导数分类讨论及双变量问题

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1.已知函数323()1(),2f x ax x x R =-

+∈其中0a >,若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.

2. 已知函数()(0)x e f x a x a =<-其中常数,存在实数(,0]x a ∈，使得不等式1()2

f x ≤成立，求a 的取值范围。

3. 已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.

（1）求证：()0f x ≥恒成立的充要条件是1a =；

（2）若0a <，且对任意12,(0,1]x x ∈，都有121211|()()|4||f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.

4. 已知函数21()ln ()2

f x x a x x R =-∈ （1）若函数()f x 在(1,)+∞为增函数，求a 的取值范围；

（2）讨论方程()0f x =解的个数，并说明理由。

5. 已知函数211()ln()22

f x ax x ax =++-（a 为常数，0a >）.

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（1）若12

x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （2）求证：当02a <≤时，()f x 在1[,)2

+∞上是增函数； （3）若对任意．．的(1,2)a ∈，总存在．．01[,1]2x ∈，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取范围.

6.已知在函数21()(3)ln 2

f x x a x x =+-+的图像上是否存在不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 线段AB 的中点的横坐标为0x ，使得'12012()y y f x x x -=

-成立，若存在，请求出0x 的值；若不存在，请说明理由。

7. 已知函数)0)(11()(>+=x nx x x f 。

（1）求函数)(x f 的最小值；

（2）设()F x =),)(('2R a x f ax ∈+讨论函数()F x 的单调性；

（3）若斜率为k 的直线与曲线y =)('x f 交于))(,(),(212211x x y x B y x A <、两点，求证：211x k

x <<。

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8. 已知函数()ln g x x x =，若对任意的两个实数12,x x 满足120x x <<，总存在00x >，使得'12012

()()()g x g x g x x x -=

-成立，证明：01x x >.

9.已知函数22()(0)a f x x x x

=+>. （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）当12

a =时，若112212(,()),(,())(0)P x f x Q x f x x x <<是函数图象上的两点，且存在实数00x >，使得21021

()()()f x f x f x x x -'=

-.证明：210x x x <<

10.已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y ．

(1）求b a ,的值；

（2）若方程()0f x m +=在1

[,]e e

内有两个不等实根，求m 的取值范围；

（3）令()()g x f x kx =-，若()g x 的图象与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x (其中12x x <)，AB 的中点为0(,0)C x ，求证：()g x 在0x 处的导数/0()0g x ≠．