22空间向量的运算北师大版选修21 ppt课件

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题型一 空间向量的线性运算
【例 1】 已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，化简下列各向量表 达式，并标出化简结果的向量．
(1)A→B＋B→C；
(2)A→B＋A→D＋A→A1； (3)A→B＋A→D＋12C→C1； (4)13(A→B＋A→D＋A→A1)．
[思路探索] 利用空间向量加减法运算的平行四边形法则和三
键是如何将几何问题转化为向量的计算问题．
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(2)证明 ∵B→D＝A→D－A→B＝－a＋b， ∴A→C1·B→D＝(a＋b＋c)·(－a＋b)＝－a2＋b2－a·c＋b·c. ∵a·c＝b·c，∴A→C1·B→D＝－a2＋a2＝0. ∴A→C1⊥B→D.∴AC1⊥BD.(8分) (3)解 ∵A→C＝A→B＋B→C，B→D1＝B→A＋A→A1＋A→1D1， ∴A→C＝a＋b，B→D1＝－a＋b＋c， ∴A→C·B→D1＝(a＋b)·(－a＋b＋c)＝－a2＋b2＋a·c＋
反向量．
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3．空间向量加减法的运算律 (1)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
(2)交换律：a＋b＝ b＋a ．
4．数乘的定义 空间向量 a 与实数 λ 的乘积是一个 向量 ，记作 λa ． (1)|λa|＝ |λ||a| ． (2)当λ>0 时，λa 与 a 方向相同；当λ<0 时，λa 与 a 方向相反； 当λ＝0 时，λa＝0.
§2 空间向量的运算
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精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
[思路探索] 要判断E→F与A→D＋B→C是否共线，就是看是否存在实 数 x，使E→F＝x(A→D＋B→C)．
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【训练 2】 如图所示，已知空间四边形 ABCD，E、H 分别是 边 AB、AD 的中点，F、G 分别是 CB、CD 上的点，且C→F＝23C→B， C→G＝23C→D.求证：四边形 EFGH 是梯形．
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(3)交换律：λa＝ aλ(λ∈R) ．
(4)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ．
(λ＋μ)a＝ λa＋μa(λ∈R，μ∈R)
．
(5)结合律：(λμ)a＝ λ(μa)(λ∈R，μ∈R)
．
5．空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数
λ，使得a＝λb 或者b＝λa ．
→ DB
，
→ DC
，
→ DA
所在直线为x
轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0，0，
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题型二 共线向量及应用 【例 2】 如图，在空间四边形 ABCD 中，若△ABC 的外接圆的 圆心 O 与劣弧 AB 的中点的连线交 AB 于 E，△ADC 的外接圆 的圆心 O1 与劣弧 DC 的中点的连线交 CD 于 F，请判断E→F与A→D ＋B→C是否共线．
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(3)与数量积有关的结论
①|a|＝ a·a． ②a⊥b⇔ a·b＝0 ．
③cos〈a，b〉＝ a|a·||bb|(a≠0，b≠0)．
7．向量 a 的单位向量
对于任意一个非零向量
a，把
a |a|
叫做向量
a
的单位向量，记
作a0 ，a0 与 a 方向相同．
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6．(1)数量积的定义 空间两个向量 a 和 b 的数量积是一个数，等于|a||b|·cos〈a，b〉．记 作 a·b ． (2)数量积的运算律 ①交换律：a·b＝b·a ． ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c ．
③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R) ．
角形法则化简表达式，并给出合理的标注．
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解 如图， (1)∵O→Q＝P→Q－P→O＝P→Q－12(P→A＋P→C)＝P→Q－12P→A－12P→C， ∴x＝y＝－12. (2)∵P→A＋P→C＝2P→O，∴P→A＝2P→O－P→C. 又∵P→C＋P→D＝2P→Q，∴P→C＝2P→Q－P→D. 从而有P→A＝2P→O－(2P→Q－P→D)＝2P→O－2P→Q＋P→D. ∴x＝2，y＝－2.
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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自学导引
1．空间向量的加法
设 a 和 b 是空间两个向量，如图，过点 O
作O→A＝a，O→B＝b，则平行四边形的对角线 OC
对应的 向量
→ OC
就是 a 与 b 的和，记作
a＋b ．
2．空间向量的减法
a 与 b 的差定义为 a＋(－b)，记作 a－b ，其中－b 是 b 的相
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【训练4】 (2011·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°， ∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使 ∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC； (2)设E为BC的中点，求A→E与D→B夹角的余弦值．
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(1)证明 ∵折起前AD是BC边上的高， ∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB， 又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC， ∵AD 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.
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(2)解 由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨
设|DB|＝1，以D为坐标原点，以
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题型四 数量积的综合应用
【例4】
(12分)如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1
中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与
AB，AD的夹角都是120°.
(1)求AC1的长； (2)证明AC1⊥BD； (3)求直线BD1与AC所成角的余弦值． 审题指导 本题目主要考查利用数量积求长度、夹角问题，关