微积分计算公式共5页

§3-6 常用积分公式表·例题和点评

⑴d k x kx c =+⎰

(k 为常数)

⑵1

1

d (1)1

x x x c μ

μμμ+≠-=++⎰ 特别，2

11

d x c x x =-+⎰

,

32

23x x c =+

, x c =⎰ ⑶

1d ln ||x x c x =+⎰

⑷d ln x

x

a

a x c a

=

+⎰, 特别，e d e x x

x c =+⎰ ⑸sin d cos x x x c =-+⎰

⑹cos d sin x x x c =+⎰ ⑺

2

2

1

d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰

⑻

2

2

1

d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰

⑼arcsin (0)x x c a a

=+>,

特别，arcsin x x c =+ ⑽

2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+⎰,特别，2

1

d arctan 1x x c x =++⎰

⑾

22

11d ln (0)2a x

x c a a a x a x +=+>--⎰

或

22

11d ln (0)2x a

x c a a x a x a -=+>+-⎰

⑿tan d ln cos x x x c =-+⎰

⒀cot d ln sin x x x c =+⎰

⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c

x x x x

c x ⎧-+⎪=

=⎨+⎪⎩

⎰⎰

⒂πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x c

x x x x c x ⎧++⎪=

=⎛⎫

⎨++ ⎪⎪

⎝⎭⎩

⎰⎰

第 131 页

⒃(0)

a x >==

ln x c ++

⒄2(0)

arcsin 2a a x x c a >==+

⒅

x

2(ln 2

a a x c >==++

⒆22

22sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax

ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩

⎰

⎰

⒇

12222212

123

d ()2(1)()2(1)n

n n n x n x c a x n a a x n a I I ---==+++-+-⎰

（递推公式） 跟我做练习

(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)

例24

⑴

2)x x =

-[套用公式⒅]

1

ln (2)2

x =

-+

⑵[

1(24)42

x x x =

-+⎰⎰

2145)2

2

x x x =-++

=(请你写出答案)

⑶

2)x x =

-

ln (2)x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]

⑷

1

2x x =

2122x =

+

=(请你写出答案)

⑸

2)x x =

-

232arcsin

23x -=

[套用公式⒄]

⑹[

1(42)42

x x x =

---⎰

⎰

214)2

2

x x x =-

+-+

=(请你写出答案)

⑺

=

=[套用公式⑼]2

arcsin

3x -=

⑻

(42)4d 12

x x

--=

-

212

2

=+-=(请你写出答案)

例25 求原函数4

1

d 1x x +⎰

. 解 因为

)21)(21()2()1(2)21(1222222424x x x x x x x x x x +-++=-+=-++=+

所以令

411x ++为待定常数）D C B A ,

,,(

22=

从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得

方程组

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+=+++-=++-=+（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1C A D C B A D C B A D B

解这个方程组(在草纸上做)，得21,2

21,21,221

=-==

=

D C B A . 因此， 4

1

d 1x x +

⎰

x x =+ 右端的第一个积分为