圆波导的传播特性(中文)

Pmn 值 2
5.520 7.016 8.417
3
8.654 10.17 11.62
4
11.79 13.32 14.80
每一组 m ， n 值对应于一P个mn 值，从而 形成一种模式。可见，圆波导也具有多模特性。
对于 TE 波， Ez= 0 。采用上述同样方法， 先求出 Hz 分量，然后再 计算各个横向分量。
TE11 ， TE01 及 TM01 波的电场线及磁场线分布。
TE11
TE01 TM01
电场 线
磁场 线
例 已知圆波导的半径 a = 5 mm ，内充理想
介质的相对介质常数 r = 9 。若要求工作于 TE11 主
模，试求最大允许的频率范围。
解 为了保证工作于 TE11 主模，其工作波长
对于TM 波H，z 0 ， Ez 分量满足下列标量齐
次亥姆霍兹方程
2 Ez k2Ez 0
在圆柱坐标系中，得
2 E 1 E 1 2E
z0 r 2 r
20
r
r2
z0
2
kc2Ez 0
0
采用分离变量法，令 Ez0 (r,) R(r)()
得
r
2 R R
rR R
kc2r 2
式中 R及 R分 别为 R 对 r 的二阶和一阶导数
E0
kc
Jm
(k
cr)
cos m sin m
e
jk
z
z
式中 Jm(k为cr)贝塞尔函数 J的m (一kcr阶) 导数 ; 常数 决定kc
于边界条件。
利用边界条件 Ez E 0 ra ，
kc2
Pmn a
2
式中得Pmn 为第一类 m 阶贝塞尔函数的第 n 个根。
mn
0 1
2
1
2.405 3.832 5.136
cos m
因此， 的解可以表示为 A sin m
求得
r2
d2 R dr 2
r
dR dr
(kc2r 2
m2)R
0
令 kc r x ，则上式变为标准的贝塞尔方程，即
x2 d2 R x dR (x2 m2)R 0 dx2 dx
此式通解为
R BJm (x) CNm (x)
式中，Jm (x) 为第一类 m 阶贝塞尔函数；Nm(x) 为第二类
5. 圆波导传播特性
圆波导的惟一尺寸是内半径 a
。
与矩形波导类似，采
y
用纵向场法，即先求出纵向
a
,
z
x
分量 Ez 或 Hz ，然后再导
出其余分量： Er , E , Hr , H
。
电场和磁场的纵向分量可分别表示为
jk z
Ez (r,, z) Ez0 (r, )e z
jk z
Hz (r,, z) Hz 0 (r,)e z
为 对 的二阶导数
类似以前步骤，首先求出函数 满足的方程为
m 2 0
此方程的通解为 A1cos m A2sin m
由于波导中的场分布随 的变化应以 2 为周期
，因此上式中 m 一定为整数，即
m 0, 1, 2，L
圆波导具有轴对称性， 的0 坐标平面可以任意确 定。那么，适当地选择坐标平面，可使上式中的第一 项或第二项消失。
cos m sin m
e
jk
z
z
根据边界条件求得
k c2
Pmn a
.2
式中Pm为n 第一类贝塞尔函数的一阶导数根。
mn
0
1 3.832
Pmn 值
2 7.016
3 10.17
4 13.32
1
1.841
5.332
8.526
11.71
2
3.054
6.705
9.965
13.17
当 kz 时0， k，表kc 示传播被截止。
m 阶贝塞尔函数。
当r 0 时x，0 N，m (0)
。但是波导中的
场总是有限的，因此，常C 数0
，上式的解应为
R BJm (kc r)
求得 Ez
的通解为
Ez
E0
J
m
(k
cr
)
cos m sin m
e
jk
z
z
J0(x)
J1(x)
第一类贝塞尔函数
J2(x)
J3(x)
x = kc r
x
Fra Baidu bibliotek二类贝塞尔函数
由 kc 长分别为
2πf
c
，求得2π
c
TM
波的截止频率和截止波
fc
Pmn
2π a
2π a
c
Pmn
TE 波的截止频率和截止波长为
fc
2π
Pmn
a
2π a
c Pmn
圆波导中各种模式的截止波长分布如图。
TE11
TM01 TE21
区 截
根据前面公式，求得
TE01
TE11 : c 3.41a
其结果为
Hz
H0
Jm
(kcr)
cos m sin m
e
jk zz
Hr
j
kzH 0 kc
Jm
(kcr)
cos m sin m
e
jk
zz
H
j
kzmH 0 kc2r
J
m
(k
cr)
sin m cos m
e
jkz
z
Er
j mH0
kc2r
J
m
(k
cr
)
sin m cos m
e
jkz
z
E
H
j
0
kc
Jm
(k
cr)
必须满足
2.62a 3.41a
即
max 3.415 17.1 mm
min 2.625 13.1 mm
对应的频率范围为
fmax
v
min
1
min 0
7634 MHz
v
1
fmin max max
5848 MHz
0
6. 波导传输功率与损耗 根据电场及磁场的横向分量，算出复能流密度 矢量，将其实部沿横截面积分，即可求得传输功
率。
当矩形波导传输 TE10 波时，求得的传输功
率为
P ab0 E 2 2Z TE
若波导中填充介质的击穿场强为Eb ，则矩
形波导的最大传输功率为
Pb
abb E 2 4ZTE
为了安全起见，通常取
P
1 3
~
1 5
Pb
波导中的损耗主要来自填充介质和波导壁。
计算填充介质产生的损耗，仅以有耗介质的等效介
电常数代替原来的介电常数即可 , 即
止
O a 2a 3a 4a
c
TM01 : c 2.62a
若工作波长 满足2.62a 3.41a ，即可
实现 TE11 波的单模传输。 TE11 波是圆波导的主模。
反之，若工作波长 给定，为了实现 TE11
波单模传输，圆波导半径 a 必须满足
a 3.41 2.62
圆波导的相速、群速、波导波长及波阻抗公 式与矩形波导的相应公式完全相同。
e
j
波导壁损耗的严格计算非常复杂，通常仍然利用理
想导电壁情况下的场强公式计算波导壁的损耗。
设衰减常数为 k， 则电场振幅可以表示为
kz
E E0e
传输功率可以表示为
N0(x) N1(x) N2(x) N3(x)
x = kc r x
各个横向分量分别为
Er
j
kzE0 kc
Jm
(k
cr)
cos m sin m
e
jk
z
z
E
j
kzmE0 kc2r
J
m
(kcr)
sin m cos m
e
jkz
z
Hr
j
mE0
kc2r
J
m
(kcr)
sin m cos m
e
jk
z
z
H
j