工程力学第16章压杆稳定问题

l
i
i
I （截面对弯曲中性轴的惯性半径） A
i
I A
（截面对弯曲中性轴的惯性半径）
圆截面：
i
I d 4 / 64 d 2 A d / 4 4
矩形截面： i
I min A
hb3 / 12 b bh 2 3
二、三类不同压杆及其临界应力表达式
1.大柔度杆（细长杆） 在线弹性范围内失稳，临界应力采用欧拉公式计算。 2 2E E cr 2 P P P
两端铰支
长度系数
1.0 2.0 0.5
一端固定一端自由 两端固定
一端固定一端铰支
0.7
例：两端铰支压杆如图，杆的直径d = 20mm ，长度l = 800mm ， 材料为Q235钢，。求压杆的临界载荷。
解：根据欧拉公式
2 EI 3 Ed 4 3 200 109 204 1012 Fcr 24.2kN 2 2 2 (l ) 64 ( l ) 64 (1 0.8)
Fcr
2 EI min
l2
当截面对不同方向弯曲中性轴的惯性矩不一样 时应取Imin的方向计算。
二、两端非铰支细长压杆的临界载荷
支承对压杆临界载荷的影响表现为确定常数所 用边界条件不一样。
2 EI Fcr ( l )2
l
相当长度
EI Fcr ( l )2
2
杆端约束条件
解：⑴ 计算压杆柔度
d i 11.25mm 4
两端为铰链约束
1

l
i

1 0.7 62.2 3 11.25 10
2E 2 200 109 P 100 6 P a s 304 235 s 61.6
§16-4
一、压杆稳定条件
Fcr F Fst nst
压杆稳定条件与计算
cr
nst

st
稳定安全因素
二、安全因数法
工作安全因数
压杆安全工作条件
cr Fcr n F
n nst
三、折减因数法
cr
nst st

st
例：Q235 钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束状况如图 所示，其中a 为正视图，b 为俯视图。在二处用螺栓夹紧。已知 l = 2.3m ，b = 40mm ，h = 60mm ，材料的弹性模量E = 205GPa ，求此杆的临界载荷。 解：在正视图平面（xy 平面）内失稳，A 、B 处可 自由转动，即两端为铰链约 束
解得：
w(0) A 0 B 1 0 w(l ) A sin kl B cos kl 0
B0 sin kl 0
（为什么A 、B 不能同时等于0 ？）
sin kl 0
kl n
n2 2 EI F ( n 1, 2, ...) 2 l
由于临界载荷是F 的最小值，所以取n = 1 两端铰支细长压杆的临界载荷
0.5 2.3 2 3 y 99.6 3 iy 40 10
l
z y
z 132.8 P
压杆在正视图平面内失稳定
属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷
2E 2 205 109 6 Fcr cr A 2 bh 40 60 10 275kN 2 z 132.8
I x 2 198.3 396.6cm4
ix Ix A 396.6 3.95cm 25.48
I y 2 (25.6 3.022 12.74) 285cm4
iy Iy 285 3.32cm A 25.48
Imin I y 285cm4
折减因素
压杆安全工作条件
st
例：由Q235钢制成的压杆，两端铰支，其屈服强度σs = 235MPa ，比例极限σP = 200MPa ，弹性模量E=200GPa， 杆长l = 700mm ，截面直径d = 45mm ，杆承受Fmax = 100kN 。稳定安全因数nst = 2.5。试校核此杆的稳定性。
b s P 1.12
压杆属于中柔度杆，临界应力采用直线经验公式计算
⑵ 计算临界载荷 cr a b 304 1.12 62.2 234.34MPa 2 6 d2 45 10 Fcr cr A cr 234.34 106 372.7kN 4 4 ⑶ 校核压杆稳定性 F 372.7 n cr 3.7 nst FNmax 100 所以压杆的稳定性是安全的。
imin i y Iy A 109.8 2.08cm 25.48
两端固定 0.5

l
iy

0.5 7 168 P 2 2.08 10
168 P
钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷 2E 2 200 109 25.48 104 Fcr cr A 2 A 181.8kN 2 168 钢柱的许可载荷 Fcr 181.8 F1 60.6kN nst 3 ⑵ 两槽钢离开 查型钢表 A 2 12.74 25.48cm2
大柔度杆：
P
E P P
2
2E cr 2
2.中柔度杆（中长杆） 中柔度杆发生弹塑性失稳，欧拉公式不适用。临 界应力一般采用经验公式计算。 · 直线经验公式 cr a b
(a 、b是与材料性质有关的 常数，可查阅有关工程手册)
a s s b
M ( x ) F w( x )
2
F 设 k EI d2 w( x ) 2 k w( x ) 0 2 dx 方程一般解 w( x ) A sin kx B cos kx
d 2 w( x ) M ( x ) 2 dx EI
F x l F
边界条件 x0 xl
二、平衡的稳定性
稳定的平衡
非稳定的平衡
三、压杆的稳定性问题
当压力小于某值， 压杆保持直线平衡，在 任意小的扰动下，压杆 偏离直线平衡位置。但 当扰动除去后，压杆回 到原来直线平衡位置。
压杆平衡稳定
压力小于一定的数 值时，压杆的直线平衡 是稳定的。
当压力达到一定数值， 压杆仍具有直线平衡方式； 在外界扰动下，压杆偏离直 线平衡位置，但当扰动除去 后，在某一弯曲状态下达到 新的平衡
s （塑性材料） cr b （脆性材料）
( s )
三、临界应力总图
例：图所示压杆，其直径均为d ，材料都是Q235，但二者 的长度和约束都不同。⑴ 分析哪一根杆的临界载荷较大。⑵ 若d = 160mm ，E = 205GPa ，计算二杆的临界载荷。 解：⑴ 计算柔度，判断临界应力大者 d 圆截面 i 4 两端铰支约束的压杆 1l1 20 1 1 1 i d 两端固支约束的压杆 l 18 2 0.5 2 2 2 i d 2
cr a b s
中柔度杆
s P
a s s b
cr a b
· 抛物线公式
cr a1 b1 2 (0 P )
(a1 、b1是与材料性质有关的常数，可查阅有 关工程手册) 3.小柔度杆（粗短杆） 小柔度杆发生屈服（塑性材料）或断裂（脆性材 料），临界应力
解： ⑴ 梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合） 经过分析，AB 的危险截面为C 截面
FN F cos 30o 25 0.866 21.65kN
M y F sin30o l1 25 0.5 1.25 15.63kN m
查型钢表 Wy 102 106 m3
此时横截面上的正应力
Fcr 4 24.2 103 77MPa P 2 6 A 20 10
表明压杆处于线弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。
§16-3
一、临界应力与柔度
1.临界应力
临界应力与临界应力总图
压杆处于各种临界状态时横截面上的平均应力 Fcr cr A 2.柔度 对于细长杆 Fcr 2 EI 2 E cr 2 2 A (l ) A 柔度
1
iz Iz bh3 / 12 h A bh 2 3
1 2.3 2 3 z 132.8 3 iz 60 10
l
在俯视图平面（xz 平面）内失稳，A 、B 处不可自由转动，即 两端为固定约束 0.5
iy Iy hb3 / 12 b A bh 2 3
例：图所示结构中，梁AB 为No.14 普通热轧工字钢，支承的 杆直径d = 20mm ，二者的材料均为Q235钢。结构受力如图所示， A 、B 、C 三处均为球铰约束。已知F = 25kN ，l1 = 1.25m ，l2 = 0.55m ，E = 206GPa 。规定稳定安全因数nst = 2.0 ，梁的许用应力 [σ] = 170MPa 。试校核此结构是否安全。
§16-2
· 线弹性稳定问题
临界载荷的欧拉公式
细长压杆在临界载荷作用处于不稳定的直线形态， 但其材料处于线弹性范围内。
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
思路：压杆在微弯时的最小压力Fmin = Fcr。
F x l F
弯矩方程 M ( x ) F w( x )
压杆挠曲轴近似微分方程
d 2 w( x ) M ( x ) 2 dx EI
压杆平衡非稳定
压力达到一定的数值 时，压杆存在直线和弯曲 两种平衡形式，压杆的直 线平衡是不稳定的。
当压力超过某一数 值，压杆直线平衡形式 突然转变为弯曲形式， 致使构件丧失正常功能