线性代数5-1 向量的内积 长度及正交性(略5-4节)
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5-1 向量的内积、长度及正交性
向量的长度 令
2 2 2 || x || [ x, x] x1 x2 xn
||x||称为n维向量x的长度(或范数)
向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0 (2)齐次性 ||x||||x|| (3)三角不等式 ||xy||||x||||y|| >>>
容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 等价 把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基
e1 1 1 1 b1 e2 b2 er br || b1|| || b2 || || br ||
e1 1 1 2 2 1 1 e2 e3 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 e4 2 2 1 1 2 2
例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 令b1a1
1 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
说明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个 基规范正交化
线性代数-向量的内积
故k1[1,1] 0,由于1 r是正交向量组，故1 0.
即[1,1] 0,故k1 0.
例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T
正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交
解：设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足a1Ta30 a2Ta30
§4.1向量的内积、长度及正交性
例3 ：齐次线性方程组的解集S{x| Ax0} 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间)
例4 ： 非齐次线性方程组的解集S{x| Axb} 不是向量空间 这是因为 当S为空集时 S不是向量空间
当S非空集时 若S 则A(2)2bb 知2S
规范正交基 :设n维向量a1 a2 ar是向量空间的一个基 如果a1 a2 ar两两正交 且都是单位向量 则称a1 a2 ar是V的一个规范正交基
• 一、向量的内积及其性质
§4.1
• 二、向量的长度及其性质
向
• 三、正交向量组
量
• 四、规范正交基及其求法
的
• 五、正交矩阵及其性质
内
• 复习小结
积
§4.1向量的内积、长度及正交性
本节概述
前面学习了向量的线性运算：加法和数乘， 但未涉及到向量的度量性质，如长度、距离等等。 从今天开始，我们就来学习一下这方面的概念。当 然学习这些概念也是为了进一步研究矩阵做准备的。
事实上 设a1e12e2 rer 则
eiTaieiTeii 即ieiTa [a ei]
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
b1a1
b2
a2
[b1, [b1,
a2] b1]
b1
br
线性代数向量正交公式
线性代数向量正交公式线性代数向量正交公式是一个常见的数学概念，它表示两个向量在三维空间中被定义为正交，也就是说，它们夹角为90°。
它也可以用来解决具有特定方向的物理问题，比如从一个物体到另一个物体的力。
下面会简要介绍一些线性代数向量正交公式：一：向量范数向量范数是一个向量的标准值，它表示向量的长度。
向量正交公式依赖于向量范数而定义，下面的公式表示的是向量的范数：$$ \lvert v \rvert = \sqrt {v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2 }$$二：两向量正交当两个向量彼此正交时，两个向量之间的内积就会为0，下面的式子表示的就是两向量彼此正交的公式：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$三：任何两向量正交任何两个向量正交，都可以用下面的公式来表示：$$(\vec{a}, \vec{b}) = \cos \theta _{ab} \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert$$其中：$\theta_{ab}$ 表示两向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$之间的夹角。
$|\vec{a}|$ 表示向量 $\vec{a}$ 的范数。
$|\vec{b}|$ 表示向量 $\vec{b}$ 的范数。
四：锐角锐角就是两个向量之间的夹角是小于90°的，而当两个向量之间的夹角之小于90°的时候，它们的正交的公式就会变成：$$(\vec{a}, \vec{b}) = \cos \theta _{ab} \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert$$其中：$\theta_{ab}$ 表示两向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$之间的夹角。
$|\vec{a}|$ 表示向量 $\vec{a}$ 的范数。
$|\vec{b}|$ 表示向量 $\vec{b}$ 的范数。
1向量的内积及正交性
n
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
线性代数5.1向量组规范正交化
一、向量的内积
内积可用矩阵记号表示 : 为
x, y xT y.
2 向量的内积是几何中向量数量积的推广，但是n(n>3) 维向量内积没有直观的几何意义． 向量的数量积：x y ( x1 , x2 ,, xn ) ( y1 , y2 ,, yn ) x1 y1 x2 y2 xn yn
单位向量 e1 , , er , 规范正交基即要找一组两两正交的 , 使 e1 , , er 与 1 , , r 等价. 1 , , r 规范正交化方法 : 1 1 ; 2 2 [ 2 , 1 ] 1 （1）正交化，取 [ 1 , 1 ] [ 3 , 1 ] [ 3 , 2 ] 3 3 1 2 ,, [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ r , 1 ] [ r , 2 ] [ r , r 1 ] r r 1 2 r 1 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ r 1 , r 1 ]
2内积有以下性质： (其中 x , y , z 为 n 维向量, 为实数 ) : (ii) [x, y] [ x, y] [ x, y] ; (i ) [ x, y] [ y, x] ;
(iii) [ x y, z ] [ x, z ] [ y, z ] ;
( iv ) 当 x 0 时 , [ x , x ] 0 ;
例3
T 解 a2 , a3 应满足方程a1 x 0 , 即 x1 x2 x3 0 . 1 0 把基础解系正交化 , 它的基础解系为 1 0 , 2 1 , 即为所求 , 亦即取 1 1 [1 , 2 ] 1 0 1 1 a2 1 , a3 2 1 , 得 1 1 a 2 0 , a3 1 0 2 . [1 ,1 ] 1 1 2 1 2 1 其中 [1 , 2 ] 1 , [1 , 1 ] 2,
向量的内积、长度及正交性
欧几里得范数
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
向量的内积与正交
使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
线性代数§向量的内积
不同基下内积转换公式推导
不同基下内积转换公式
设α, β是向量空间V中的两个向量，在两组不同的基{e1, e2, ..., en}和{f1, f2, ..., fn}下的坐标分别为(x1, x2, ..., xn) 和(y1, y2, ..., yn)，则α和β的内积可以表示为∑(xi*yi)，其中i从1到n求和。这个公式可以用的 情况。
分量表示法
定义
将向量表示为分量形式，通过分量间的运算计算内积。
公式
对于向量A = (a1, a2, ..., an)和B = (b1, b2, ..., bn)，其内 积为A·B = (a1, a2, ..., an) · (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
子空间划分和基选择策略
子空间划分
设W是数域P上的线性空间V的一个非空子集，若W对于V的加法和数乘也构成数域P上的线性空间， 则称W是V的一个线性子空间或子空间。子空间的划分可以根据不同的维度和基进行。
基选择策略
在线性空间中，基的选择对于内积运算具有重要影响。通常选择正交基作为内积运算的基础，因为正 交基具有良好的性质，如任意两个不同基向量的内积为零。
矩阵表示下内积计算简化方法
在矩阵表示下，两个向量的内 积可以通过矩阵乘法简化计算。
具体地，若A和B是两个向量， 则它们的内积可以表示为A^T * B，其中A^T是A的转置矩阵。
通过矩阵乘法，可以高效地计 算多个向量间的内积。
特征值与特征向量对内积影响分析
特征值和特征向量是线性变换的重要 性质，它们对向量的内积有重要影响。
夹角计算
通过内积可以计算两向量的夹角，即$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}$。
【线代课件】5.1向量的内积、长度及正交性
（2）齐次性：lx l x ;
[l x, l x] l[x, l x] l[l x, x] l 2[x, x]
|| l x || [l x,l x] l 2[x, x] | l | [x, x] | l | || x ||
向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 xn2
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
证明：设 x (x1, x2 ,, xn ), y ( y1, y2 ,, yn ) 由(xi z yi )2 0(i 1,2,, n)可得(x1z y1)2 (x2 z y2 )2 (xn z yn )2 0 即(x12 x22 xn2 )z2 2(x1y1 x2 y2 xn yn )z ( y12 y22 yn2) 0
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
[ x, y] x1 y1 x2 y2 y1 x1 y2 x2 [ y, x]
xn yn yn xn
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
线性代数 向量组的正交性
(iii) （kα, β ）= k(α，β ) =（α, kβ ）
(iv) （α + β ,γ ）= (α，γ ) +（β ,γ ） (v) （α，α ）= a12 + a22 + + an2 = α 2
2.向量的单位化
1 α = 1 α =1
α
α
1 α为单位向量。 α
二、向量的夹角。 三、向量的正交性：
反例：α1 = (1,0,1),α2 = (0,0,1)
四 向量空间的正交基
若α1 ,α 2 ,
,α
是向量空间
r
V的一个基
,
且α
1
,α
2
,
,α r是两两正交的非零向量 组,则称α1 ,α 2 , ,α r是
向量空间 V的正交基 .
例1 已知三维向量空间中两个向量
⎜⎛ 1 ⎞⎟
α1 = ⎜1⎟,
⎜⎝ 1 ⎠⎟
,
e
是向量空间
r
V (V
⊂
Rn )的一个基 ,如果 e1 , e2 , , er两两正交且都是单位
向量,则称 e1 , e2 , , er是 V的一个规范正交基 .
例如
⎜⎛1 2⎟⎞ ⎜⎛ 1 2 ⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎞
e1
=
⎜1 ⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2⎟⎟,e2 ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
−
即
λi = eiT α = (α, ei ).
六、向量组的正交规范化：
公式：设α1,α2 , ,αm为线性无关向量组，令
β1 =α1
β2 = α2 −（（αβ12，，ββ11））β1
β3
=
线性代数第五章128
b1 b2 br e1 , e2 , , e r , || b1 || || b2 || || br ||
则e1, e2, · · · , en是向量空间V的一组规范正交基. 由线性无关向量组a1, a2, · · · , ar 构造出正交向量组 b1, b2, · · · , br 的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.
1 0 0 0 0 1 0 0 设 1 0 , 2 0 , 3 1 , 4 0 . 0 0 0 1
又设
1 2 1 2 0 0 0 0 1 2 1 2 , e4 . e1 , e2 , e3 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 ij ( i , j 1, 2, 3, 4). 由于 [e i , e j ] ij 1 i j
2 2 2 [x, x] = x = x1 + x2 + + xn
当|| x ||=1时, 称x为单位向量
3.当|| x || 0, || y || 0 时, n维向量 x 与 y 的夹角： [ x, y] arccos 规定0 . || x || || y || 4.向量 x 与 y 正交定义为： π 当[x, y]=0，也即 θ = .
向量的长度及性质
(1) 非负性: || x || 0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0;
(2) 齐次性: || x|| = | | || x ||;
(3) 三角不等式: || x+y || || x || + || y ||.
向量的内积与正交
向量的内积与正交
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的正交 • 向量的内积与正交的应用 • 向量的点积与叉积 • 总结
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$。 其结果是一个标量，表示两个向量之间的角度余弦值与两个向量模的乘积。
几何意义
叉积的几何意义是垂直于两向量所在平面的第三个向量，其模长等于两向量构成的平行四边形的面积。
性质
叉积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。
点积与叉积的区别和联系
区别
点积和叉积在定义、几何意义和性质上都有所不同。点积是两向量的内积，结果 是一个标量；叉积是两向量的外积，结果是一个向量。
如果两个向量的方向垂直，则它们正交。
判断两个向量的模长是否 相等
如果两个向量的模长相等，则它们正交。
03
CHAPTER
向量的内积与正交的应用
向量内积在几何中的应用
判断两向量是否垂直
通过计算两向量的内积，若结果为0，则两向量垂直。
计算向量的长度
利用向量内积和向量的模长，可以计算出任意向量的长度。
计算向量的夹角
向量内积的计算方法
坐标表示法
若向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的坐标分别为$(a_1, a_2, ..., a_n)$和$(b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的正交 • 向量的内积与正交的应用 • 向量的点积与叉积 • 总结
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$。 其结果是一个标量，表示两个向量之间的角度余弦值与两个向量模的乘积。
几何意义
叉积的几何意义是垂直于两向量所在平面的第三个向量，其模长等于两向量构成的平行四边形的面积。
性质
叉积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。
点积与叉积的区别和联系
区别
点积和叉积在定义、几何意义和性质上都有所不同。点积是两向量的内积，结果 是一个标量；叉积是两向量的外积，结果是一个向量。
如果两个向量的方向垂直，则它们正交。
判断两个向量的模长是否 相等
如果两个向量的模长相等，则它们正交。
03
CHAPTER
向量的内积与正交的应用
向量内积在几何中的应用
判断两向量是否垂直
通过计算两向量的内积，若结果为0，则两向量垂直。
计算向量的长度
利用向量内积和向量的模长，可以计算出任意向量的长度。
计算向量的夹角
向量内积的计算方法
坐标表示法
若向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的坐标分别为$(a_1, a_2, ..., a_n)$和$(b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
线性代数5-1
− 1 1 b2 = e2 = 1 , 3 b2 1
b3 e3 = b3
1 1 = 0 . 2 1
e1 , e 2 , e 3即合所求 .
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1 例3 已知 a 1 = 1 , 求一组非零向量 a 2 , a 3 , 使 a 1 , a 2 , 1 a 3 两两正交 .
[ei , e j ] = 0, i ≠ j且i , j = 1, 2, 3,4. 由于 [ei , ei ] = 1, i = 1, 2, 3,4.
所以 e1 , e2 , e 3 , e4为R 4的一个规范正交基 .
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同理可知
1 0 0 0 0, ε = 1, ε = 0, ε = 0. ε1 = 2 3 4 0 0 1 0 0 0 0 1
的一个规范正交基. 就得 V 的一个规范正交基 上述从线性无关向量组 a1 , ··· , ar 导出正交 向量组 b1 , ··· , br 的过程称为施密特(Schimidt) 施密特(Schimidt)
正交化过程. 它不仅满足 b1 , ··· , br 与 a1, ··· , ar
等价, 等价 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , ··· , bk 与 a1 , ··· , ak 等价 等价.
令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + ··· + xn yn , [x, y] 称为向 [x 量 x 与 y 的内积. 记作： 记作： [x, y] = xTy .
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二、内积的性质
5-1向量的内积、长度及正交性
1. 正交矩阵
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质：
设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则 ① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
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定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
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例3
1
1
4
设 R3 的一组基为 1 2 , 2 3 , 3 1
1
1
0
用施密特正交化方法将这组基规范正交化.
解 首先将 1,2,3 正交化：
取
1 2
1;
2
[ 2 [1
, ,
1 1
] ]
1
1 3 1
4 6
1 2 1
5 / 3 5 / 3 ; 5 / 3
(向量间的夹角不变)
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四、小结
1. 施密特正交化方法：由一组线性无关的非零向量 组，通过特定的线性运算，构造出一组正交单位 向量组. (注意正确顺序是先正交化、再单位化) 利用施密特正交化方法，可将向量空间的基规范 正交化.
2. 下列条件等价: (1) A 为 n 阶正交矩阵； (2) AT A E 或 AAT E; (3) A1 AT ; (4) A 的列向量组(或行向量组)是正交单位向量组； (5) A 的列向量组(或行向量组)是 Rn 的规范正交基.
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设 k11 k22 ks s O (*)
证明 1，2， ， s 线性无关，就是要证明上式中的组
合系数 ki (i 1,2, , s)必须全为零.
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质：
设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则 ① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
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定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
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例3
1
1
4
设 R3 的一组基为 1 2 , 2 3 , 3 1
1
1
0
用施密特正交化方法将这组基规范正交化.
解 首先将 1,2,3 正交化：
取
1 2
1;
2
[ 2 [1
, ,
1 1
] ]
1
1 3 1
4 6
1 2 1
5 / 3 5 / 3 ; 5 / 3
(向量间的夹角不变)
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四、小结
1. 施密特正交化方法：由一组线性无关的非零向量 组，通过特定的线性运算，构造出一组正交单位 向量组. (注意正确顺序是先正交化、再单位化) 利用施密特正交化方法，可将向量空间的基规范 正交化.
2. 下列条件等价: (1) A 为 n 阶正交矩阵； (2) AT A E 或 AAT E; (3) A1 AT ; (4) A 的列向量组(或行向量组)是正交单位向量组； (5) A 的列向量组(或行向量组)是 Rn 的规范正交基.
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设 k11 k22 ks s O (*)
证明 1，2， ， s 线性无关，就是要证明上式中的组
合系数 ki (i 1,2, , s)必须全为零.
5.1向量的内积、长度及正交性
则有
xT x x .
证明 设y Px为正交变换,
y y y
T
x T P T Px
14,小结
1 3
将一组基规范正交化的方法：
先用施密特正交化方法将基正交化， 然后再将其单位化． A为正交矩阵的等价条件： 2
T 1 A A E;
注: A 为正交矩阵 A A
1
T
AAT E;
正交矩阵的性质：若A, B为正交矩阵, 则: (1) AT , A1 , AB也是正交矩阵; (2) | A | 1或 1.
定理 A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单 位向量且两两正交．
11,正交矩阵（续）
证明
T 1 T 2 T ,n E A A E 1, 2 , T n T T T 1 1 1 2 1 n T T T 21 2 2 2 n E T T T n n n 1 2 n 1, 当 i j; T i j ij i , j 1, 2, 0, 当i j
1 , 2 , , r 线性无关.
5,向量的正交（续）
T 即 提示: i j时, i j , 0( i j 0 ) i j
证明
设有 1 , 2 ,, r 使
11 2 2 r 0
以aT ,得 1 左乘上式两端
解 (1)正交化， 取 b1 a1 ;
1 1 4 [a 2 , b1] 3 2 b2 a 2 2 b1 1 6 1 b1
1 5 1 ; 3 1
xT x x .
证明 设y Px为正交变换,
y y y
T
x T P T Px
14,小结
1 3
将一组基规范正交化的方法：
先用施密特正交化方法将基正交化， 然后再将其单位化． A为正交矩阵的等价条件： 2
T 1 A A E;
注: A 为正交矩阵 A A
1
T
AAT E;
正交矩阵的性质：若A, B为正交矩阵, 则: (1) AT , A1 , AB也是正交矩阵; (2) | A | 1或 1.
定理 A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单 位向量且两两正交．
11,正交矩阵（续）
证明
T 1 T 2 T ,n E A A E 1, 2 , T n T T T 1 1 1 2 1 n T T T 21 2 2 2 n E T T T n n n 1 2 n 1, 当 i j; T i j ij i , j 1, 2, 0, 当i j
1 , 2 , , r 线性无关.
5,向量的正交（续）
T 即 提示: i j时, i j , 0( i j 0 ) i j
证明
设有 1 , 2 ,, r 使
11 2 2 r 0
以aT ,得 1 左乘上式两端
解 (1)正交化， 取 b1 a1 ;
1 1 4 [a 2 , b1] 3 2 b2 a 2 2 b1 1 6 1 b1
1 5 1 ; 3 1
向量的内积、长度及正交性
β
α
7
三、向量的正交性
2. 正交向量组 设向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α r , 若满足 都是非零向量； ⑴ α1 ,α 2 ,⋯,α 都是非零向量； r T [ ⑵ 当 i ≠ j 时，α i , α j ] = α i α j = 0, 称为正交向量组 正交向量组。 则 α1 ,α2 ,⋯,αr 称为正交向量组。 即一组两两正交的非零向量构成的向量组 一组两两正交的非零向量构成的向量组 称为正交向量组。 称为正交向量组。
k1α1 + k2α2 + ⋯+ krαr = 0,
T T T k1α1 α1 + k2α1 α2 + ⋯+ krα1 αr = 0, 两两正交， 因为α1 ,α2 ,⋯,αr 两两正交，即有 T [α 1 , α j ] = α 1 α j = 0 , j = 2 , 3 , ⋯ , r T T 所以 k1α1 α1 = 0, 又 α1 ≠ 0 ，故 α1 α1 ≠ 0, 从而 k1 = 0. 类似可证必有 k2 = 0,⋯, kr = 0.
[α , β ] = a1b1 + a2b2 + ⋯ + anbn , [α , β ] 称为向量 α 与 β 的内积。 内积。
• 向量的内积是两个向量之间的一种运算，其结果 向量的内积是两个向量之间的一种运算， 是一个数 是一个数，用矩阵记号表示有 [α , β ] = α T β = β T α . • n(n ≥ 4 ) 维向量的内积是 维向量数量积的推广， 维向量的内积是3维向量数量积的推广 维向量数量积的推广， 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 但是没有 维向量直观的几何意义．
e1 , e2 , e3 , e4 就是R 4 的一个规范正交基 的一个规范正交基. [e1 , e2 ] = [e1 , e3 ] = [e1 , e4 ] = 0, [ e 2 , e 3 ] = [ e 2 , e 4 ] = 0, [ e 3 , e 4 ] = 0, e1 = e2 = e3 = e4 = 1.
河海大学《几何与代数》5-1向量的内积、长度和施密特正交化
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
(ei , e j ) 0, (ei , e j ) 1,
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
(b1 , a2 ) (b1 , b1 )
b1
1,1,0,4
11
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
(b1 , a3 ) (b1 , b1 )
b1
(b2 , a3 ) (b2 , b2 )
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
的一个标准正交基 , 就是要找一组两两正交
的单位向量 e1, e2 , , er , 使e1, e2 , , er与1,2 , , r等价,这样一个问题 , 称为把1,2 , ,r正交化
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ，
b2
a2
(b1 , a2 ) (b1 , b1 )
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
4 标准正交基
定 义3 设n维 向 量 e1 , e2 , , er 是 向 量 空 间V (V Rn )的 一 个 基, 如 果e1 , e2 , , er两 两 正 交 且 都 是 单 位 向 量, 则 称e1 , e2 , , er 是 V的 一 个 标 准 正 交 基.
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b1
1 3 1
4
6
1 2 1
5
3
1 1 ; 1
b3
a3
[a3 ,b1] b1 2
b1
[a3 ,b2] b2 2
b2
4 1 0
1 3
1 2 1
5 3
1 1 1
1 2 0. 1
再把它们单位化，取
e1
b1 b1
1 6
1 2 , 1
e3 b3 b3
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
1
1
1
4
1,1,1,1
1
0,2,1,3
b3
a3
9 8
9
9 1 9
4 9
4 9
4
9 4 9
.
7
9
解
1
1 1
2
1 2 1 3 1 1 2
1 3 1 2 1
考察矩阵的第一列和第二列，
由于 1 1 1 1 1 1 0, 2 2 3 2
所以它不是正交矩阵．
1 8 4
9
9 9
2
8 9
1 9
4 9
由于
4 9
x, y xT y.
内积的运算性质
其中 x, y, z为n维向量,为实数 : (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[ x, x] 0.
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度或范数 .
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x
x2
xn
,
y
y2
yn
,
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn
称 x, y为向量 x 与 y 的 内积 .
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算 ,如果x, y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示 为 :
３ 正交向量组的性质
定理1 若n维向量1, 2,, r是一组两两正交的 非零向量,则1, 2,, r线性无关.
证明 设有 1,2 ,,r 使 11 22 r 0
以
a
T 1
左乘上式两端
,得
1
T 1
1
0
由1
0
T 1
1
1
2
0,
从而有 1
0.
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
14
14 14
3 14
e3
b3 b3
1 1,1,2,0
6
1, 6
1 , 2 ,0 6 6
例３
1
1
4
设 a1 2 , a2 3 , a3 1, 试用施密
1
1
0
特正交化过程把这组向 量规范正交化 .
解
取 b1 b2
a1;
a2
[a2 ,b1] b1 2
定义5 若 P 为正交阵，则线性变换y Px 称为正 交变换．
性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明 设y Px为正交变换 , 则有 y yT y xT PT Px xT x x .
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
1 8
2
b2
[br1 ,ar ] [br1 , br1 ]
br
1
那么b1 ,,br两两正交 ,且b1 ,,br与a1 ,ar等价.
（2）单位化，取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
,er
br br
,
那么 e1 ,e2 ,,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组 a1 ,,ar构造出正交 向量组b1 ,,br的过程,称为 施密特正交化过程 .
求一单位向量，使它与
1 1,1,1,1, 2 1,1,1,1, 3 2,1,1,3
正交．
解 设所求向量为 x (a, b, c, d ),则由题意可得 :
a2 b2 c2 d 2 1, a b c d 0, a b c d 0, 2a b c 3d 0.
范正交化 .
若a1 ,a2 ,,ar为向量空间 V的一个基,
（1）正交化，取 b2 a2
bbb111,,ab12a1b1，,
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ;
3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及 n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
1 a3 两两正交. 解 a2 ,a3应满足方程 a1T x 0,即
x1 x2 x3 0.
它的基础解系为
1
0
1
0 ,
1
2
1 . 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a2 1,
a3
2
[ 1, [ 1,
2]
1]
1.
其中[ 1, 2] 1,[ 1, 1] 2,于是得
1 a2 0 ,
所以 e1 , e2 , e3 , e4为R 4的一个规范正交基 .
同理可知
1 0 0 0
1
000,
2
100,
3
100,
4
100.
也为R4的一个规范正交基 .
６ 求规范正交基的方法
设1 , 2 ,, r是向量空间 V的一个基 ,要求V
的一个规范正交基 ,就是要找一组两两正交 的单
位向量e1 ,e2 ,,er ,使e1 ,e2 ,,er与1 , 2 ,, r等 价,这样一个问题 ,称为 把1, 2 ,, r 这个基规
[b1 [b1
,a3 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
3,5,1,1 81,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
2
2 2 2 2
e2
b2 b2
1 0,2,1,3 0, 2 , 1 ,
基.
解 设 3 x1 , x2 , x3 T 0,且分别与 1 , 2正交 .
则有 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
即
[[21,,
3 3
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
x1 1
若令 x3 1,则有
3 x2 0
x3 1
由上可知1 , 2 , 3构成三维空间的一个正交基.
５ 规范正交基
定义3 设n维向量 e1, e2 ,, er是向量空间 V (V
Rn )的一个基,如果e1 , e2 ,, er两两正交且都是单位 向量,则称e1, e2 ,, er是V的一个规范正交基 .
例如
1 2 1 2 0 0
1
a3
0 1 1
1
2
1 0 1
1
2
1 2 . 1
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为正交矩阵 .
定 理 A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都
是单位向量且两两正交．
证明 A AT
a11 a12
a21
an1
a22
an2
E
c32
c3
c31
c2
b2 a2
平面上的投影向量 ,
a1 b1
由于 b1 b2 ,故 c3等于 a3分别在 b1,b2上的投影
向量 c31及 c32 之和,即
c3
c31
c32
[a3 ,b1] b1 2
b1
[a3 ,b2] b2 2
b2
,
b3 a3 c3.
1 例４ 已知 a1 1,求一组非零向量 a2 , a3 ,使 a1 , a2 ,
4 9
7 9
1
9 8
9
4 9
8 9 1 9
4 9
4
9 4 9
7
9
1 9
8
9 4 9
8 9 1 9
4 9
4 9 4
T
1 0
9 7 9
0
0 1 0
0 0 1
所以它是正交矩阵．
例６ 验证矩阵
1 1 1 1
2 2 2 2
1
P
2 1
2
0
1 2 1 2 0