几何结构因子与_点阵_基元_晶体结构_的关系

１／２ ０
Fnkl = f [1 + e iπn( h+ k ) + e iπn ( h+ l ) + e iπn ( k + l ) ] = f [1 + (−1)u ( h+ k ) + ( −1)n ( h+ l ) + ( −1) n ( k + l ) ] (2) 4 f = 4 f 0
RELATION OF GEOMETRICAL STRUCTURE FACTOR TO LATTICE BASIS=CRYSTAL STRUCTURE
WANG Shu-hua (Physsical Department,Qingdao University,Qingdao 266071) Abstract: This paper attempts to explain the lattice basis=crystal structure by means of calculating the geometrical structure factor. Keywords: lattice;basis; crystal structure; geometrical structure factor
Fhkl = [ f Na+ + f Cl − ( −1)n ( h+ k + l ) ][1 + ( −1) n ( h+ k ) + (−1) n( h +l ) + (−1)n ( k + l ) ] nh, nk, nl全为奇数 4( f Na + f Cl ) = 4( f Na − f Cl ) nh, nk, nl全为偶数 (4) 0 nh, nk, nl部分为奇数, 部分为偶数
F ( s ) = ∑ f j e i ( k −k0 )
其中 k − k 0 = nK hkl = n( ha * + kb * +lc *), R j = u j a + v j b + l j c , f i 表示原胞中第
j 个原子的散射因子
Fhkl = ∑ f j e i 2πn( huu + kv j + lw j ) (1)
３
nh, nk, nl全为奇数 nh, nk, nl全为偶数 nh, nk, nl部分为奇数, 部分为偶数
(3)
２ 氯化钠结构 ＋ － 氯化钠结构的布喇菲点阵是面心立方 其结晶学原胞中包含 ４ 个 Ｎａ 和 ４ 个 Ｃｌ ＋ － Ｎａ 的坐标是 ０ ０ ０ １／２ １／２ ０ １／２ ０ １／２ 和 ０ １／２ １／２ Ｃｌ 的坐标分别为 １／２ １／２ １／２ ０ ０ １／２ ０ １／２ ０ １／２ ０ ０ 若 Ｎａ＋和 Ｃｌ－的散射因子分别为 f Na + 和 f Cl − 则
iπn ( h + k + l )
][1 + e iπn ( h+ k ) + e iπ n( h+ l ) + e iπn( k +l ) ] = S1 S 2
第3期
几何结构因子与 点阵+基元=晶体结构
的关系
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其中 S1 = f Na + + f Cl − e iπn( h+ k + l ) 正是在面心立方阵点上所放置的基元的结构因子 S 2 则正是单原子面心立方点阵中 ４ 个原子的几何结构因子（原子散射因子 f 为 S1 所代 替） 由此可见 由于放置在面心立方点阵的阵点上的不再是散射因子为 f 的同种原 子 而是一个结构因子为 S1 的基元 用这个基元的结构因子 S1 代替原子散射因子 f 就 得到氯化钠结构的几何结构因子 现将以上结果讨论如下
Fhkl 称为几何结构因子 几何结构因子不仅与原胞内原子的散射因子 f 有关 而 且也与原胞内原子的排列情况及所考虑的方向有关 衍射强度 I hkl 正比于 Fhkl 平方 因此 如果已知原子散射因子 f j 就可由 I hkl 推出原胞中原子的排列 反之若已知原胞
中原子的排列 也可决定衍射线加强和消失的规律 ３ 几种晶体几何结构因子的计算 ３．１ 面心立方结构（基元包含 １ 个原子） 面心立方结构的结晶学原胞中包含 ４ 个原子 其坐标为 ０ ０ ０ １／２ １／２ ０ １／２ 和 ０ １／２ １／２ 若原子散射因子为 f 则据（１）式得几何结构因子为
+ − + −
由（５）式可以看出 由于氯化钠晶体结构的布喇菲点阵是面心立方 因此其几何结 构因子有与单原子面心立方点阵几何结构因子相同之处 即当 nh nk nl 部分为奇 数 部分为偶数时 Fhkl = 0 但由于氯化钠结构放置在面心立方点阵阵点上的不再是 ＋ － 同种原子 而是由 １ 个 Ｎａ 和 １ 个 Ｃｌ 组成的基元 此基元中两个离子的散射波相互干 涉的结果 使得 nh nk nl 全为奇数和 nh nk nl 全为偶数的反射强度不再相 同 ３ ３ 金刚石结构的几何结构因子 金刚石结构的布喇菲点阵是面心立方 其结晶学原胞中包含 ８ 个原子 这 ８ 个原 子的坐标是 ０ ０ ０ １／２ １／２ ０ １／２ ０ １／２ 和 ０ １／ ２ １／２ １／４ １／４ １／４ １／４ ３／４ ３／４ ３／４ ３／４ １／４ ３／４ １／４ ３／４ 把这 ８ 个原子的坐标代入 １ 式 并利用 f j = f 得 金刚石结构的几何结构因子为
]
Fhkl = f [1 + e
iπ n ( h+ k + l ) 2
其中 S1 = f [1 + e 2 ] 正是在面心立方点阵阵点上所放置的基元 ０ ０ ０ １／４ １／４ １／４ 的结构因子 与氯化钠几何结构因子的讨论类似 由于放置在面心立方点阵 的阵点上的不再是散射因子为 f 的同种原子 而是一个结构因子为 S1 的基元 用这个 基元的结构因子 S1 代替原子散射因子 f 就得到金刚石结构的几何结构因子 现将以上结果讨论如下
8 f nh, nk , nl全为偶数, 且nh + nk + nl = 4s ( s为整数) 4 f (1 ± i ) nh, nk , nl全为奇数 = (5) 0 nh , nk , nl 部分为奇数 , 部分为偶数 0 nh, nk, nl全为偶数, 且nh + nk + nl = 4 s + 2( s为整数)
据（１）式得氯化钠结构的来自百度文库何结构因子为
Fhkl = f Na+ [1 + e iπn ( h+ k ) + e iπn( h +l ) + e iπn( k +l ) ] + f Cl − [e iπn( h +k +l ) + e iπnh + e iπnk + e iπnl ]
= [ f Na + + f Cl − e
晶体结构是固体物理的基础 按布喇菲空间点阵学说 晶体结构可以概括为点阵 加基元 对于晶体结构的理解与否 直接影响到固体物理后续课程的学习 在研究晶 体 Ｘ 射线衍射时 通过对几何结构因子的计算 可以再一次理解 点阵 基元＝晶体结 构 的含义 １ 点阵 基元 ＝ 晶体结构 晶体是由大量的原子（或离子）组成的 如此巨大数目的原子以一定方式排列 原 子的排列方式称为晶体结构 理想晶体中原子的排列十分有 规则 主要体现在原子排列具有周期性 不同的晶体组成晶 体的原子种类和可能是不同的 原子规则排列的具体形式也 可能是不同的 布喇菲用空间点阵学说来描述晶体的内部结 构 按这个学说 晶体的内部结构可以概括为由一些相同的 点子在空间有规则地周期性的无限分布 这些点子的总体称 图 １ 氯化钠结构 为点阵 这种点阵的每个阵点上附有一群原子称为基元 基 元可以由单个原子组成如最简单的晶体铜 铁等 它们的基 元就是单个的原子 更多的晶体基元是由多个原子或分子组 成的 点阵中的点子可以代表基元中任意的位置 点阵是一 种数学上的抽象 只有当基元以同样的方式安置于每个阵点 上 才能形成晶体结构 它们的逻辑关系是 点阵 基元 ＝ 晶体结构 例如氯化钠结构（见图 １）的布喇菲点阵是面心立方 基 元含 １ 个 Ｎａ＋ 和一个 Ｃｌ－ Ｎａ＋ 的坐标为 ０ ０ ０ Ｃｌ－ 的坐标为 图 ２ 金刚石结构 １／２ １／２ １／２ 把这个基元以同样的方式安置在面心立方点阵
第 13 卷第 3 期 2000 年 7 月
青岛大学学报 JOURNAL QINGDAO UNIVERSITY 03-0015-04
VOL
13 NO
3
July 2000
文章编号 1006-1037 2000
几何结构因子与 点阵 基元＝晶体结构 的关系＊
王淑华
（青岛大学物理系 摘要 本文通过几何结构因子的计算 说明 点阵 关键词 点阵 基元 晶体结构 几何结构因子 中图分类号 O48 文献标识码 A 基元＝晶体结构 的含义 青岛 266071)
i π n ( h+ k + l )
][1 + e iπn( h + k ) + e iπn( h+l ) + e iπn ( k + l ) ] = S1S 2
Fhkl = f [1 + e
iπ n ( h+ k + l ) 2
][1 + e iπn( h +k ) + e iπn( h +l ) + e iπn( k +l ) ]
Fhkl = f [1 + e iπn ( h + k ) + e iπn ( h + l ) + e iπn ( k + l ) + e +e
整理后得
iπ n ( 3 h +3 k + l ) 2
iπ n( h+ k + l ) 2
+e
iπ n ( h +3 k + 3l ) 2
+e
iπ n ( 3h + k + 3 l ) 2
＊
收稿日期 2000-05-10 作者简介 王淑华 女
副教授 现主要从事固体物理基础研究与教学工作
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青岛大学学报
第 13 卷
的每个阵点上 就形成氯化钠晶体结构 再如金刚石结构（见图 ２）的布喇菲点阵也是面心立方 基元由位于 ０ ０ ０ 和 １／４ １／４ １／４ 的两个碳原子组成 把这个基元以同样的方式安置在面心立方点阵的每个阵点上 就形成金刚石结构 ２ 几何结构因子 在研究晶体 Ｘ 射线衍射时 布喇格定律和劳厄方程是 Ｘ 射线衍射的两种等价的表 示方法 它们只能决定布喇菲格子的衍射极大条件 这两者都是晶体结构周期性的结 果 都不涉及同各个阵点相联系的基元中原子的排列 对于布喇菲格子 如果只要求 反映周期性 则原胞中包含一个原子 因而决定了基矢 也就决定了原胞的几何结构 可是对于基元包含两个或两个以上原子的晶体 还必须考虑原胞中原子的相对位置 这可以通过研究衍射条纹的位置和衍射线的相对强度来决定 考虑每个胞原中包含 n 个原子 R1, R2 , LL R j , LL Rn 为原胞内 n 个原子的位 矢 位矢为 R j 的原子和原点处的原子的散射波位相差为 ( k − k 0 ) • R j 几何结构因子
由（５）式可以看出 由于金刚石结构的布喇菲点阵是面心立方 因此其几何结构因
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第 13 卷
子有与单原子面心立方点阵几何结构因子相同之处 即当 nh nk nl 部分为奇数 部分为偶数时 ０ 但由于金刚石结构放置在面心立方点阵阵点上的不再是同种原子 而是由两个原子组成的基元 此基元中两个原子的散射波相互干涉的结果 使得 nh nk nl 全为奇数和 nh nk nl 全为偶数的反射强度不再相同 并且使得面心立方 点阵中 nh nk nl 全为偶数的反射又有一部分消失 ４ 结论 从上面几何结构因子的计算可以看出 把单原子面心立方点阵的几何结构因子中 的原子散射因子用相应的基元的结构因子代替 就可以得到布喇菲点阵为面心立方的 氯化钠结构和金刚石结构的几何结构因子 这一结论对于其他晶体结构同样成立 这 一结论再次说明 不论晶体是由一种或几种原子组成的 我们都可以把它理解为 点 阵 基元＝晶体结构 点阵和基元二者有一点不同 则形成不同的晶体结构 对于点 阵相同基元不同的晶体 由于它们有共同的点阵 因此它们在某些方面表现出相似的 性质 参考文献 [1] 基泰尔． 固体物理导论[M]. 科学出版社 1979 [2] 刘友之等． 固体物理学习题指导[M]. 高等教育出版社 1988