超静定结构位移计算力学
合集下载
结构力学_11超静定结构-位移法
§11.3 位移法的基本未知量和基本体系
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
（1）忽略轴向力产生的轴向变形 （2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
C
C
D
D
A
B
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的
基本方法 （手算）
机算
力法
位移法
矩阵 力法
力矩分配法
矩阵 位移法
力法几次9超次静定?
位移法几1次次超静定?
§11.1
P C θA
θA
位移法的基本概念
B
A
附加
刚臂 C
P B
附加刚臂限制结
点位移，荷载作
A 用下附加刚臂上
产生附加力矩
C θA
B
θA
施加力偶使结点产 生的角位移，以实
A 现结点位移状态的
一致性。
D
2
C
F22
A
D
A
D
Fk1111
2i B
1 =1
i
A
C
kF2211
Fk122
B
i
D
A
建立基本方程
F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a)
k111 + k122 +F1P =0………..(1) k211 + k222 +F2P =0………..(2)
结构力学 超静定结构计算)
0 0
(0)
(0)
0
00
0
绘M 图
17.67
3.17
(12)
D
A
B
C
1.9
M 图(kN·m)
21.6
【例】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。
M
A
B
M/2
解：运算过程如图所示
运算过程
M图(kN·m)
本节小结
一、转动刚度S：
远端固定：S = 4i 远端铰支：S = 3i 远端滑动 S = i 远端自由 S = 0
锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。
第八章渐近线法及其他算法简述
§1 力矩分配法的基本概念 §2 多结点的力矩分配 §3 对称结构的计算 §4 无剪力分配法 §5 力矩分配法与位移法联合应用
渐近法有力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等，它们 都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算 典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的 方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增 加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的物理概念生 动形象，每轮计算都是按相同步骤进行，易于掌握，适 合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。 因此，在结构设计中得到广泛应用。在连续梁及无侧移 刚架中应用十分广泛。
超静定结构的计算方法: 力法、位移法
力法计算步骤
位移法计算步骤
1、选取基本体系
1、设基本未知量
2、列力法方程
2、列杆端弯矩方程
3、计算系数及自由项 3、列位移法方程
4、解方程 5、作内力图
4、解方程 5、求杆端弯矩
6、做内力图
为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计 算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程 中进行力矩的分配与传递。
结构力学 超静定结构的位移计算
2P
3a 3 12 21 4 EI
17 Pa 3 48EI
16 P X2 44
X1
3P 44
EI
p EI
6Pa/44 3Pa/44 3Pa/44 8Pa/44
2EI
16 P X2 44
M图
1
P=1
1 A EI
6 Pa 1 Pa 1 1 a 1 a 1 2 44 2 4 2 EI
6 150
30
90
M
P=1
MP
结构的 弯矩图
超静定结构的位移计算
4） M图与M P图图乘，
CV 1800 EI
小结：超静定结构的位移计算： 图 1）选基本体系作出超静定结构的弯矩图，作为MP
2）任选该超静定结构的一种基本结构，在拟求位移 M 的位置作用单位力，作出 图
3）
M图与M P图图乘结果就是所求的位移。
2）原结构等价于基本体系，则原结构在C点竖向位移，就 等价于求基本结构在X1 ，X2 及分布荷载q共同作用下C点竖 向位移。即，问题转化为求静定结构的位移问题。 150
q
- 5 kN
75 kN C
30
90
求此结构体系的位移， 3个荷载作用
结构的 弯矩图
超静定结构的位移计算
3）为求C处的竖向位移，在C处 作用P=1，与MP图图乘即可。
3Pa 7 Pa 2 1 1 a 44 176 EI 2
超静定结构的位移计算
计算实例
图示结构，各杆长都是 L，梁截面为矩形，截面高度h 数为 。求（1）绘弯矩图（2）求杆 A 端转角
L 10
，线膨胀系
-150 -150 A +250
3a 3 12 21 4 EI
17 Pa 3 48EI
16 P X2 44
X1
3P 44
EI
p EI
6Pa/44 3Pa/44 3Pa/44 8Pa/44
2EI
16 P X2 44
M图
1
P=1
1 A EI
6 Pa 1 Pa 1 1 a 1 a 1 2 44 2 4 2 EI
6 150
30
90
M
P=1
MP
结构的 弯矩图
超静定结构的位移计算
4） M图与M P图图乘，
CV 1800 EI
小结：超静定结构的位移计算： 图 1）选基本体系作出超静定结构的弯矩图，作为MP
2）任选该超静定结构的一种基本结构，在拟求位移 M 的位置作用单位力，作出 图
3）
M图与M P图图乘结果就是所求的位移。
2）原结构等价于基本体系，则原结构在C点竖向位移，就 等价于求基本结构在X1 ，X2 及分布荷载q共同作用下C点竖 向位移。即，问题转化为求静定结构的位移问题。 150
q
- 5 kN
75 kN C
30
90
求此结构体系的位移， 3个荷载作用
结构的 弯矩图
超静定结构的位移计算
3）为求C处的竖向位移，在C处 作用P=1，与MP图图乘即可。
3Pa 7 Pa 2 1 1 a 44 176 EI 2
超静定结构的位移计算
计算实例
图示结构，各杆长都是 L，梁截面为矩形，截面高度h 数为 。求（1）绘弯矩图（2）求杆 A 端转角
L 10
，线膨胀系
-150 -150 A +250
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
结构力学位移法
P A
MAB0
B MBA0
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。 P A
QAB0
B QBA0
静超静定结构计算——位移法
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示。
EI EI EI f 三、两端固定梁的转角位移方程 M AB 4 A 2 B 6 M AB
A D
B
C
1、写出杆端力的表达式( Z1 B , Z2 c ) ：
M AB 2 M BA M BC EI 30 6 Z1 l 8 EI 30 6 4 Z1 l 8 EI EI 4 Z1 2 Z2 l l
M CB 2 M CD M DC EI EI Z1 4 Z2 l l EI 10 6 2 3 Z2 l 8 0
2 EI 4 EI Z Z 2 22.பைடு நூலகம் 0 1 3 3 2 EI Z 7 EI Z 45 0 1 2 6 3
28.56 Z 1 EI Z 46.73 2 EI
解方程，求得
静超静定结构计算——位移法 2、根据平衡条件列位移法方程 ：
MCB C MCD 30kN B QBA
C QCD
M CB M CD 0 QBA QCD 30 0
即：
3i ( 3 iZ ) ( 4 iZ Z2 ) 0 1 1 2 ( 3i Z 30) ( 3i Z 3i Z ) 0 1 2 16 2 2 4
4、确定线位移的方法
（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也 是不动点。
自考结构力学_超静定结构的内力和位移
取C结点，如图6.12c所示，由∑y=0 得： 4 NCA = QCB = ql 7
取结点B，由∑X=0 ，已知 3 得 NBC = ql 7
3 x2 = ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
三、力法典型方程
支座移动时的计算
X1
d11 X 1 d12 X 2 D1c = 0 h d 21 X 1 d 22 X 2 D 2c =
1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多 余力）。
2、力法基本体系 力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的 静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束 后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余 力共同作用的体系。
3、力法基本方程 力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移 一致的条件。 方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算 问题，显然，超静定转化为静定问题。
1 (d 11 ) k 25 X 1 = ql ( ) 32 5 X 1 = ql ( ) (c) 4
？
基 本 体 系
M图由M = M1 X1 M P 作出：
温度内力的计算
画出 M 1 , M 2 , N1 , N 2 图 计算
t1 t1 t2 t1 X1
t1 t2
梁刚架： 系 数 桁 架：
d d
d
M i yi = i ds= ii EI EI j yi Mi M j ds = ij = EI EI 2 N l = i ii EA
2
自由项
梁刚架：
桁 架：
d ij = EA M M ds D iP = EI
Ni N jl
d11 X1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X1 d 22 X 2 D2 P = 0
结构力学位移法
r31=r13= –9/8
r32=r23= –1/2
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P
4m
4m
5m
4m
2m
A
B
C
D
F
E
i=1
i=1
i=1
i=3/4
i=1/2
q=20kN/m
(1/8) × 20×42=40
(1/12) × 20×52=41.7
R1P=40–41.7= –1.7
R2P=41.7
R3P=0
位移法的基本思路概括为，先离散后组合的处理过程。所谓离散，就是把对整体结构的分析转化对单个杆件系在变形协调一致条件下的杆系分析。所谓组合，是要把离散后的结构恢复到原结构的平衡状态，也就是要把各个杆件组合成原结构，组合条件就是要满足原结构的平衡条件。
◆ 确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
◆确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
（6）建立位移法基本方程：
（7）解方程求结点位移：
（8）绘制弯矩图
A
B
C
D
F
E
M图（kN•m）
18.6
42.8
47.8
26.7
23.8
14.9
5
3.6
8.9
3.97
（9）校核
结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。
由于考虑了结点和杆件的联结以及支座约束情况，所以满足了结构的几何条件，即变形连续条件和支座约束条件
位移法基本结构
位移法中采用增加附加约束，以限制原结构的结点位移而得到的新结构，称为位移法的基本结构
● 在刚结点处附加刚臂，只限制刚结点的角位 移，不限制结 点线位移，用符号“▼”表示刚臂
r32=r23= –1/2
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P
4m
4m
5m
4m
2m
A
B
C
D
F
E
i=1
i=1
i=1
i=3/4
i=1/2
q=20kN/m
(1/8) × 20×42=40
(1/12) × 20×52=41.7
R1P=40–41.7= –1.7
R2P=41.7
R3P=0
位移法的基本思路概括为，先离散后组合的处理过程。所谓离散，就是把对整体结构的分析转化对单个杆件系在变形协调一致条件下的杆系分析。所谓组合，是要把离散后的结构恢复到原结构的平衡状态，也就是要把各个杆件组合成原结构，组合条件就是要满足原结构的平衡条件。
◆ 确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
◆确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
（6）建立位移法基本方程：
（7）解方程求结点位移：
（8）绘制弯矩图
A
B
C
D
F
E
M图（kN•m）
18.6
42.8
47.8
26.7
23.8
14.9
5
3.6
8.9
3.97
（9）校核
结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。
由于考虑了结点和杆件的联结以及支座约束情况，所以满足了结构的几何条件，即变形连续条件和支座约束条件
位移法基本结构
位移法中采用增加附加约束，以限制原结构的结点位移而得到的新结构，称为位移法的基本结构
● 在刚结点处附加刚臂，只限制刚结点的角位 移，不限制结 点线位移，用符号“▼”表示刚臂
结构力学-第五章-力法4
§5-7 最后内力图的校核
例： 试校核图示刚架的弯矩图其是否有误。
M C B
2M /5 C 3M /5 M /5
A
l
B
M
1
3M /5
B X1 = 1
EI= 常数
A l/ 2
M
2M /5
A
M1 图
解:(1)平衡条件校核。 取刚结点C 为隔离体,满足平衡条件。 (2)校核位移条件。 检验C 结点两个端面间的相对转角位移 Δ C 是否为零, 任取一基本结构作图M 1 ，令 M 1 与M 相图乘得： 2m m 1 1 l 3m 2 1 ml ml 5 5 Δ C [ 1 l 1] [ ]0 EI 2 2 5 3 2 EI 10 10
小 结
小
结
力法是求解超静定结构最基本的方法。力法的基本原 理是将原超静定结构中的多余约束解除，代之以相应的未 知约束反力。原结构就变成了在荷载及多余未知力作用下 的静定结构。这个静定结构称为原结构的基本体系 , 多余 未知力称为原结构的基本未知数。根据基本体系中多余未 知力作用点的位移应与原结构一致的条件，即多余约束处 的位移谐调条件，建立位移协调方程。这就是力法典型方 程。方程中的基本未知数是体系的多余未知力。这种以未 知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力法。 由于基本体系满足位移谐调条件 , 因此基本体系的内力 与变形便与原超静定结构完全一致。利用位移约束条件解 出多余未知力是力法的关键 , 求出多余未知力后便将超静 定问题转化为静定问题了。以后的计算便与静定结构的求 解完全一样。
§5-7 最后内力图的校核
结论：亦满足给定位移条件，原弯矩图是正确的。
X1 = 1
C B
A
也可取图悬臂刚架作基本结构，计算B点水平位 移△xB 是否为零。
关于超静定结构位移计算公式的推导
关于超静定结构位移计算公式的推导
一、超静定结构位移计算公式的推导
1.基本原理
超静定结构位移计算公式是基于结构动力学原理推导出来的，它是用来计算结构在某一特定荷载作用下的位移的。
2.基本公式
超静定结构位移计算公式的基本公式是：
u=K*F
其中，u表示结构的位移，K表示结构的刚度矩阵，F表示结构受到的外力。
3.推导过程
超静定结构位移计算公式的推导过程如下：
（1）首先，根据结构动力学原理，可以得到结构的动力学方程：
K*u=F
其中，K表示结构的刚度矩阵，u表示结构的位移，F表示结构受到的外力。
（2）接着，将上式进行求解，得到：
u=K^(-1)*F
（3）最后，将上式进行简化，得到最终的超静定结构位移计算公式：
u=K*F
综上所述，超静定结构位移计算公式的推导过程就是这样的。
建筑工程力学教程：12 位移法计算超静定结构
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数
杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
线刚 i EI
度
l
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
二.位移法基本概念
Z1
q
EI
EI
Z1
=
Z1 q
Z1
=
Z1=1
Z1
q
+
Z1
q
EI
r22
---位移法典型方程
r11
r12
rij (i=j) 主系数>0
Z1
Z2
rij (i=j) 副系数
q
F2P
ql
ql
F1P 刚度系数,
体系常数
rij = rji 反力互等 FiP 荷载系数
ql
q
ql
q
F2 Z1
F1=0
l/2 l/2
EI=常数
ql
65 184
9
23
l
139
r21
184
Z1=1
同作用下
x
符号规定:
杆端弯矩---绕杆端顺时针为正
杆端剪力---顺时针为正
杆端转角---顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针
转为正
y
转角位移方程
x
y 由线性小变形，由叠加原理可得
M
AB
4i A
2i B
6i l
AB
MF AB
M
BA
4i B
2i A
6i l
AB
MF BA
A
4i A
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数
杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
线刚 i EI
度
l
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
二.位移法基本概念
Z1
q
EI
EI
Z1
=
Z1 q
Z1
=
Z1=1
Z1
q
+
Z1
q
EI
r22
---位移法典型方程
r11
r12
rij (i=j) 主系数>0
Z1
Z2
rij (i=j) 副系数
q
F2P
ql
ql
F1P 刚度系数,
体系常数
rij = rji 反力互等 FiP 荷载系数
ql
q
ql
q
F2 Z1
F1=0
l/2 l/2
EI=常数
ql
65 184
9
23
l
139
r21
184
Z1=1
同作用下
x
符号规定:
杆端弯矩---绕杆端顺时针为正
杆端剪力---顺时针为正
杆端转角---顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针
转为正
y
转角位移方程
x
y 由线性小变形，由叠加原理可得
M
AB
4i A
2i B
6i l
AB
MF AB
M
BA
4i B
2i A
6i l
AB
MF BA
A
4i A
结构力学位移法
二、基本未知量的确定 1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
2.有侧移结构
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移
例3.
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向
变形，B、C点的竖向位移为零，B、C
(a)
(b) (c)
2）求图(2)中 φA2和φB2 3）叠加得到
变换式上式可得杆端内力的刚度方程（转角位移方程）：
由平衡条件得杆端剪力：见图（d)
(d)
1.两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角 。
MAB A
由力法求得
B MBA
2i
4i
M
2.两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角 。
MAB A
,得:
BC杆
4. 解方程，得:
5. 把结点位移回代，得杆端弯矩
6. 画弯矩图
ql2 14
B ql2 C 8
A
ql2
28 M图
例2.
1、基本未知量θB、θC
40 43.5 2406k.N9/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24.5 14.7
AA 4i=I 1 1
BB 3.4
51I62.5 CC
1
94.118I DD
二、形常数和载常数
形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力 载常数：由荷载引起的固端力
1.由杆端位移求杆端内力（形常数）
MAB
Δ
根据力法可求解：
QAB φA
MAB
φB MBA
05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok
如： 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束：为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如：1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时，显然13杆可沿水平方向移动， 同时刚结点1也可能发生转角，要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程，简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数，rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji，Rip，>0，=0，<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=
结构力学位移法
第十七章位移法求解超静定结构的两种最基本的方法力法适用性广泛，解题灵活性较大。
（可选用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法力法位移法力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量F PϕBϕB在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B 只发生角位移ϕB 。
由于结点B 是一刚结点，故汇交于结点B 的两杆的杆端在变形后将发生与结点相同的角位移。
位移法计算时就是以这样的结点角位移作为基本未知量的。
第一节位移法的基本概念BAClhEI 1EI 2首先，附加一个约束使结点B 不能转动，此时结构变为两个单跨超静定梁。
称为位移法的基本结构。
在荷载作用下，可用力法求得两根杆的弯矩图。
由于附加约束阻止结点B 的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩1631l F F P P -=C BAF P316Fl 532FlCAB然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束以恢复ϕB 。
两个单跨超静梁在B 端有角位移时的弯矩图，同样可由力法求得。
此时在附加约束上产生约束力矩Bh EI lEI F ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211143ϕB ϕBBA CB lEI ϕ13B h EI ϕ24B hEI ϕ22F PBAC求基本未知量,可分两步完成：1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）转动附加约束使结点产生角位移ϕB ，使结构发生与原结构一致的结点位移。
ϕBϕB附加刚臂经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为F 11和F 1P 之和。
由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B 处无附加约束，亦无约束力矩，故有F 11+F 1P ＝001634321=-⎪⎭⎫⎝⎛+Fl h EI lEI B ϕ解方程可得出ϕB 。
位移法典型方程将求出后ϕB ，代回图22-1c ，将所得的结果再与图22-1b 叠加，即得原结构（图22-1a ）的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
及支座位移
图乘
基本体系
FyB
3i l2
比较一下， 有什么体会？
1
X1 1
B
1 EI
1 2
3i l
l
1
3 2l
※尽量将有支座位移的多余 约束去掉，选取基本结构。
例：已知杆件EI=常数，求ΔCV。
6i
M图 l A
C
B
l/2 l/2
M
图
1
1
l/4 1/2
l/2
1
M
图
2
CV
M P M1 dx EI
与各杆刚度比值有关。在某固定荷载作用下， 调整各杆刚度比可使内力重分布； 5、温度变化和支座移动等非荷载因素作用产生的 内力和反力与杆件的绝对刚度成正比； 6、选用不同基本结构其计算方便程度不同。
例：已知M图，EI=常数。求ΔCV。
q
A
C
B
l/2 l/2
ql2/12
ql2/12
ql2/24 M图
ql2/12
1 ql2/12
l/4 基本体系2
CV ql 4 384EI
可任取一个基本结 构加单位力与原结 构的弯矩图图乘计 算位移。
例：已知M图，EI=常数。求ΔBV，αB 。
FPl/8 FP
FPl/8
M图 A
l/2
B
l/2
B
1 EI
( FPl 8
l
l 2
FP l 4
)
0
M
图
1
1 1
l
M
图
2
1
BV
1 EI
( FP l 8
ll 2
1 FPl 24
l l ) 2
0
用这种方法可以验算原 结构的弯矩图是否正确
（2）支座移动或温度变化情况下的位移计算
解决思路：把超静定结构等效替换为多余约束力 和支座移动或温度变化因素共同作用下的静定结 构，于是，问题转化为在静定结构上求某项位移 （注：不能忽略温度变化引起的轴向变形）。
6FPl 80
17FPl 80
3FPl 80 M图
1、用位移协调条件检验多余约束力是否正确。 2、用力平衡条件检验内力图是否正确。
力法小结
1、力法的典型方程是变形协调方程； 2、主系数恒大于零、副系数满足位移互等定理； 3、柔度系数是体系固有常数，与外界因素无关； 4、荷载作用时，内力分布与绝对刚度大小无关，
FRc
0 ( 1 )
2
2
1 1 l 6i 2 l
CV
EI
( 22
l
) 32
2
已知：EI，EA，，X1 3(t2 t1 )EI 2hl，X2 (t2 t1)EA 2 求：B
t1
A
t2 B
l
Байду номын сангаасX1l
X1 M图
t1
t2
X1 X2
基本体系
1 1
M
图
1
B1
MM EI
dx
1 EI
1 2
i = 给定值
验算图示弯矩图是否正确。
q 2EI EI
l
l
l
l
l
l X1 1
X2 1
M1
M2
Δ1
MM1 EI
ds
0
Δ2
MM 2 EI
ds
0
错误的（X1，X2） 能否满足平衡条件?
验算变形条件时可选任意 基本结构上的单位弯矩图， 都应满足。
B
FP C
2EI
l EI A
l/2 l/2
X1
FP
基本体系 X2
已知：M，EI，l，q， 求αB 。
A
B
l
3i
l
结构的弯矩图
及支座位移
3i l
基本体系
3i l
荷载作用 +
支座位移作用
X1=1
X1=1 1/l
3i l
荷载作用 +
支座位移作用
X1=1
X1=1 1/l
B
1 EI
M1MPdx
1 3
FR ici
2l
( ) l
2l
A
B
l
3i
l
结构的弯矩图
1. 理论依据
变形体系虚功原理的应用 —— 单位荷载法
2. 位移计算
（1）荷载作用下的位移计算
ΔiP
Mi MPds EI
一般来说需要解超静定结构的Mi 和 MP， 工作量较大。
例：已知M图，EI=常数。求ΔCV。
q
A
C
B
l/2 l/2
ql2/12
ql2/12 l/8
A
ql2/24
M图
1 l/8
B
M图
ΔCV
M M P ds AyC
0
2
2
l
ql 2
l
1
ql 4
EI
EI
EI 3 2 8 8 4 384 EI
基本结构在多余约束力和荷载共同作用下的 内力和变形与原结构完全相同！
解决思路：如将超静定结构由力法求得的多余约 束力看作已知荷载，并作用在去掉多余约束的基 本结构（一般是静定的）上，超静定结构位移计 算问题就可采用在基本结构上建立虚拟力状态的 方法得到解决。
X1l
l
1
3
t2 t1 l
4h
t1 t2
1 1
M
图
1
多余约束力引起的
B2
(t2 h
t1
)
AM
l(t2 t1)
h
B1
B2
l(t2
4h
t1 )
温度变化引起的
3. 超静定结构内力图的校核
（1）平衡条件校核 结构中的任意部分都必须满足平衡条件。但满 足平衡条件的解答不一定是真解。
（2）变形条件校核 在满足平衡条件的众多个解答中，满足原结构 变形条件的解答是唯一正确的解答。
图乘
基本体系
FyB
3i l2
比较一下， 有什么体会？
1
X1 1
B
1 EI
1 2
3i l
l
1
3 2l
※尽量将有支座位移的多余 约束去掉，选取基本结构。
例：已知杆件EI=常数，求ΔCV。
6i
M图 l A
C
B
l/2 l/2
M
图
1
1
l/4 1/2
l/2
1
M
图
2
CV
M P M1 dx EI
与各杆刚度比值有关。在某固定荷载作用下， 调整各杆刚度比可使内力重分布； 5、温度变化和支座移动等非荷载因素作用产生的 内力和反力与杆件的绝对刚度成正比； 6、选用不同基本结构其计算方便程度不同。
例：已知M图，EI=常数。求ΔCV。
q
A
C
B
l/2 l/2
ql2/12
ql2/12
ql2/24 M图
ql2/12
1 ql2/12
l/4 基本体系2
CV ql 4 384EI
可任取一个基本结 构加单位力与原结 构的弯矩图图乘计 算位移。
例：已知M图，EI=常数。求ΔBV，αB 。
FPl/8 FP
FPl/8
M图 A
l/2
B
l/2
B
1 EI
( FPl 8
l
l 2
FP l 4
)
0
M
图
1
1 1
l
M
图
2
1
BV
1 EI
( FP l 8
ll 2
1 FPl 24
l l ) 2
0
用这种方法可以验算原 结构的弯矩图是否正确
（2）支座移动或温度变化情况下的位移计算
解决思路：把超静定结构等效替换为多余约束力 和支座移动或温度变化因素共同作用下的静定结 构，于是，问题转化为在静定结构上求某项位移 （注：不能忽略温度变化引起的轴向变形）。
6FPl 80
17FPl 80
3FPl 80 M图
1、用位移协调条件检验多余约束力是否正确。 2、用力平衡条件检验内力图是否正确。
力法小结
1、力法的典型方程是变形协调方程； 2、主系数恒大于零、副系数满足位移互等定理； 3、柔度系数是体系固有常数，与外界因素无关； 4、荷载作用时，内力分布与绝对刚度大小无关，
FRc
0 ( 1 )
2
2
1 1 l 6i 2 l
CV
EI
( 22
l
) 32
2
已知：EI，EA，，X1 3(t2 t1 )EI 2hl，X2 (t2 t1)EA 2 求：B
t1
A
t2 B
l
Байду номын сангаасX1l
X1 M图
t1
t2
X1 X2
基本体系
1 1
M
图
1
B1
MM EI
dx
1 EI
1 2
i = 给定值
验算图示弯矩图是否正确。
q 2EI EI
l
l
l
l
l
l X1 1
X2 1
M1
M2
Δ1
MM1 EI
ds
0
Δ2
MM 2 EI
ds
0
错误的（X1，X2） 能否满足平衡条件?
验算变形条件时可选任意 基本结构上的单位弯矩图， 都应满足。
B
FP C
2EI
l EI A
l/2 l/2
X1
FP
基本体系 X2
已知：M，EI，l，q， 求αB 。
A
B
l
3i
l
结构的弯矩图
及支座位移
3i l
基本体系
3i l
荷载作用 +
支座位移作用
X1=1
X1=1 1/l
3i l
荷载作用 +
支座位移作用
X1=1
X1=1 1/l
B
1 EI
M1MPdx
1 3
FR ici
2l
( ) l
2l
A
B
l
3i
l
结构的弯矩图
1. 理论依据
变形体系虚功原理的应用 —— 单位荷载法
2. 位移计算
（1）荷载作用下的位移计算
ΔiP
Mi MPds EI
一般来说需要解超静定结构的Mi 和 MP， 工作量较大。
例：已知M图，EI=常数。求ΔCV。
q
A
C
B
l/2 l/2
ql2/12
ql2/12 l/8
A
ql2/24
M图
1 l/8
B
M图
ΔCV
M M P ds AyC
0
2
2
l
ql 2
l
1
ql 4
EI
EI
EI 3 2 8 8 4 384 EI
基本结构在多余约束力和荷载共同作用下的 内力和变形与原结构完全相同！
解决思路：如将超静定结构由力法求得的多余约 束力看作已知荷载，并作用在去掉多余约束的基 本结构（一般是静定的）上，超静定结构位移计 算问题就可采用在基本结构上建立虚拟力状态的 方法得到解决。
X1l
l
1
3
t2 t1 l
4h
t1 t2
1 1
M
图
1
多余约束力引起的
B2
(t2 h
t1
)
AM
l(t2 t1)
h
B1
B2
l(t2
4h
t1 )
温度变化引起的
3. 超静定结构内力图的校核
（1）平衡条件校核 结构中的任意部分都必须满足平衡条件。但满 足平衡条件的解答不一定是真解。
（2）变形条件校核 在满足平衡条件的众多个解答中，满足原结构 变形条件的解答是唯一正确的解答。