yuM ，()5||2,1,51==∂∂xy z u M . {}.1398131251331013421312,133,134.5,10,21=⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∂M h4.求()()222321ln ,,z y x z y x f +++=在点()1,1,20M 处的梯度. 【解】()523212||1,1,22220=+++=∂∂z y x x x f M ； ()523214||1,1,22220=+++=∂∂z y x y y f M ； ()533216||1,1,22220=+++=∂∂z y x z z f M . 所以，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=53,52,521,1,2gradf .5.求22z xy u -=在()1,1,2-M 处方向导数的最大值. 【解】()22||1,1,2-==∂∂-y x u M ；()42||1,1,2==∂∂-x y uM，()22||1,1,2-=-=∂∂-z z u M ， 故 (){}2,4,21,1,2--=-g r a d u ，所以方向导数的最大值为 ()()().622421,1,2222=-++-=-g r a du6.求222z y x u ++=沿曲线()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ,sin 6,,2:3t z t y t x ππ在点()0,1,2M 处的切线方向的方向导数.【解】()0,1,2M 点对应参数1=t .Γ在点()0,1,2M 处的切向量为()()(){}(){}{}6,3,2c o s6,3,2,,||121-=='''===t t t t t z t y t x h π.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==76,73,720h .()42||0,1,2==∂∂x x u M ；()22||0,1,2==∂∂y yuM ，()02||0,1,2==∂∂z x u M . 所以有{}.276073272476,73,72.0,2,4=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂Mh9.设l 是曲面632:222=++z y x S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量，求zy x u 2286+=在A 点沿方向的方向导数. 【解】令()632,,222-++=z y x z y x F ，则x F x 4='；y F y 6='；z F z 2='.曲面S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量为 {}{}(){}{}1,3,2||2,6,42,6,4,,||1,1,1=='''=z y x F F F Az y x ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧==141,143,1420l . ()146866||1,1,122=+=∂∂y x z x x u A ；()148868||1,1,122=+=∂∂y x z y y u A ；()1486||1,1,1222-=+-=∂∂z y x z uA .所以，().14,148,1461,1,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂l ⎭⎬⎫⎩⎨⎧141,143,142()71114114143148142146=⨯-+⨯+⨯=. 习题8.71.求下列的极值：（1）()223333,y x y x y x f z --+==； 【解】（一）解方程组()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.063,,063,22y y y x f x x y x f y x ⎩⎨⎧==2,0,2,0y x 得四个驻点：()()()().2,2,0,2,2,0,0,04321P P P P （二）()()().66,,0,,66,-=''==''=-=''=y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx.因为该函数不存在不可微点，故()00,0=f 为函数的极大值；()82,2-=f 为 函数的极小值.（2）x xy y x z 82322+-+=； 【解】（一）解方程组()()⇒⎩⎨⎧=-='=+-='.026,,0822,x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧-=-=26y x 故得唯一驻点：()2,60--P ；无不可微点.（二）()2,=''y x f xx，()2,-=''y x f xy ；()6,=''y x f yy .在()2,60--P 处，因为 ()022,6>=--''=xxf A ；()22,6-=--''=xy f B ；()62,6=--''=yy f C ， ()0826222>=--⨯=-=∆B AC ，故()242,6-=--f 为函数的极小值.（3）()()y y y x y x f ln 2,22++=； 【解】（一）解方程组()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+='.0ln 12,,022,22y y x y x f y x y x f y x ⎩⎨⎧==-.,01e y x 故得唯一驻点：()10,0-e P ；无不可微点.（二）()224,y y x f xx+=''，()xy y x f xy 4,=''；()yx y x f yy 12,2+=''.在()10,0-e P 处， 因为()024,021>+=''=--e e f A xx；()0,01=''=-e f B xy ；()e ef C yy =''=-1,0， ()0024222>-⨯+=-=∆-e e B AC ，故()ee f 1,01-=-为函数的极小值.（4）()y y x e z x 222++=. 【解】（一）解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='.022,,01422,222y e y x f y y x e y x f xyx x ⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,21y x 故得唯一驻点：⎪⎭⎫⎝⎛-1,210P ；无不可微点.（二）()()124,22+++=''y y x e y x f x xx，()()44,2+=''y e y x f x xy ；()x yy e y x f 22,=''. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,210P 处，因为021,21>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=e f A xx；01,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=xy f B ；⎪⎭⎫⎝⎛-''=1,21yy f C e 2=，002222>-⨯=-=∆e e B AC ，故21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-为函数的极小值.2.求下列的极值：（1）()22222,y x y x y x f -+=在区域(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D ； 【解】（一）内部 解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.022,,012,22x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧==.0,0y x ；⎩⎨⎧-=-=.1,2y x （舍）；⎩⎨⎧=-=.1,2y x ；⎩⎨⎧-==.1,2y x （舍）； ⎩⎨⎧==.1,2y x .因此得区域D 内三驻点：()0,01P 、()1,22-P 、()1,23P .计算得()00,0=f ，()21,2=±f . （二）边界1.在区域D 的边界[]()2,0422∈=+y y x 上，由于。
高数下试题及答案解析
高数下试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x)=x^2-4x+3可以因式分解为f(x)=(x-1)(x-3)，因此有两个零点x=1和x=3。
2. 极限lim(x→0) (1+x)^(1/x)等于（）。
A. 0B. 1C. eD. -e答案：C解析：根据极限的定义，lim(x→0) (1+x)^(1/x)等于自然对数的底数e。
3. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数为（）。
A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解析：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，然后将x=1代入得到f'(1)=3(1)^2-6(1)=-3，因此答案为C。
4. 曲线y=x^2+2x-3在点(1,0)处的切线斜率为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：首先求导数y'=2x+2，然后将x=1代入得到y'(1)=2(1)+2=4，因此答案为D。
5. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为（）。
A. πB. 2πC. π/2D. 1答案：B解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为f(x)=√2sin(x+π/4)，因此周期为2π。
6. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调增区间为（）。
A. (-∞, 1)∪(3, +∞)B. (1, 3)C. (-∞, 1)∪(3, +∞)D. (1, +∞)答案：B解析：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)>0，解得x<1或x>3，因此单调增区间为(1, 3)。
7. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为（）。
A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B解析：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2，因此极值点为x=2。
高等数学下教材答案详解
题目：证明函数$f(x)=\begin{cases}x^2-1,\quad x<1\\3x+2,\quad x\geq1\end{cases}$在$x=1$处连续。
解析：要证明函数在$x=1$处连续，需要分别讨论左极限、右极限和函数值是否相等。首先计算左极限，即$$\lim_{x\to1^-}(x^2-1)=(1)^2-1=0$$。然后计算右极限，即$$\lim_{x\to1^+}(3x+2)=3(1)+2=5$$。最后计算$x=1$时的函数值，即$f(1)=3(1)+2=5$。由于左极限、右极限和函数值都相等，因此可以得出结论：函数$f(x)$在$x=1$处连续。
解析：要求函数的极值点，需要先求得函数的导数$f'(x)$。根据乘法法则和指数函数和三角函数求导法则，可以得到$f'(x)=2e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x$。然后，令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{3\pi}{2}+k\pi$，其中$k$为整数。将这些解代入原函数$f(x)$，可以得到对应的极值点。
……
通过对高等数学下教材中习题的解析，我们可以更加深入地理解每个章节的内容和知识点。同时，这些答案的详细解析也有助于同学们发现自己在学习过程中的盲点和薄弱环节，从而进行有针对性的补充和提高。希望本文对同学们在学习高等数学下教材时有所帮助，让大家能够更好地掌握这门重要的学科。
总结
通过对高等数学下教材的答案进行详解，本文旨在提供同学们学习和理解教材内容的参考和指导。在学习过程中，同学们可以根据本文的解析，进一步掌握和巩固相关知识点，提升数学能力。当然，本文只是对部分习题进行了解析，同学们在学习过程中还需要充分理解教材中的其他内容，并进行适当的练习和实践。希望本文能够对同学们的学习有所帮助，让大家在高等数学下取得优秀的成绩！
高等数学(下) 郑洲顺 习题详解
习题5.11.要使|a +b |=|a |+|b |成立，向量a ，b 应满足（同向）.要使|a +b |=|a -b |成立，向量a ，b 应满足（垂直）.2.设2,3.u a b c v a b c =-+=-+-试用b c a 、、、表示23u v -.解：232(2)(3)5117u v a b c a b c a b c-=-+--+-=-+ 3.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量方法证明它是平行四边形.,AC OC DO OB== 证明：设四边形ABCD对角线AC,BD互相平分于点O,则//AO CB OC DO DC AB AB DC AB DC ABCD +=+==⇒= 故且故为平行四边形4.把∆ABC 的BC 边五等分，设分点分别为1D 、2D 、3D 、4D ,再把各分点与点A 连接.试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A 、2D A 、3D A 和4D A .解：115D A a c =-- 225D A a c =-- 335D A a c =-- 445D A a c =-- 5.设ABCDEF 是一个正六边形，,a AB = b AF = ，试用,a b 表示BC ，CD ，DE ，EF .解：|BC a b =+ CD b = DE a = ()EF a b =-+ 6.已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，又O 是任意一点，试证OA +OB +OD =4OE .解：+4+OA OB OD OC OE OA OE OB OE OC OE OD OE++-=-+-+-- =0EA EC EB ED +++= 4CA OB OD OC OE +++= 故微信公众号 高校课后习题。
高数(一)(下)考题讲解课件
详细描述
一阶常微分方程是只含有一个导数的常微分 方程，其解法包括初值问题和积分问题等。 常用的解法有分离变量法、变量代换法、积 分因子法等。
二阶常微分方程
总结词
理解二阶常微分方程的解法是解决复杂常微 分方程问题的基础。
详细描述
二阶常微分方程是含有两个导数的常微分方 程，其解法包括齐次化处理、降阶法、参数 法等。二阶常微分方程在物理、工程等领域 有广泛的应用，如振动问题、质点运动问题
等。
THANKS
感谢观看
ERA
不定积分的概念与性质
基础概念
不定积分是微积分中的一个基础概念，它表示一个函数的原函数或反导数。不定 积分具有一些重要性质，例如线性性质、积分常数性质和分部积分法等。
不定积分的计算
计算方法
不定积分的计算是学习微积分过程中的一个重要环节。常用的不定积分计算方法包括直接积分法、换元积分法和分部积分法 等。这些方法可以帮助我们解决各种形式的不定积分问题。
和公式。
定积分的应用
总结词
理解定积分的应用是解题的重要环节。
VS
详细描述
定积分的应用非常广泛，包括求平面图形 的面积、求体积、求长度等。在解题过程 中，需要根据具体问题选择合适的公式和 方法进行计算。同时，需要注意定积分的 实际意义和应用背景，以便更好地理解题 目和解题思路。
05
常微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
导数与微分
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
导数的概念与性质
01
02
03
导数的定义
导数是函数在某一点的变 化率的极限，表示函数在 该点的切线斜率。
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.73.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19323222=+zx ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+ 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得R z 21=所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==（三）（1）、（2）联立消去x 得R z 21=所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D .习题7.82.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}|1,,='''=t t z t y t x {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x '''={}{}20023,2,13,2,1|0t t t t tt ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须与垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,s i n c o s 2,c o s |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .习题8.11.求下列函数的的定义域，并画出定义域的图形. （3）221yx z w --=；（4）19222222-++---=z y x z y x u .【解】（3）要使函数表达式有意义，必须满足 0122>--y x 即 122<+y x 故所求函数的定义域为(){}1|,22<+=y x y x D . （4）要使函数表达式有意义，必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-++≥---.01,09222222z y x z y x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤++.1,9222222z y x z y x 故所求函数的定义域为(){}91|,,222≤++<=z y x z y x D .3.求下列各极限. （1）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x 111lim3,2,1,,； （2）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0,； （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→； （4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→；（5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,； （6）()()2220,0,lim yx yx y x +→. 【解】（1）因为函数()zy x z y x f 111,,++=是三元初等函数，其定义域为(){}0,0,0|,,≠≠≠=z y x z y x D ，且()D ∈3,2,1，所以三元函数()zy x z y x f 111,,++=在()3,2,1处连续，从而有 ()()611312111111lim3,2,1,,=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x . （2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0, ()()y x y x 1sinlim0,0,→=()()0001sin lim 0,0,=+=+→xy y x . 【其中()()y x y x 1sinlim 0,0,→()()01sin lim 0,0,==→xy y x 均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→()()()e e xy xyxyxyy x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→1tan 10,0,1lim.（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→()()()0.lim 22220,0,=+-=→xy y x y x y x .【上述结论中用到12222≤+-y x y x 及()()0lim 0,0,=→xy y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,()()()()11lim 22220,0,+++++=→y x y x y x y x()()().lim 220,0,y x y x y x ++=→()().0210111lim220,0,=⨯=+++→y x y x 【上述结论中用到()y x yx y x y x y x +=++≤++≤2220，()()()0lim 0,0,=+→y x y x 及夹逼准则】.（6）()()2220,0,lim y x y x y x +→()()0.lim 2220,0,=+=→y y x x y x .【上述结论中用到1222≤+yx x 及()()0lim 0,0,=→y y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】.4.证明极限()()4220,0,lim y x xy y x +→不存在.【证】（一）让动点()y x P ,沿直线0=y 趋于点()0,0O 时，()4220lim y x xy y x +=→000.lim 4220=+=→x x x . （二）让动点()y x P ,沿抛物线x y =2趋于点()0,0O 时，()42202lim y x xy xy x +=→21.l i m 220=+=→x x x x x .习题8.21.证明：函数()444,y x y x f +=在原点()0,0处连续，但不存在偏导数()0,0x f '，()0,0y f '.【证明】 （一）因为()()()()0,00,lim0,0,f y x f y x ==→，所以，()y x f ,在()0,0处连续.（二）因为()()x f x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0()xx x ∆-+∆=→∆00lim4440 xx x ∆∆=→∆0l i m不存在，所以不存在偏导数()0,0x f '；由轮换对称性知，也不存在偏导数()0,0y f '. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.（1）x y y x z 33-=； （2）xy z ln =；（3）xy e z x sin =； （4）xyz arctan =；（5）()yxy z +=1； （6）2yxe z y=.【解】（1）323y y x xz-=∂∂；x y x y z 233-=∂∂ . （2）因y x z ln ln +=，故x x z 1=∂∂；yy z 1=∂∂. （3）xy ye xy e xzx x cos sin +=∂∂； xy xe y z x cos =∂∂ （4）x x y x y xz '⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222222y x y x y y x x +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=； yx y x y xz'⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222221y x x x y x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=. （5）()()xy y ye xy z +=+=1ln 1；()()[]x xy y xy y e x z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y xy y e xy y .111ln ()1211-++=y xy xy y ；()()[]y xy y xy y e y z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x xy y xy e xy y .11)1ln(1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln(1()()[]xy xy xy xy y ++++=-)1ln(111. （6）2y e x z y =∂∂；422.y y e y e x y z y y -=∂∂()422y y y xe y -=()32yy xe y -=. 3.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ,4,4:22y y x z 在点()5,4,20M 处的切线方程及切线对于x 轴的倾角的度数. 【解】（一）Γ的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===Γ416,4,:2x z y x x （x 为参数）.点0M 对应参数2=x ，故切向量为{}1,0,12,0,1|2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x x s 切. 所以，点()5,4,20M 处的切线方程为150412-=--=-z y x . （二）因为()()1244,2||4,2)4,2(22=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='xy x f x x ，所以切线对于x 轴的倾角的度数为41arctan πα==. 4.求下列函数的所有二阶偏导数.（1）()y x z 32sin +=； （2）42244y y x x z +-=； （3）xy z 2=； （4）yxy x y x z arctan arctan 22-=. 【解】 （1）()y x xz32cos 2+=∂∂； ()y x y z 32cos 3+=∂∂；()y x x z 32sin 422+-=∂∂；()y x y x z 32sin 62+-=∂∂∂；()y x yz32sin 922+-=∂∂. （2）2384xy x xz-=∂∂； 3248y y x y z +-=∂∂； 2222812y x x z -=∂∂；xy y x z 162-=∂∂∂；2222128y x yz +-=∂∂. （3）()x xy xy x z '=∂∂2.2121()x yy xy 212.2121==；()y xy xy y z '=∂∂2.2121()yx x xy 212.2121==. xyx y x y x y x z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂；xyx x y y x z 421.121212=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂∂； xyy xy x y x y z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂. （4）yx y x y x z arctan arctan22-=. x x y xy x y x x z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y y x y x y x y x x y x 1.11.11a r c t a n 222222 223222a r c t a n 2yx y y x y x x y x +-+-= ()2222a r c t a n 2y x yy x x y x ++-=y x y x -=a r c t a n 2； y y y x y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222.11a r c t a n 21.11y x y x y y x y x x y x 222223a r c t a n 2yx xy y x y y x x ++-+= ()y xy yx x y xa r c t a n 22222-++=y x y x a r c t a n 2-=.⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂2222.112arctan 2arctan 2x y x y x x y y x y x x z x 222a r c t a n 2yx xyx y +-=. 11.112a r c t a n 222-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂∂x x y x y x y x y x z y 12222-+=y x x 2222yx y x +-=； y y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂arctan 222 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22.112a r c t a n 20y x y x y y x 222a r c t a n 2yx xyy x ++-=. 5.验证下列等式.（1）设xy xe z =，证明： z yz y x z x=∂∂+∂∂； （2）证明函数r u 1=，222z y x r ++=满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ；（3）证明()bx e t x T tab sin ,2-=满足热传导方程22xTa t T ∂∂=∂∂，其中a 为正常数，b 为任意常数.【证】（1）因⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∂∂x y e x y e x e x z x y x y x y 12；x yx y e x e x y z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂1.所以，z xe ye x y e x y z y x z x x y x y x y ==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂1.（2）()x z y x z y x x r '++++=∂∂22222221()r xx z y x =++=221222；①x r dr du x u ∂∂=∂∂.【因为①】32.1rx r x r -=-=. 623322.3..1rx r r x r r x x x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂【因为①】 5226233.3..1rx r r r x r x r --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=； ② 同理可得522223ry r y u --=∂∂； ③ 522223r z r z u --=∂∂ ④所以，222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂【因为②，③，④】()5222233r z y x r ++--=033522=--=rr r . （3）由()bx e t x T t ab sin ,2-=，得()[]bx e ab bx ab e tTt ab t ab sin sin 2222---=-=∂∂. ① []bx be b bx e xTt ab t ab cos .cos 22--==∂∂.[]b bx be x T tab .sin 222-=∂∂-bx e b t ab sin 22--=. ② 所以有22xTa t T ∂∂=∂∂bx e ab t ab sin 22--=.6.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=,0,0,0,1cos ,22222222y x y x y x y x y x f 求()0,0x f '，()0,0y f '.【解】因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0 ()[]()xx x x ∆-+∆+∆=→∆001cos0lim222201coslim 0=∆∆=→∆x x x 【上述结论中用到11cos ≤∆x及0lim 0=∆→∆x x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】，所以，()00,0='x f . 同理，()00,0=''y f .习题8.31.求下列函数的全微分.（1）yxy x z +=24；（2）32y x ez +=；（3）xyz u =；（4）z xy u =.【解】 （1）因为y xy x z 18+=∂∂，224yx x y z -=∂∂，所以 dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y xy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22418. （2）因为()xyx y x e xz'+=∂∂+2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y x eyx 2.2122222222y x xe y x +=+； 由轮换对称性知，2222yx ye y z yx +=∂∂+.所以dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=()ydy xdx yx e y x ++=+2222. （3）因为yz x u =∂∂，xz y u =∂∂，xy zu=∂∂，所以，x y d z x z d y y z d x dz zu dy y u dx x u du ++=∂∂+∂∂+∂∂=. （4）z xy u =. 因为z y x u =∂∂，1-=∂∂z xzy y u ，y xy zuz ln =∂∂，所以， ydz xy dy xzy dx y dz zu dy y u dx x u du z z z ln 1++=∂∂+∂∂+∂∂=-. 2.求下列函数在指定点的全微分.（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .【解】（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .因为x zy x y x z x u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y y x z z1111； yz y x y x z y u '⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2111y x y x z z ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂211.ln z y x y x z u z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-2111ln 1z y x y x z z.所以dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-dx y y x z z1111dy y x y x z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2111dz z y x y x z z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2111ln 1.从而 ()dy dx du -=1,1,1|.4.求曲面22:y x z S +=在点()2,1,10M 处的切平面方程和法线方程.【解】令()z y x z y x F -+=22,,. 则曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 ()()(){}000,,M F M F M F z y x '''= {}(){}1,2,21,2,2|2,1,1-=-=y x .所以S 在点0M 处的切平面方程为()()()02.1121.2=---+-z y x . 化简得0222=--+z y x . 法线方程为122121--=-=-z y x . 6.利用全微分求近似值. （1）()()3397.102.1+；【解】（1）令(),,33y x y x f z +==则()()332133223,,23,yx y y x f yxyx x y x f y y x +='+='-.取03.0,02.0,2,100-=∆=∆==y x y x ，则有()()()()()03.02,102.02,12,103.02,02.01-⨯'+⨯'+≈-+y x f f f f ，即：()()().95.203.0202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+8.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,1sin ,222222y x y x y x xy y x f证明： （1）()y x f ,在点()0,0处连续且偏导数存在； （2）()y x f ,在点()0,0处可微. 【证】（1）因为()y x f y x ,lim 0→→01sinlim 220=+=→→yx xy y x 【无穷小乘以有界量还是无穷小量】()0,0f =，所以()y x f ,在点()0,0处连续. 又因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim000lim 0=∆-=→∆x x ，所以()00,0='x f ；同理()00,0='y f ，所以()y x f ,在点()0,0处偏导数存在.（2）()y x f ,在点()0,0处的全增量为()()()()()220,01s i n0,00,0|y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆.因为 ()()[]()()22000,00,0limy x yf x f z y x y x ∆+∆∆'+∆'-∆→∆→∆()()()()01sinlim22220=∆+∆∆+∆∆∆=→∆→∆y x y x yx y x ，所以，()y x f ,在点()0,0处可微. 【上述结论用到了()()()()22221sin0y x y x yx ∆+∆∆+∆∆∆≤()()()()22221s i n.y x y x y x ∆+∆∆+∆∆∆=()()[]()()()[]()()()0,0,02121222222→∆∆→∆+∆=∆+∆∆+∆≤y x y x y x y x及夹逼准则 . 】习题8.41.求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设uv e z =，而2,sin x v x u ==，求dxdz ； （2）设()xyx z ln =，求xz∂∂，y z ∂∂； （3）设()xy y x yf x z ,222+=，求xz∂∂，y z ∂∂. 【解】（1）因为uv ve u z =∂∂，uv ue v z =∂∂；x dx du cos =，x dxdv2=.所以由全导数公式，有 ()x x x x e x ue x ve dxdvv z dx du u z dx dz x x uv uv cos sin 22.cos ..2sin 2+=+=∂∂+∂∂=. 【另解：因为x x e z sin 2=，故 ()'=x x e dx dz x x sin 2sin 2()x x x x e x x c o s s i n 22s i n2+=.】 （2）()[]x x xy e x z '=∂∂ln ln ()[]x x xy x xy e '=ln(ln ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x xy x y e x xy 1.ln 1)ln(ln ln()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x y x y x xy ln )ln(ln ln ()()()x x y x y xy xy ln ln ln ln 1+=-； ()()()y xy xy x x yz '=∂∂ln ln .ln ()()x x x xy ln ln .ln =. （3）()()()[]x x xy y x f y x xy y x f y x xz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]y f x f y x xy y x f xy .2..,.221222'+'++=；()()()[]y y xy y x f y x xy y x f y x yz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]x f y f y x xy y x f x .2..,.212222'+'++=.2.设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y x xy z ϕ，其中()u ϕ是可微函数，证明： +∂∂x z x xy z y z y +=∂∂. 5.设()221,,z yx e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求xu∂∂，y u ∂∂. 6.求下列函数的22xz ∂∂，y x z ∂∂∂2和22y z∂∂.（1）()y xy f z ,=；（2）()y x e y x f z +=,cos ,sin . 【解】（1）由()y xy f z ,=得1f y xz'=∂∂，21f f x y z '+'=∂∂； []()11211122f y f y y f y xz x ''=''=''=∂∂；[]()1211112111112f y f xy f f f x y f f y f yx z y ''+''+'=''+''+'=''+'=∂∂∂； [][]()()22121122221121121222f f x f x f f x f f x x f f x y z y y ''+''+''=''+''+''+''=''+''=∂∂. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.（2）由()y x e y x f z +=,cos ,sin 得31.c o s f e f x xzy x '+'=∂∂+；32.sin f e f y y z y x '+'-=∂∂+； [][]x y x x f e f x xz ''+''=∂∂+3122.c o s()[]13111cos cos .sin f e f x x f x y x ''+''+'-=+ ()[]33313.cos f e f x e f e y x y x y x ''+''+'++++[][]y y x y f e f x yx z ''+''=∂∂∂+312.c o s ()[]333231312sin sin cos f e f y e f e f e f y x y x y x y x y x ''+''-+'+''+''-=++++； 33223231312sin cos sin cos f e f ye f e f xe f y x y x y x y x y x ''+''-'+''+''-=++++； [][]y yx y f e f y y z ''+''-=∂∂+3222.s i n()[]23222sin sin .cos f e f y y f y y x ''+''-+'-=+ ()33323sin f e f y e f e y x y x y x ''+''-+'++++ 33223232222sin 2sin .cos f e f e f ye f y f y y x y x y x ''+'+'''-''+'-=+++. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.8.设()[]z x f z ϕ+= ①，其中ϕ,f 可导，求dxdz . 【解】①式两端对x 求导并注意到z 是关于x 的函数，得 ()[]()[]x z x z x f dx dz '++'=ϕϕ()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++'=dx dz z z x f .1ϕϕ()[]()()[]dxdzz x f z z x f ..ϕϕϕ+''++'=. ② 由②式解得()[]()()[]z x f z z x f dx dz ϕϕϕ+'-+'=1.9.设()y x z z ,=由方程0ln 2=-+⎰-dt e z z xy t ①得到，求x z∂∂，yz ∂∂，y x z ∂∂∂2.【解】（一）①式两端对x 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=-∂∂+∂∂-x e xzz x z ，即 211x e x zz -=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ②由②式解得21x e zz x z -+=∂∂. ③ （二）①式两端对y 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=+∂∂+∂∂-y e yzz y z ，即 211y e y z z --=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ④ 由④ 式解得 21y e zz y z -+-=∂∂. ⑤ （三）由③式得212x y e z z y x z -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∂∂∂()2.112x e y z z -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=【代入④】 ()22.1.112x y e e z z z --⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=()22.13y x e z z--+-=.10.设f 可微，试验证： （1）()22yx f y z -=① 满足方程211y zy z y x z x =∂∂+∂∂； 【证】()x y x f y x z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221()()[]x y x f y x f y '⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=222221()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--=xy x y x f yx fy2222222.()()222222y x f yx fxy-'--=； ()yy x f y y z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221.()()y y x f y y x f '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222211 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--+-=y y x y x f y x f y y x f 222222222.11()()()2222222221y x f yx f y y x f -'---=. 所以yz y x z x ∂∂+∂∂11()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--=2222221y x f y x f xy x ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'---+22222222211y x f y x f y y x f y ()221.1y x f y -=【由①式】..12y z y z y == （2）()y x f z ,=满足方程t z s z y z x z ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.22，其中t s y t s x -=+=,. 【证】y zx z s y y z s x x z s z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂..； yz x z t y y z t x x z t z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂... 故 t z s z ∂∂∂∂.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y z x z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y z x z .22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y z x z . 14.设函数()y x f ,具有二阶连续偏导数，且满足等式0512422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u . ①试确定b a ,的值，使等式在变换by x ay x +=+=ηξ,下化为02=∂∂∂ηξu. 【解】因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u1.1...；ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u b u a b u a u y u y u y u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ (2222222)2 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ② ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂y u y u y u y u u u y x u yy ηηξξηηηξξξηξ....2222222 ()22222..ηηξξ∂∂+∂∂∂++∂∂=ub u b a u a . ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂y u y u b y u y u a u b u a y uyy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)222222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=u b u ab u a . ④ 将②、③、④代入①式左边，得①左⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂=2222224ηηξξu u u ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂++∂∂+22222.12ηηξξu b u b a u a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂+222222225ηηξξu b u ab u a ()()()2222222512410121285124ηηξξ∂∂+++∂∂∂++++∂∂++=u b b u ab b a u a a 因此方程①化为()()()05124101212851242222222=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++ηηξξu b b u ab b a u a a . ⑤因此要使①在变换下化为02=∂∂∂ηξu，必须 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.05124,0512422b b a a 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,52,2b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,52b a 习题8.51.验证下列方程在指定点的邻域存在以x 为自变量的隐函数，并求dxdy. （1）4422y x y x +=+，在点()1,1；【解】令()4422,y x y x y x F --+=，则()342,x x y x F x -='，()342,y y y x F y -='，()01,1=F ，()()021,11,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程04422=--+y x y x在点()1,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，1=y 的函数()x y y =.由公式()()()()223321124242,,y y x x y y x x y x F y x F dx dy y x --=---=''-=. （2）xyy x arctan ln 22=+①，在点()0,1.【解】令()x y y x y x F arctan ln ,22-+=()xyy x arctan ln 2122-+=，则()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='2222.112.1.21,x y x y x y x y x F x 22y x y x ++=； ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x y y y x y x F y 1.112.1.21,22222y x x y +-=. ()00,1=F ，()()010,1,10,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程0arctanln 22=-+xyy x 在点()0,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，0=y 的函数()x y y =.由公式()()yx yx x y y x y x F y x F dx dy y x -+=-+-=''-=,,. 2.求下列方程所确定的隐函数()y x z z ,=的偏导数xz∂∂，y z ∂∂. （1）()0ln 22=+-xyz xyz xz ；【解】令()()xyz xyz xz z y x F ln 22,,+-=z y x xyz xz ln ln ln 22+++-=，则x yz z F x 122+-='；y xz F y 12+-='；zxy x F z 122+-='.所以zxy x x yz z F F x z zx 122122+-+--=''-=∂∂；z xy x y xz F F y z z y 12212+-+--=''-=∂∂. （2）()z y x f z +-=2.【解】令()()z z y x f z y x F -+-=2,,，则()z y x f F x +-'='2；()z y x f y F y +-'-='22；()12-+-'='z y x f F z .所以()()122-+-'+-'-=''-=∂∂z y x f z y x f F F x z z x ()()zy x f zy x f +-'-+-'=221； ()()1222-+-'+-'--=''-=∂∂z y x f z y x f y F F y z z y ()()1222-+-'+-'=z y x f zy x f y . 3.设()y x z z ,=满足方程03333=-++axyz z y x ，求22xz∂∂.【解】令()axyz z y x z y x F 3,,333-++=，则ayz x F x 332-='；axy z F z 332-='.所以a x y z a y z x F F x z z x 333322---=''-=∂∂a x y z x a y z --=22. ① 所以=∂∂22x z ()()()222222a x yz ay x z z x ayz axy z x x z ay -⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂---⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂【代入①】()()()2222222222.axyz ay axy z x ayz z x ayz axy z x axy z x ayz ay -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=()()[]()()()()[]()3222222222axy zaxy z ay x ayz z x ayz axy z axy zx x ayz ay ----------=()()323312a x yza z xy --=.4.设函数()z y x f u ,,=可微，其中()()x z z x y y ==,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 确定，求dx du . 【解】方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y e dx dz dx dz x z e dx dy xy xz 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y z dxdz dx dz x z y dx dy解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=.11,1122yzx xz yz dx dz yz x xy yz dx dy所以，由全导数公式得 dx dz f dx dy f f dx du z y x ..'+'+'= ()()z y x f yzx xz yz f yz x xy yz f '-++'-++'=.11.1122. 5.求曲面4:=+zy zx e e S ①在点()1,2ln ,2ln 0M 处的切平面方程.【解】令()4,,-+=zy z xe e z y x F ，则z xx e z F 1='；z yy e z F 1='；z yz xz e zye z x F 22--='.曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}()||1,2ln ,2ln 22,1,1,,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧--='''=z yz x z y z x M z y x e z ye z x e z e z F F F {}2ln 4,2,2-=.所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为()()().012ln 42ln 22ln 2=---+-z y x 即 ()02ln 422=-+z y x .8.求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++Γ,04532,03:222z y x x z y x ①在点()1,1,10M 处的切线方程与法平面方程.【解法一】方程组两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得⎩⎨⎧='+'-=-'+'+.0532,03222z y z z y y x ②将点()1,1,10M 代入②式有()()()()⎩⎨⎧='+'-=-'+'.015132,011212z y z y ③由③式解得 ()()1611,1691-='='z y . 故Γ在点()1,1,10M 处的切向量为()(){}{}1,9,16||161,169,11,1,1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=''=z y s 切. 所以，Γ在点()1,1,10M 处的切线方程L 为1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【解法二】（一）先求03:222=-++x z y x S 在点()1,1,10M 处的切平面方程. 令()x z y x z y x F 3,,222-++=，则32-='x F x ；y F y 2='；z F z 2='. 曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}{}(){}2,2,12,2,32,,||1,1,10-=-='''=z y x F F F n M z y x .所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为 ()()()012121.1=-+-+--z y x ，即 0322=-++-z y x . （二） Γ在点()1,1,10M 处的切线方程为⎩⎨⎧=-+-=-++-,04532,0322:z y x z y x L若进一步化L 为点向式，则为 1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【注意】解法二的一般思路叙述如下：欲求曲线()()⎩⎨⎧==Γ,0,,,0,,:z y x G z y x F 在其上某点()0000,,z y x M 处的切线方程.首先分别求出曲面()0,,:1=z y x F S 在点0M 处的切线平面01111=+++D z C y B x A . ①及曲面()0,,:2=z y x G S 在点0M 处的切线平面02222=+++D z C y B x A . ② 然后将方程①、②联立即为Γ在0M 处的切线方程.即⎩⎨⎧=+++=+++Γ.0,0:22221111D z C y B x A D z C y B x A请同学们思考此解法的理论依据是什么？10.设函数()y x z z ,=由方程0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x F ① 所确定，且F 为可微函数，求dz .【解】由①得0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x dF由微分形式的不变性，有0...321=⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'x z d F z y d F y x d F 即01.1.1.232221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'dz x dx x zd F dz z y dy z d F dy y x dx y F 于是有dy F z F y x dx F y F x z dz F z y F x .111212`132223'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎭⎫⎝⎛'-' 所以得223212`1321.11F zy F x dyF z F y x dx F y F x z dz '-''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-'=. 习题8.62.求133223++-=xy y x x z 在点()1,31M 处从1M 到()5,62M 的方向的方向导数. 【解】{}4,321==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==54,530h .()12363||1,3221=+-=∂∂y xy x x z M ；()963||1,3221-=+-=∂∂xy x y z M . {}().0549531254,53.9,121=⨯-+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂M h3.求xyz u =在点()2,1,51M 处从1M 到()14,4,92M 的方向的方向导数. 【解】{}12,3,421==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1312,133,1340h .()2||2,1,51==∂∂yz x u M ；()10||2,1,51==∂∂xz y u M ，()5||2,1,51==∂∂xy zuM . {}.1398131251331013421312,133,134.5,10,21=⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=M4.求()()222321ln ,,z y x z y x f +++=在点()1,1,20M 处的梯度. 【解】()523212||1,1,22220=+++=∂∂z y x x x f M ； ()523214||1,1,22220=+++=∂∂z y x y y f M ； ()533216||1,1,22220=+++=∂∂z y x z z f M . 所以，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=53,52,521,1,2gradf .5.求22z xy u -=在()1,1,2-M 处方向导数的最大值. 【解】()22||1,1,2-==∂∂-y x u M ；()42||1,1,2==∂∂-x y u M ，()22||1,1,2-=-=∂∂-z z uM， 故 (){}2,4,21,1,2--=-g r a du ，所以方向导数的最大值为 ()()().622421,1,2222=-++-=-g r a d u6.求222z y x u ++=沿曲线()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ,sin 6,,2:3t z t y t x ππ在点()0,1,2M 处的切线方向的方向导数.【解】()0,1,2M 点对应参数1=t .Γ在点()0,1,2M 处的切向量为()()(){}(){}{}6,3,2c o s6,3,2,,||121-=='''===t t t t t z t y t x h π.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==76,73,720h .()42||0,1,2==∂∂x x u M ；()22||0,1,2==∂∂y y u M ，()02||0,1,2==∂∂z xuM . 所以有{}.276073272476,73,72.0,2,4=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂Mh9.设l 是曲面632:222=++z y x S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量，求zy x u 2286+=在A 点沿l 方向的方向导数. 【解】令()632,,222-++=z y x z y x F ，则x F x 4='；y F y 6='；z F z 2='.曲面S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量为 {}{}(){}{}1,3,2||2,6,42,6,4,,||1,1,1=='''=z y x F F F Az y x ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧==141,143,1420l . ()146866||1,1,122=+=∂∂y x z x x u A ；()148868||1,1,122=+=∂∂y x z y y u A ；()1486||1,1,1222-=+-=∂∂z y x z uA .所以，().14,148,1461,1,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂l ⎭⎬⎫⎩⎨⎧141,143,142()71114114143148142146=⨯-+⨯+⨯=. 习题8.71.求下列的极值：（1）()223333,y x y x y x f z --+==； 【解】（一）解方程组()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.063,,063,22y y y x f x x y x f y x ⎩⎨⎧==2,0,2,0y x 得四个驻点：()()()().2,2,0,2,2,0,0,04321P P P P（二）()()().66,,0,,66,-=''==''=-=''=y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx.因为该函数不存在不可微点，故()00,0=f 为函数的极大值；()82,2-=f 为 函数的极小值.（2）x xy y x z 82322+-+=； 【解】（一）解方程组()()⇒⎩⎨⎧=-='=+-='.026,,0822,x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧-=-=26y x 故得唯一驻点：()2,60--P ；无不可微点.（二）()2,=''y x f xx，()2,-=''y x f xy ；()6,=''y x f yy .在()2,60--P 处，因为 ()022,6>=--''=xxf A ；()22,6-=--''=xy f B ；()62,6=--''=yy f C ， ()0826222>=--⨯=-=∆B AC ，故()242,6-=--f 为函数的极小值.（3）()()y y y x y x f ln 2,22++=； 【解】（一）解方程组()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+='.0ln 12,,022,22y y x y x f y x y x f y x ⎩⎨⎧==-.,01e y x 故得唯一驻点：()10,0-e P ；无不可微点.（二）()224,y y x f xx+=''，()xy y x f xy 4,=''；()yx y x f yy 12,2+=''.在()10,0-e P 处， 因为()024,021>+=''=--e e f A xx；()0,01=''=-e f B xy ；()e ef C yy =''=-1,0， ()0024222>-⨯+=-=∆-e e B AC ，故()ee f 1,01-=-为函数的极小值.（4）()y y x e z x 222++=. 【解】（一）解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='.022,,01422,222y e y x f y y x e y x f xyx x ⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,21y x 故得唯一驻点：⎪⎭⎫⎝⎛-1,210P ；无不可微点.（二）()()124,22+++=''y y x e y x f x xx，()()44,2+=''y e y x f x xy ；()x yy e y x f 22,=''. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,210P 处，因为021,21>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=e f A xx；01,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=xy f B ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=1,21yy f C e 2=，002222>-⨯=-=∆e e B AC ，故21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-为函数的极小值.2.求下列的极值：（1）()22222,y x y x y x f -+=在区域(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D ； 【解】（一）内部 解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.022,,012,22x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧==.0,0y x ；⎩⎨⎧-=-=.1,2y x （舍）；⎩⎨⎧=-=.1,2y x ；⎩⎨⎧-==.1,2y x （舍）； ⎩⎨⎧==.1,2y x .因此得区域D 内三驻点：()0,01P 、()1,22-P 、()1,23P .计算得()00,0=f ，()21,2=±f . （二）边界1.在区域D 的边界[]()2,0422∈=+y y x 上，由于。
高等数学下册教材答案详解
高等数学下册教材答案详解第一章：一元函数微分学1.1 一元函数的概念在这一章节中，我们将学习一元函数的概念。
一元函数指的是只有一个自变量的函数，常用符号表示为y=f(x)。
其中，x为自变量，y为因变量。
一元函数可以描述自然界中很多变化规律，比如物体的运动轨迹、生物的生长变化等。
1.2 一元函数的极限一元函数的极限是指函数在某一点接近于这一点时的极限值。
我们用lim表示极限的计算方法。
极限可以帮助我们研究函数的变化趋势和性质。
1.3 一元函数的导数一元函数的导数描述了函数在某一点的变化速率。
导数可以用来求函数的切线方程、判断函数的单调性以及求函数的极值点等。
导数的计算方法有几何定义、极限定义和微分中值定理等。
第二章：一元函数积分学2.1 定积分的概念定积分是用来计算曲线下面的面积的工具。
定积分的计算方法有几何定义和换元积分法等。
2.2 不定积分与初等函数不定积分是指未给出积分上下限的积分，其结果是原函数。
初等函数是指由有限个常见函数的和、积、商、复合构成的函数。
2.3 定积分的计算方法定积分的计算方法有数值积分法和变量代换法等。
数值积分法常用于无法求解解析解的情况，变量代换法则是一种应用广泛的积分求解方法。
第三章：多元函数微分学3.1 多元函数的概念与一元函数不同，多元函数具有多个自变量。
我们可以用f(x,y)表示二元函数，用f(x,y,z)表示三元函数。
多元函数的研究可以帮助我们理解多变量之间的关系和变化规律。
3.2 偏导数与全微分偏导数是一种求多元函数导数的方法，它描述了函数在某一点对各个自变量的变化率。
全微分则描述了函数在某一点附近的变化情况。
3.3 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值和条件极值是研究函数的重要内容。
通过求解多元函数在一定条件下的极值，我们可以找到函数的最优解。
第四章：多元函数积分学4.1 二重积分与三重积分类似于一元函数积分，多元函数积分也可以用来计算曲面下面的体积。
二重积分用于计算平面区域上的曲面体积，而三重积分用于计算空间区域内的曲面体积。
高等数学教材答案解析完整版下册
高等数学教材答案解析完整版下册第一章：极限与连续1.1 极限的定义和性质对于极限的理解，我们首先需要明确极限的概念以及相关的性质。
在数学上，我们将极限定义为：若数列{an}满足当n趋近于无穷时，an 趋近于某个常数A，则称A为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an= A。
根据极限的性质，我们可以推导得到一系列有用的定理，如极限的唯一性定理、有界性定理等。
1.2 函数连续性函数的连续性在高等数学中占据着重要地位。
我们知道，一个函数若在某点x=a处连续，则在该点的左极限等于函数值等于右极限，即lim（x→a^-）f(x) = f(a) = lim（x→a^+）f(x)。
根据函数连续性相关的定理，如函数四则运算的连续性、复合函数的连续性等，我们可以更加深入地理解和运用连续函数的性质。
1.3 导数与微分导数的概念是微积分中的核心概念之一，其本质是对函数在某一点的变化率进行描述。
函数f(x)在点x=a处的导数定义为：lim（h→0）[f(a+h) - f(a)] / h。
导数的求解涉及到一系列的求导法则，如基本导数法则、高阶导数的计算等。
微分是导数的几何意义，可以描述函数曲线在某一点的切线斜率。
第二章：导数的应用2.1 最值与最值问题在求解最值问题时，我们需要使用导数和极值的概念。
根据导数的性质，我们可以得到一系列求解函数最大值和最小值的定理，如费马定理和辅助函数法。
2.2 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是函数图像的重要特征之一。
我们可以通过导数和二阶导数的方法来判断函数的凹凸性和拐点。
根据函数的凹凸性和拐点的性质，我们可以更好地理解和分析函数的变化趋势。
2.3 泰勒展开与函数逼近泰勒展开是将一个函数在某点附近展开成幂级数的形式。
利用泰勒展开，我们可以对函数进行逼近和求解近似值。
泰勒展开在工程和科学计算中具有广泛的应用，如求解方程和优化问题等。
第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的定义和性质定积分是对函数在一定区间上的积分运算。
高等数学同济第七版下课后习题及解答
高等数学同济第七版下课后习题及解答高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力起着至关重要的作用。
而《高等数学》同济第七版更是被广泛使用的经典教材之一。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、深化理解的重要环节。
下面，我们就来详细探讨一下这本教材下册的课后习题及解答。
首先，我们来了解一下这本教材下册所涵盖的主要内容。
下册主要包括多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等重要章节。
每个章节都配有丰富的习题，旨在帮助学生掌握相关的概念、定理和方法。
在多元函数微积分学部分，习题的类型多种多样。
有关于偏导数、全微分的计算，也有涉及多元函数极值和条件极值的问题。
例如，在计算偏导数时，学生需要熟练掌握对各个变量的求导法则，并且要注意函数的复合结构。
对于全微分的习题，需要理解全微分的定义以及其与偏导数的关系，通过练习能够准确地求出给定函数的全微分。
而在极值问题中，学生要学会运用拉格朗日乘数法，通过建立方程组来求解极值点。
无穷级数这一章节的习题则主要集中在级数的收敛性判别、函数展开成幂级数等方面。
对于级数的收敛性判别，需要掌握各种判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
在函数展开成幂级数的习题中，学生要熟悉常见函数的幂级数展开式，并能够运用相应的方法将给定的函数展开成幂级数。
常微分方程部分的习题包括一阶和二阶常微分方程的求解，以及线性微分方程解的结构等内容。
在求解一阶常微分方程时，要掌握分离变量法、一阶线性方程的求解公式等方法。
对于二阶常微分方程，要能够根据方程的特征根来确定通解的形式，并通过给定的初始条件求出特解。
接下来，我们谈谈如何有效地解答这些课后习题。
第一步，认真审题。
仔细阅读题目，理解题目所考查的知识点和要求。
明确题目中的已知条件和未知量，以及它们之间的关系。
第二步，回顾相关知识。
根据题目所涉及的知识点，迅速在脑海中回顾所学的概念、定理和方法。
如果对某些知识点感到模糊，应及时查阅教材进行复习。
高数课后习题答案及其解析
第一章习题 习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。
高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析
word 完美格式第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
同济高等数学下册课后题答案详解
第8章第1节向量及其线性运算习题8—111,12,15,17,18第8章第2节数量积、向量积、混合积习题8—23,4,6,7,9,10第8章第3节曲面及其方程习题8—32,5,7,9,10(1)(2)(3)(4)第8章第4节空间曲线及其方程习题8—43,4,7,8第8章第5节平面及其方程习题8—51,2,3,5,9第8章第6节空间直线及其方程习题8—61,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12,13,15第8章总复习题总复习题八1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2),15,17,19,20第9章第1节多元函数基本概念习题9—12,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8第9章第2节偏导数习题9—21(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2),9(1)第9章第3节全微分习题9—31(1)(2)(4),2,3,5第9章第4节多元复合函数的求导法则习题9—42,4,6,7,8(1)(2),10,11,12(1)(4)第9章第5节隐函数的求导公式习题9—51,2,4,5,6,8,9,10(1)(3)第9章第6节多元函数微分学的几何应用习题9—63,4,6,7,9,10,12第9章第7节方向导数与梯度习题9—72,3,5,7,8,10第9章第8节多元函数的极值及其求法习题9—81,2,5,6,7,9,11第9章第9节二元函数泰勒公式习题9—91,3第9章总复习题总复习题九1,2,3,5,6,8,9,12,15,16,17,20第10章第1节二重积分的概念与性质习题10—12,4,5第10章第2节二重积分的计算法习题10—21(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16 第10章第3节三重积分习题10—31(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1)第10章第4节重积分的应用习题10—41,2,5,6,8,10,14第10章总复习题总复习题十1,2(1) (3),3(1)(2)6,8(1)(2),10,11,12第11章第1节对弧长的曲线积分习题11—11,3(3)(4)(5)(7),4第11章第2节对坐标的曲线积分习题11—23(1) (2)(3) (5) (6)(7),4(1)(2)(3),7(1)(2),8第11章第3节格林公式及其应用习题11—31,2(1)(2),3,4(1)(2),5(1)(2)(4),6(1)(3)(4),8(1) (3)(5) (6)(7)第11章第4节对面积的曲面积分习题11—41,4(1)(2),5(1),6(1)(2)(3),7,8第11章第5节对坐标的曲面积分习题11—53(1)(2)(4),4(1)(2)第11章第6节高斯公式通量与散度习题11—61(1) (2)(3) (4) , 3(1)(2)第11章第7节斯托克斯公式环流量与旋度习题11—72(1) (2)(3),3(1)(2)第11章总复习题总复习题十一1,2,3,4,5,7,11第12章第1节常数项级数的概念和性质习题12—11(1)(4),2(3)(4),3,4第12章第2节常数项级数的审敛法习题12—21(1)(4) (5),2(1)(4) ,3(1)(3),4(1)(3)(5),5(1)(2)(3) (5)第12章第3节幂级数习题12—31,2第12章第4节函数展开成幂级数习题12—42,3,4,5,6第12章第7节傅里叶级数习题12—71(1)(2),2(1),3,4,5,6第12章第8节一般周期函数的傅里叶级数习题12—81(1)(2),2第12章总复习题总复习题十二1,2(1)(2)(3)(5),4,5(1)(2)(4),6(1),7(1)(2)(4),8(1)(2)(3),9(1),10(1),11。
高数一下考题讲解
答案：C
5、曲线 y y ( x) 经过点 (0, 1), 且满足微分方程
y 2 y 4 x, 则当 x 1 时， y
（A） 0
1 （B）
（C） 2
（D）4 答案：B
6、函数 z ln( x y ) 的定义域是： （A） ( x, y) x 0, y 0
9、若 f ( x, y) x50 y301 , 则
x 2 y 2 1
f ( x, y ) d x d y 0
10、设曲线 L 是分段光滑的且 L L1 L2 ,
f x, y d s 2, f x, y d s 3, 则 f x, y d s 5
( x, y) x y 0 （B）
( x, y) | x y 0 （D）
答案：C
( x, y) x y 0 （C）
sin xy 7、计算 lim ( x , y ) (0,b ) x
（A） 1
b （B）
（C） 0
（D） 答案：B
8、设 I1 x y d , I 2 x y d , 其中D
2 2 xy
2
xy xy y e f 2 ye (2 xf 21 ye f 22 ) 2 xy
（3分）
2 f1 y 2 e xy f 2 4 x 2 f11 4 xye xy f12 y 2e 2 xy f 22
(1分)
3、计算二重积分 xy d , 其中D 由直线 y 1, x 2 及 y x 所围成.
2
（1分）
(1分)
4、计算曲面积分 ( x y z ) d S , 其中 为平面
高等数学(同济第七版下)课后习题及解答
高等数学(同济第七版下)课后习题及解答高等数学(同济第七版下)课后习题及解答一、函数与极限1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 2, 求以下极限：(1) lim(x→2) f(x)(2) lim(x→-1) f(x)解答：(1) 当x → 2 时，f(x) = x^2 + 3x - 2 = 2^2 + 3(2) - 2 = 12所以，lim(x→2) f(x) = 12(2) 当x → -1 时，f(x) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = -2所以，lim(x→-1) f(x) = -22. 求以下极限：(1) lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)(2) lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)解答：(1) 利用极限的性质，lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)= lim(x→0) (3x)/(4x) = 3/4(2) 利用极限的性质，lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)= lim(x→∞) x(x - 2)/(x - 1) = ∞二、导数与微分1. 求以下函数的导数：(1) y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1(2) y = sin(2x) + cos(3x)(3) y = e^x/(1 + e^x)解答：(1) y' = 3x^2 + 4x - 3(2) y' = 2cos(2x) - 3sin(3x)(3) 利用商链规则和指数函数的导数性质，y' = e^x/(1 + e^x) - e^x*e^x/(1 + e^x)^2= e^x/(1 + e^x) - (e^x)^2/(1 + e^x)^2= e^x(1 - e^x)/(1 + e^x)^22. 求以下函数的微分：(1) y = 3x^2 + 4x - 2(2) y = sin(3x) + cos(2x)(3) y = ln(x) + e^x解答：(1) dy = (6x + 4)dx(2) dy = 3cos(3x)dx - 2sin(2x)dx(3) 利用对数函数和指数函数的微分性质，dy = (1/x)dx + e^xdx三、定积分与不定积分1. 求以下定积分：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx(2) ∫[π/4,π/2] sinx dx解答：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 |[0,1]= (1/3)(1)^3 + (1)^2 - (1/3)(0)^3 - (0)^2= 4/3(2) 利用不定积分的基本公式，∫ sinx dx = -cosx∫[π/4,π/2] sinx dx = [-cosx] |[π/4,π/2] = -cos(π/2) - (-cos(π/4)) = -1 + √2/2 = √2/2 - 12. 求以下不定积分：(1) ∫(x^2 + 2x)dx(2) ∫sinx dx解答：(1) ∫(x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 + C(2) ∫sinx dx = -cosx + C四、级数1. 判断以下级数的敛散性：(1) ∑(n=1,∞) (1/n)(2) ∑(n=1,∞) (1/2)^n解答：(1) 这是调和级数，已知调和级数∑(n=1,∞) (1/n) 发散。
高等数学下册教材答案解析
高等数学下册教材答案解析本文将对高等数学下册教材中一些重要且具有难度的题目进行答案解析，以帮助学生更好地掌握数学知识和解题技巧。
以下是几个题目的答案解析：1. 题目：求函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 的最小值。
解析：首先，我们可以通过求导数的方法来求取函数的最小值。
对 f(x) 求一阶导数，得到 f'(x) = 2x + 2。
然后，令 f'(x) = 0，解得 x = -1。
将 x = -1 带入原函数 f(x)，得到f(-1) = 0。
因此，函数 f(x) 的最小值为 0，当 x = -1 时取得。
2. 题目：已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 B = {3, 4, 5, 6, 7}，求 A 和 B 的交集和并集。
解析：集合的交集指的是两个集合中共有的元素，即A ∩ B。
根据给定的集合 A 和 B，可以得出A ∩ B = {3, 4, 5}。
集合的并集指的是两个集合中所有的元素，即 A ∪ B。
根据给定的集合 A 和 B，可以得出 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
3. 题目：已知函数 y = log(x)，求 y 的导函数和二阶导函数。
解析：函数 y = log(x) 的导函数可以通过对函数进行求导得到。
根据导数的定义，导函数为 y' = 1/x。
对导函数 y' = 1/x 再次求导，得到二阶导函数 y'' = -1/x^2。
4. 题目：已知二次曲线的一般方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
求该二次曲线的顶点坐标。
解析：二次曲线的顶点坐标可以通过求导数的方法得到。
首先，对一般方程求导，得到 y' = 2ax + b。
将 y' = 0，解得 x = -b/(2a)。
将 x 带入一般方程，得到 y = a(-b/(2a))^2 + b(-b/(2a)) + c。
大一高数下习题册答案解析
大一高数下习题册答案解析大一高数下习题册答案解析大学的高等数学课程对于许多大一新生来说是一个巨大的挑战。
高数下学期的习题册更是让许多同学感到头疼。
为了帮助大家更好地理解和掌握高数下习题册中的问题，本文将对一些典型题目进行解析和讲解。
一、函数与极限在高数下学期的习题册中，函数与极限是一个重要的章节。
其中，极限的概念和性质是理解整个章节的关键。
在习题册中，经常会出现一些求极限的问题，下面我们就以一个典型的例子来进行解析。
例题：求极限lim(x→0) (sinx/x)。
解析：首先，我们可以观察到当x趋近于0时，分子sinx也趋近于0，而分母x 也趋近于0。
这个极限的形式是0/0型，我们可以利用洛必达法则来求解。
根据洛必达法则，我们可以对分子和分母同时求导。
对于分子sinx，它的导数是cosx；对于分母x，它的导数是1。
所以，原极限可以转化为求lim(x→0) (cosx/1)。
再次观察新的极限，我们可以发现当x趋近于0时，分子cosx也趋近于1，分母1保持不变。
所以最终的极限结果是1。
二、导数与微分导数与微分是高数下学期习题册中的另一个重要章节。
在这个章节中，我们需要掌握导数的定义和性质，以及一些常见函数的导数公式。
下面我们以一个例题来进行解析。
例题：求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。
解析：对于这个函数，我们可以使用导数的定义来求解。
导数的定义是函数在某一点的变化率，可以通过求函数的极限来得到。
对于函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们可以先求出它的变化率。
设x1和x2是两个不同的点，那么函数在这两个点的变化率为：Δy/Δx = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1)将函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1代入上式，我们可以得到：Δy/Δx = [3x2^2 - 2x2 + 1 - (3x1^2 - 2x1 + 1)] / (x2 - x1)化简上式，我们得到：Δy/Δx = 3(x2 + x1) - 2当Δx趋近于0时，上式的极限就是函数f(x)在点x处的导数。
《高等数学》下册课后习题详细解答
176
又 cos
x
2
x2 y2 z2 7
190 x1 2, x2 49
y
3
285
cos
x2 y 2 z2 7
y1 3, y2 49
故点 P 的坐标为 P（ 2， 3， 6）或 P（ 190 , 285 , 570 ） . 49 49 49
20. 已知 a, b 的夹角
2π
，且
a
3, b
4 ，计算：
D 1，D 2，D3， D4，再把各分点与 A 连接，
试以 AB c， BC a 表示向量 D1A , D2A , D3 A 和 D4 A .
解： D1A BA BD1 D 2A BA BD 2 D3 A BA BD3 D 4A BA BD 4
1 ca
5 2 ca 5 3 ca 5 4 c a. 5
证明：利用三角形法则得证 .见图 7-1
图 7-1
9. 设 u a b 2c, v
a 3b c. 试用 a, b, c 表示 2u 3v.
解：
2u 3v 2( a b 2c) 3( a 3b c) 2a 2b 4c 3a 9b 3c 5a 11b 7c
10. 把△ ABC 的 BC 边分成五等份，设分点依次为
a- b={ - 6,10,14} 又( a+b)· ( a- b)= 2 × (- 6)+4 × 10+(- 2) ×14=0
故( a+b) ( a- b).
27. 已知 a =3i+2j - k, b =i- j+2 k,求：
(1) a× b;
(2) 2a× 7b;
(3) 7 b× 2a;
(4) a× a.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
令 x − a = t,
∫a
+∞
ax + b dx = ∫0 2 2 x − 2ax + 1 + a
2
+ ∞ at
+a +b dt 2 t +1
2
t = (a + b ) + a ∫0 2 dt 2 t +1 广义积分收敛的充要条 件是 : a = 0,
π
+∞
由广义积分收敛于 π , 故得 : b = 2.
例4. f ( x )在( −∞ ,0), ( 0,+∞ )内连续 , x = 0是 f ( x )的无穷间断 ** 点,则( D). 则 作业2册, P1, 2( 2). 1 ( A)广义积分 ∫ 1 f ( x )dx可定义为 : −
t →0
lim+ [ ∫−1 f ( x )dx + ∫t f ( x ) dx ].
= [2(1 + cosϑ )] + [− sin ϑ ] dϑ
2 2
= 2 2(1 + cos ϑ )dϑ = 4 | cos | dϑ 2
s = ∫0 ds = 2 ∫0 ds
2π
ϑ
π
= 8 ∫0 cos dϑ = 16 sin |0 = 16. 2 2
教材参考P367, 例15, 教材参考
π
ϑ
例4. 设有底边长为 2a , 高为 h的等腰三角形簿板 , 将其 铅直放入水中 , 使底边与水面重合 , 水的密度为 ρ , 则该
簿板一侧所受到的水压 力为( C )
2 ( A) aρgh2 ; 3 1 ( B ) aρgh2 ; 2
期中考试题七 (1). 1 1 2 (C ) aρgh ; ( D ) aρgh2 ; 3 6
例5. 求曲线 xy = 1与直线 x = 1, x = 2及 x轴所围成平面
图形分别绕 x轴, y轴旋转一周所生成的旋 转体的体积
V x 和V y .
画出平面图形, 解:画出平面图形 画出平面图形
期中考试题一
V x = π ∫1 ydx =π ∫1
2
2
2
1 π 2 π dx = − |1 = , 2 x 2 x
a y=− x+a O h
解: 如图建立坐标系 如图建立坐标系,
P = ∫0 ρgxdA = ∫0
h
h
h
a ρgx 2( − x + a )dx h
x y x + dx
1 2 = 2 ρga ∫0 ( − x + x )dx h h2 h2 1 h 2 = 2 ρga ( − + ) = aρgh = × ah × ρg . 3 2 3 3
如图建立坐标系, 解: 如图建立坐标系
O x
x
pv = k = 8 × 105 π × 0.12 × 0.8 = 6400π
k 6400π 640000 p( x ) = = , = 2 v π × 0.1 × (0.8 − x ) 0.8 − x
640000 6400π 2 F ( x ) = p( x ) ⋅ S = − , × π × 0.1 = − 0.8 − x 0.8 − x 6400π , W = 0.4 6400π dx = 6400π ln 2. ∴ F外 = ∫ 0 0 .8 − x 0 .8 − x
将该容器埋于地下 , 容器口离地面 3 m , 若在容器中灌满 水 , 试求抽出全部水所需的 功.
如图建立坐标系, 解: 如图建立坐标系
W = ∫0 1000 gπ ⋅ 2 xdx ∫4 1000 gπ 22 − ( x − 4)2 xdx +
2 4 6
作业1册, P 2,
***
2.
[
]
1 = 1000 gπ ( 37 )(焦耳 ) ≈ 1.15 × 106 (焦耳 ). 3
O
x
x + dx
4 6
或W = ∫ − 4 1000 gπ ⋅ 22 ( 4 + x )dx + ∫ 0 1000 gπ ( 22 − x 2 )(4 + x )dx
2
0
x
例3. 在直径为 0.2 m , 高为0.8 m 的圆柱形汽缸内 , 充满了
压强为8 × 105 Pa的气体 , 若要将气体的体积压缩 到原来 *** 的一半 ,问需作功多少 ? 作业1册, P 3, 4. 问需作功多少
4
π
2 π t 2 )
2
π
4
1 3 2 = + ln 2 − π . 4 2 32
π
例3.已知广义积分 已知广义积分
∫a
+∞
求a , b的值.
ax + b 收敛于 π , 2 x − 2ax + 1 + a
作业1册, P11,
***
11.
解: x 2 − 2ax + 1 + a 2 = ( x − a )2 + 1,
2
V y = 2π ∫1 xydx 2π ∫1
1 x dx = 2π . x
H 例6. 证明半径为 R, 高为 H的球缺体积为 : πH R − . 3 ** 作业16册, P 6, 2. 画出平面图形, 解:画出平面图形 画出平面图形 y
球缺由： 球缺由： x 2 + y 2 = R 2 , y = R − H
一、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积计算 平面图形的面积计算. 分直角坐标系和极坐标系下的计算. 分直角坐标系和极坐标系下的计算 2.曲线弧长的计算 曲线弧长的计算. 曲线弧长的计算
s = ∫a ds . (a < b )
表示曲线方法的不同, 弧微分及积分的表达式也不同. 表示曲线方法的不同 弧微分及积分的表达式也不同 3.立体的体积计算 重点是旋转体的体积计算 立体的体积计算, 重点是旋转体的体积计算. 立体的体积计算 有两种方法, 园柱簿壳法是高级解法. 有两种方法 园柱簿壳法是高级解法
1 + x2 , 0), (0, 1 + x 2 ), 切线与坐标轴的交点为 : ( 2x 1 1 1 + x2 2 2 面积A( x ) = × × (1 + x ) − ∫0 (1 − x )dx, 2 2x 1 2 2 2 (1 + x ) − , (0 < x < 1) = 4x 3
1 2 2 2 A( x ) = (1 + x ) − , 4x 3 1 1 2 2 A′( x ) = − 2 (1 + x ) + (1 + x 2 )4 x 4x 4x 1 1 2 2 2 2 = 2 [ −(1 + x ) + 4 x (1 + x ) = 2 (1 + x 2 )( 3 x 2 − 1), 4x 4x 1 , 内有唯一驻点: 在(0,1)内有唯一驻点 x = 内有唯一驻点 3 1 1 当x < 时, A′( x ) < 0, 当x > 时, A′( x ) > 0, 3 3 1 的最小值点. 故 x= 是A( x ) 的最小值点 3 2 4 2 4 X + . 或, y = − x+ . 所求切线为 : Y = − 3 3 3 3
及 y轴所围成区域绕 y轴旋转而成 ,
H R− H
2
V = ∫R H πx 2dy = π ∫R− H R 2 − y 2 dy −
1 3 R 1 2 2 = π R y − y R − H = πH R − H . 3 3
R
R
(
)
R
x
ห้องสมุดไป่ตู้
例7. 求心形线 ρ = 2(1 + cosϑ )的全长 s . 期中考试题六 (9). 2 2 解: ds = [ ρ (ϑ )] + [ ρ ′(ϑ )] dϑ
ϑ
π
二、物理应用及广义积分 1.变力作功 变力作功 2.静压力 静压力 3.两类广义积分 两类广义积分
例1. 一个长为 l 0的弹簧被 F牛顿的力拉长 ∆ l米 , 设所需功 W1 为W0 , 现把此弹簧再拉长 ∆l米, 再作功 W1 , 则 = ( B ). W0
( A)4;
( B )3;
(C )2;
故( A)结论错误 , 而( B )结论正确 .
例2. 计算广义积分 解: 令 x = tan t ,
∫1
+∞
arctan x . 2 2 x (1 + x )
作业1册, P 9,
***
8.
t sec 2 tdt 原积分 = ∫ π tan 2 t (1 + tan 2 t ) 4
2
π
= ∫ π2 t (csc 2 t − 1)dt = − ( t ⋅ cot t − ln sin t +
−∞
f ( − x ) = A.
+ ∞ f (ln x ) f (ln x ) ( D ) ∫1 dx必收敛 , 且 ∫1 = A. x x 由积分的换元法知道: 解: 由积分的换元法知道 (C ), ( D )结论正确 ,
由题设知 : 对于任意实数 a , f ( x )在[a ,0]可能无界 ,
例3. 求极坐标中区域 ρ (cosϑ + sinϑ ) = 3
和 ρ 2 sin 2ϑ = 4 围成图形的面积 .
画出平面图形, 解: 画出平面图形
2
作业16册, P 4,
***
8.
ρ (cosϑ + sinϑ ) = 3 表示直线 : x + y = 3,
ρ sin 2ϑ = 4 表示双曲线 : xy = 2,