2013年北京高考数学试题及答案

2013年北京高考数学试题及答案 (理科)

一、选择题

1． 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{－1，0} C ．{0，1} D ．{－1，0，1}

1．B [解析] ∵－1∈B ，0∈B ，1∉B ，∴A ∩B ＝{－1，0}，故选B. 2． 在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．D [解析] (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，对应的复平面内点的坐标为(3，－4)，所以选D.

3．、 “φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．A [解析] ∵曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点， ∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈，故选A.

4． 执行如图1－1所示的程序框图，输出的S 的值为(

)

图1－1

A ．1 B.23 C.1321 D.610

987

4．C [解析] 执行第一次循环时S ＝12

＋12×1＋1＝23，i ＝1；第二次循环S ＝232

＋1

2×23

＋1

＝13

21

，

i ＝2，此时退出循环，故选C.

5． 函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )

A ．e x ＋1

B ．e x －1

C ．e －x ＋1

D ．e －x －1

5．D [解析] 依题意，f (x )向右平移一个单位长度得到f (x －1)的图像，又y ＝e x

的图像关于y 轴对称的图像的解析式为y ＝e －x

，所以f (x －1)＝e －x

，所以f (x )＝e

－x －1

.

6． 若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±12x

D ．y ＝±22

x

6．B [解析] 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴c 2

＝3a 2

，∴b 2

＝2a 2

，∴b ＝2a ，∴双

曲线的渐近线方程为y ＝±b

a

x ＝±2x .

7． 直线l 过抛物线C ：x 2

＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )

A.4

3

B ．2 C.83 D.16 23

7．C [解析] 由题意得直线l 的方程是y ＝1，代入抛物线方程得x ＝±2，所以直线l

与抛物线C 所围成图形的面积S ＝4－2⎠⎛

02x

2

4d x

.

8． 设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0

表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足

x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫－∞，43

B.

⎝⎛⎭

⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭

⎫－∞，－53 8．C [解析] 在直角坐标系中画出可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x －2y ＝2有交点，当点(－m ，m )在直线x －2y ＝2上时，有m ＝－23，所以m <－2

3

，故选C.

9． 在极坐标系中，点⎝⎛⎭

⎫2，π

6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．

9．1 [解析] 极坐标系中点的⎝⎛⎭⎫

2，

π6对应直角坐标系中的点的坐标为(3，1)，极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，所以距离为1.

10． 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n

＝________．

10．2 2n ＋1

－2 [解析] ∵a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)， ∴40＝20q ，q ＝2，

又∵a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3

＝20，

∴a 1＝2，∴a n ＝2n ，∴S n ＝2n ＋1－2.

11． 如图1－2，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________．

图1－2

11.9

5 4 [解析] 由于PD ∶DB ＝9∶16，设PD ＝9a ，则DB ＝16a ，PB ＝25a ，根据切割线定理有PA 2＝PD ·PB ，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5.又∵△PBA 为直角三角形，∴AB 2＋AP

2

＝PB 2，∴AB ＝4.

12． 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．

12．96 [解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A 4

4种方法，所以不同的分法种数是4A 4

4＝96.

13． 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则λ

μ

＝________．

图1－3

13．4 [解析] 以向量和的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x 轴和y 轴建立直

角坐标系，则＝(－1，1)，＝(6，2)，＝(－1，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，

－3＝λ＋2μ，解得⎩

⎪

⎨⎪⎧λ＝－2，

μ＝－12

，所以λ

μ

＝4.

图1－4

14． 如图1－4，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．