哈工大考研2008年量子力学试题

2.2.3 2008年真题
【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有，
写出一个来；如果没有，请说明为什么
【解题】
没有，^^^
,x y z L L i L ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
不对易，故无共同本征态
【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。

属于
基础概念的考核。

对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。

【题目】2. 已知哈密顿量 2
21()2H V r μ
=-∇+ 的本征值为n
E ，相应的本征函数为()n r ϕ
，求 2
2
2
()2H
V r C μ
=-
∇++
的本征值和本征函数（C 为常数）。

【解题】
^
1^
^^211()()
()()()()()
()()()()n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==+=+=+=+
由上式知，^
2H 的本征函数为()n r ϕ
，本征值为n E C +
【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出
相关结果
【题目】3. 计算对易关系2
[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】 （1）
22^^^^^^^^^^^^^^^^^
^
^
^
^
^
^
^
,,,,()()
()0
z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=----=--+-=
（2）
^^^^^^^^^
,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与
动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算
符表示出来，并化简得出结果
【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。

【解题】 2
2
2
2
(),
()x
x x p p p =-=-
对线性谐振子
x p ==
2
2
2
2
,x x p p
∴==
2
^2
^
22
22
1122
22
p p
H m x m x m
m
ωω=
+
=
+
利用
2
2
a b ab x p +≤
≥
且
有2
22
22
min 12
22
2
p
H m x x p m
ωωω
=⋅
=
⋅=
【分析】了解一个力学量的差方平均值等于该力学量算符平方的平均值与平
均值平方之差，再利用两算符满足的对易关系，通过不等式得出最小的线性谐振子能量即为它的基态能量。

【题目】5. 设A 和B 为两个厄米算符，[,]C i A B =。

证明：在A 或B 的本征
态中，算符C 的平均值为零。

【解题】
设
^
11
A a ϕϕ=
由于
^
A 、^
B 都为厄米算符有：^^
^^
,A A B B +
+
==
那么：
^
^^^^^^
11
1111
^
^
^
^
^^
^
^
11111111
^
^
1111,()0
C i A B i A B B A i A B i B A i A B i B A ia B ia B ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+⎡⎤
==-⎢⎥⎣⎦
=-=-=-=
同理，对^
B 的本征态也有相同的结果
所以在A 或B 的本征态中，算符C 的平均值为零。

【分析】可以设出算符A 或者B 的本征态，并且利用厄米算符的性质，直接
利用算符C 的平均值表达式证明出结果。

【题目】6. 证明：对于一维定态薛定谔方程，与任一能量本征值相应的线性
独立解最多只有两个（即任何能及的简并度最大为2）。

【解题】
用反证法证明：
假设对应于能量本征值0E 存在三个线性独立的本征波函数1()x ψ、2()x ψ和
3()x ψ，则有：
''
12
211
()()()()x x x x c ψψ
ψψ-=
'
'
13312()()()()x x x x c ψψψψ-=
用2c 乘以第一式，减去1c 乘以第二式，有
''''
2122111331()()()()()()()()0c x x x x c x x x x ψψψψψψψψ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦
得出[]'
'
'
1221322131()()()()()()0x c x c x c x c x x ψψψψψψ⎡⎤---=⎣⎦
令2213()()()x c x c x ϕψψ=-，则上式可化为：
'
'
11()()()
()
x x x x ψϕϕψ=
积分后
1ln ()ln ()x x c
ϕψ=+即
31()()x c x ϕψ=
于是得到 211233
3
()()()c c x x x c c ψψψ=
-
上式表明1()x ψ是2()x ψ和3()x ψ的线性组合，显然这与1()x ψ、2()x ψ和
3()x ψ相互独立的假设是矛盾的。

【分析】井孝功老师的教材上有原题，主要考察定理证明过程，此部分应当
引起重视，考试中出现的次数相对较多。

【题目】二．一质量μ为的例子在一维无限深势井中运动0()00x U x x a x a ∞<⎧⎪
=≤≤⎨⎪∞>⎩
t=0时，其归一化的波函数为8(,0)(1cos
)sin
5x x x a
a
a
ππψ=
+求：（1）t>0时，
粒子的状态波函数(,)x t ψ；（2）t=0及t=t0时系统的平均能量；（3）t=0及t=t0时，在02
a x ≤≤
的区域内发现粒子的概率。

【解题】 （1）
128(,0)(1cos
)sin
5881241sin
sin
()()
552
5
5
x
x
x a
a
a x
x x x a
a
a a
ππππψψψ=
+=+=
+
其中2()sin
n n x x a
a
πψ=
120
01241(,)()()
5
5
E E i t i
t x t e
x e
x ψψ--∴ψ=
+
222
2
2n n E ua
π=
（2）t=0及t=t0时系统的平均能量为
22
122
4145
5
5E E E ua
π=
+
=
（3）当t=0时
2
20
1(0)(,0)2
a
P t x dx ==
ψ=
⎰
当t=t0时
2
22
02002
3116()(,)cos
2
152a
t P t t x t dx ua
ππ
==
ψ=
+
⎰
【分析】 先将题中的波函数向哈密顿算符的几个本征函数（这些本征函数的
形式最好记住，能节省时间）作展开，再乘以相关的时间因子就得到了任意时刻的粒子状态波函数；系统的平均能量直接用能量值乘以它出现的概率再相加就可得到；在什么区域发现粒子的概率直接将波函数的平方积分，此题中的积分变量为坐标，注意积分上下限。

【题目】三．已知l=1时，z L 的本征函数在坐标表象中用球函数表示为
1,11,01,1333sin ,cos ,sin 848i i Y e
Y Y e ϕ
ϕ
θθθπ
π
π
--=
=
=-
，写出l=1时，x L 和y
L 的全部本征函数。

【解题】
^z L 自身表象下为对角矩阵，可表示为 ^
1
00
00001z L ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪-⎝
⎭
相应的本征解为
1
1,00z L ψ⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
00,10z L ψ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
1
0,01z L ψ-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭
即11,101,011,111,10,11Y Y Y ψψψ--======-
对于算符ˆx
L 、ˆy L 而言，需要用到升降算符，即
()()
1ˆˆˆ2
1
ˆˆˆ2i
x y
L L L L L L +-
+
-
=+=-
而
()()ˆ11,1L lm l l m m l m ±
=+-±± 当1,1,0,1l m ==-时，显然，算符ˆx
L 、ˆy L 的对角元皆为零，并且，
ˆˆ1,11,11,11,10ˆˆ1,11,1
1,11,
1
x y x
y
L L L L -=-=-=-=
只有当量子数m 相差1±时矩阵元才不为零，即
ˆˆˆˆ1,11,01,01,11,01,11,11,02i ˆˆ1,01,11,11,02i ˆˆ1,11,01,01,12
x x x x
y y
y y
L L L L L L L L -=-===-==--==
于是得到算符ˆx
L 、ˆy L 的矩阵形式如下 01
00i
ˆˆ101
; i 0i 220100
i 0x
y L L -
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
y
L ˆ满足的本征方程为
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--3213
2
1
0i
i 0i 0i 0
2c c c c c c λ 相应的久期方程为
2
i 0
2
i 2i 02
i =--
--
-λ
λλ
将其化为
023=-λλ
得到三个本征值分别为
-===321 ;0 ;λλ
λ 将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=i 2i 21 ;10121 ;i 2i 213
2
1
ψψψ
ˆx
L 满足的本征方程为 1
1223
30
10101 20
1
0c c c c c c λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
相应的久期方程为
020
220
2
λ
λλ
--=-
将其化为
023=-λλ
得到三个本征值分别为
-===321 ;0 ;λλ
λ 将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
1
2
3
11
11112; 0; 2222111ψ
ψψ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
==
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪-⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
【分析】本题可在坐标表象中用矩阵求解，利用Z L 与球谐函数的关系写出它的矩
阵形式，注意三个本征函数的相关顺序（因为顺序的不同也会导致矩阵的形式发生变化，一定要注意这点），然后利用升降算符对Z L 三个本征函数的作用求出x L 与y L 的矩阵形式，再通过久期方程得到它们各自的本征值和本征函数。

【题目】四．某力学量的算符A 有两个归一化的本征函数1ϕ和2ϕ，相应的本
征值分别为1α和2α；另一力学量的算符B 也有两个归一化的本征函数1χ和
2
χ，相应的本征值分别为
1β和
2
β，已知：
1122
12
11(43);(34)5
5
ϕχχϕχχ=
+=
- 在某种状态下，测量力学量A 后得到的结果为1α；若在此之后在测量力学量B ，接着在测量力学量A,则第二次测量A 得到的结果仍为1α的概率是多少？
【解题】
在某种状态下，测量力学量A 后得的结果为1α时，波函数为
1121(43)5
ϕχχ=
+
由11221211(43);(34)5
5
ϕχχϕχχ=+=
+ 可知：
11221211(43);(34)5
5
χϕϕχϕϕ=+=+
所以第二次测量A 结果仍为1α的概率为
22224433337
()()()()5555625
P =⨯+⨯=
【分析】此题主要看考生能否分析出每次测量后它的态函数发生了什么样的
变化，倘若知道它以后的状态那么问题就迎刃而解了，我们可以这样判定，只要测量某个力学量，那么波函数就往这个力学量的本征状态坍塌，此时若要求其它力学量的某个值的概率，那就将已有的这个力学量的本征态向所求的力学量的本征函数作展开，其系数的平方就是概率（另外记得乘以已有的这个力学量的本征态所出现的概率，因为是它为前提而存在的）。

【题目】五．某体系的哈密顿量为1
3000
2a H a
a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝
⎭ （1）若1a ，用微扰论求H 本征值的近似结果（到二级修正）；
（2）求H 得精确本征值； （3）在什么条件下，（1）和（2）的结果一致
【解题】
^
^^
01
01000
0300
300000
20
20
a a H a
a H W a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
==+=+ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
（1） (0)
(1)
(2)
n n n n
E E E E =+++
(0)
(0)
(0)
1
23
1,3,2E E E ===-
(1)
(1)
(1)
1
112223330,0,E W E W E W a ======
2(2)
ki
k
i k
k i
W E E E ≠=
-∑
所以
2
2
(2)
(2)
(2)
1
2
3
,,02
2a
a
E E E =-=
=
2
2
1231,3,22
2
a
a
E E E a ∴≈-≈+
≈-+
（2）
解久期方程
103000
2E
a a E a E
--=-- 可得到
1203E a a E a
E
---=-
最后求得2
2
12321,21,2E a E a E a =++=--=-
（3） 2
2
2
2
111,112
2
a
a
a a a +≈+
-≈-
当时,此时（1）与（2）的结果一致
【分析】 此题主要是比较精确本征值与微扰论求得的近似值的方法差异和所
得结果是否能一致，求精确本征值直接通过久期方程就能得到，也是最基本的，微扰论先将哈密顿量矩阵分解为两项之和，其中微扰矩阵远小于另外一项的贡献，然后直接利用微扰公式求出各阶本征值
【题目】六．有一粒子处于确定的自旋态，已知在此自旋态中，z s 取
2
得概率
是13
，y s 取
2
的概率是16
，而且x s 的平均值小于零，求x s 取
2
的概率是多少
【解题】
在确定的自旋态λ中，z S 取
2
的概率为
13
，y S 取
2
的概率为
16
在z S
表象中，1
132i e δ
λ⎛⎫
=
⎪⎝
⎭
，δ为待定的实常数 又有11
1()22y
i i ⎛⎫
+
=
++-= ⎪⎝⎭
()2
2
2
1
111
23211126
6
y
i i i e i e
δ
δ
λ
⎛
⎫∴
+=
-⋅
⎪⎝⎭
=
-=
得到2sin 2
δ=-
在z S 表象中，0
1102x S ⎛⎫=
⎪⎝⎭
()
1
11
11201
023
32i x i S e
e δ
δ
λλ-⎛
⎫
⎛⎫=
⋅⋅
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得到
22cos 03
δ< 所以cos 0δ<
2
2cos 1sin 2
δδ∴=--=-
111()12
2x
⎛⎫+
=
++-=
⎪⎝⎭
x S 取
2
的概率：
()2
2
2
1
1
1111126
2321121221(12)(12)cos 6
23
2
3
2
6
i x
i i i e
e e e
δ
δ
δ
δ
λδ-⎛
⎫
+=
⋅=
+ ⎪⎝
⎭=++
=+
=
-
=
【分析】此题应知道自旋的x 和y 的本征函数在自旋z 分量表象中的表示，通过
设出确定的自旋态的表示矩阵，再利用题中的三个已知条件能求得所要的概率。