《标量函数的梯度》PPT课件

一 标量场的等值面 一个标量场可用一个标量函数来 表示。直角坐标系中，标量函数
u 可表示为
u ux, y, z
方程 ux, y, z C 随着C 的取值不同，
给出一组曲面.这样的曲面称为标量场 的等u值面.
u x, y, z C （ C 为任意常数）称为等值面方程.
如果某一标量物理函数 是两个坐标变量的函数，这样
2.梯度的性质
（一）一个标量函数的梯度是一个矢量函数.
（二）函数 u在给定点沿任意 方向l 的方向导数等于 函数 u 的梯度在 方l 向上的投影.
（三）在任一点 M，标量场 u x, y,的z 梯度垂直于过该
M
点的等值面.
单位法线矢量
en gradu gradu
3.哈密顿（Hamilton）算子
l x
y
z
el cos ex cos ey cos ez
u u u G ex ey ez
x y z
u G el G cos G,el
l
定义 标量场 u x, y, z在点 M处的梯度是一个矢量，记作
gradu G
它的大小等于场在点 所M有方向导数中的最大值，它的
方向等于取到这个最大值所沿的那个方向.
l x2 y2 z2
式中 x l cos, y l cos , z l cos cos,cos ,cos 是l 的方向余弦.
根据多元函数的全增量的关系，有
u u M u M0
u x u y u z l
x M0
y M0
l 0 0
z M0
结论 直角坐标系中任意点
lim u M u M0
l 0
l
上沿 l 方向的方向导数的 表达式
u cos u cos u cos
x M0
y M0
z M0
u u cos u cos u cos
l x
y
z
例2求函数 u x2 y2 z2 在点M 1,0,1 沿l ex 2ey 2ez
方向的方向导数 .
解 u
x
u
x x2 y2 z2 y
的场称为平面标量场.
x, y C 称为等值线方程.
例1设点电荷 q位于直角坐标系的原点，在它周围
空间的任一点
M的 x电, y位, z是
x, y, z
q
40 x2 y2 z2
式中 q和 0是常数.试求等电位面方程.
解根据等值面的定义，令 x, y, z （C 常数）即得
到等电位面方程
1 R
x
x2
y
y2
z
z2
1 2
x
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
ex
y
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
ey
z
x
x2
y
y2
z
z2
1 2
ez
所以
'
1 R
R R3
eR R2
1 R
'
1 R
ex ey ez x y z
e
e
1
ez
z
er e 1 e 1
r r r sin 在直角坐标系中
u (ex ey ez )u u ex u ey u ez x y z x y z
gradu u
4.梯度运算基本公式
C 0
Cu Cu
u v u v
y x2 y2 z2
u z
z x2 y2 z2
M 1,0,1
u 1 u 0 u 1
x 2 y
z 2
cos
1
1 cos 2 cos 2
12 22 22 3
3
3
u
11 2 12 1
0
l M0 2 3
3 23 2
三 梯度 1.梯度的定义
u u cos u cos u cos
表示为 l.
u lim u M u M0
l l0 M0
l
u
定义
l
M
就称为函数
0
沿 方l向的方向导数.
u x, y, z在点M0
物理意义 方向导数是函数 ux, y,在z给定点沿某一方向对
距离的变化率.在直角坐标系中，
u u , u ,就u是函数 沿
三个坐标轴方向的方向导数 .
x y z
直角坐标系中
uv vu uv
u v
1 v2
vu
uv
f u f uu
R明
例3 R x x2 y y2 z z2
x, y, z, x表, y示, z空间点
试证
1
和R
1 R
点
之间的x距, 离y,。z符号 表示对
微分，即
ex
x
ey
y
ez
z
Baidu Nhomakorabea
解
所以
1 R
R R3
eR R2
C
q
40 x2 y2 z2
或
x2
y2
z2
q
4 0C
2
这是一个球面方程.
二 方向导数
M0 x0, y0, z0 为标量场u x, y, z 中的一点，从点 M0出发朝任
一方向引一条射线 并l 在该方向上靠近点 取M一0动点 M x0 x, y0 y, z0 z ，点M0 到点M 的距离