随机过程及其统计描述

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12.2 随机过程的统计描述
(一) 随机过程的分布函数族
一维分布函数族概念
给定随机过程 { X (t ), t T } , 对于每一个固定的 t T ，随机变量 X (t ) 的分布函数一般与t有关，记为
FX ( x, t ) P{X (t ) x}, x R
称为随机过程{ X (t ), t T } 的一维分布函数, 而 {FX ( x, t ), t T } 称为 一维分布函数族。
可见，均值函数和相关函数可被看作是最主要的两个 数字特征。刻画了随机过程的主要统计特性。
二阶矩过程的概念
2 如果对每一个 t T ，随机过程 { X (t ), t T } 的二阶矩 E[ X (t )]都存 在，则称它为二阶矩过程。
二阶矩过程的相关函数总存在。(只要证明相关函数是收敛的即可)
2 标准差函数 X (t ) X (t )
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12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
(自)相关函数
RX (t1, t2 ) RXX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
(自)协方差函数
CX (t1, t2 ) CXX (t1, t2 ) Cov[ X (t1 ), X (t2 )]
E{[ X (t1 ) X (t1 )][ X (t2 ) X (t2 )]}
E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 )]E[ X (t2 )]
相关函数和协方差函数用以描述随机过程自身 在两个不同时刻的状态之间的统计依赖关系。
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12.2 随机过程的统计描述
,V (tk ), }
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12.1 随机过程的概念
随ຫໍສະໝຸດ Baidu过程的概念
设 T 是一无限实数集，我们把依赖于参数 随机变量称为随机过程，记为
t T 的一族(无限多个)
{ X (t ), t T }
这里对每一个给定的 t , X (t ) 是一个随机变量，T 叫做参数集.
[参数t 通常就是时间变量；也可以不是时间，但可以当作时间变量看待]
12.3 泊松过程及维纳过程
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12.1 随机过程的概念
一个实例：热噪声电压
在一段时间内对热噪声电压进行观测 是随机试验。观测结果将得到某种形 式的v-t函数图象，可能是
v1 (t ), v2 (t ),
中的任意一个。
, vk (t ),
在相同条件下，独立、重复的观 测，所有可能的结果构成一个函 数族：
是 (0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量。 式中 a, 是正常数，
当 在 (0, 2 ) 内随机的取一个值 i ，可得样本函数：
xi (t ) a cos(t i )
状态空间：( a, a )
样本曲线（只画出两条）
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12.1 随机过程的概念
随机过程举例
在测量运动目标的距离时，存在随机误差，以 (t ) 表示在时刻t的测 量误差，则 { (t ), t 0} 是一个随机过程。状态空间 (, )
t1t2 E( A2 ) (t1 t2 ) E( AB) E( B 2 )
A ~ N (0,1) E( A) 0, D( A) 1, E( A2 ) D( A) [ E( A)]2 1
B ~ U (0,2) E( B) 1, D( B) 1/ 3, E[ B2 ] D( B) [ E( B)]2 4 / 3
的均值函数，方差函数和自相关函数.
解：
的概率密度
1/ (2 ), 0 2 ; f ( ) 其他 0,
利用随机变量函数期望的计算方法可得 均值函数 X (t ) E[ X (t )] E[a cos(t )] aE[cos(t )]
a
{v1 (t ), v2 (t ),
, vk (t ), }
在给定的时刻 t j观测热噪声电压 V, 它是一个随机变量，其取值是
{v1 (t j ), v2 (t j ),
中的任意一个。
, vk (t j ), }
对热噪声电压的重复观测
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12.1 随机过程的概念
热噪声电压现象的特点
(1)在某一时刻tj，电压V是一个随机变量，有其样本空间：
X对Y和t的依赖，决定了X是一个随机过程. 确定了 Y之后，即可确定任意时刻和全程的观测结果. 任意时刻下，观测目的是X取什么值；全程的情况下， 观测目的是X(t)的函数形式.
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12.1 随机过程的概念
随机过程举例
随机相位正弦波
考虑： X (t ) a cos(t ), t (, )
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12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
均方值函数
2 ΨX (t ) E[ X 2 (t )]
2 2 方差函数 X (t ) DX (t ) Var[ X (t )] E{[ X (t ) X (t )] }
表示t时刻X(t)取值偏离对于均值 X (t ) 的平均偏离程度。
{v1 (t j ), v2 (t j ),
, vk (t j ), }
理论上任意时刻V的取值都有一个分布 (2)在一段时间内，其样本空间在随时间变化，其分布也随时间变化
随机过程的研究对象
研究对象是随时间演化的随机现象(动力学)。
对这种现象的研究，需要用一族随机变量：
{V (t1 ),V (t2 ),
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12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
设A, B是两个随机变量. 试求随机过程 X (t ) At B, t (, ) 的均值 函数和自相关函数. 如果A, B是相互独立的，且 A~N(0,1), B~U(0,2), 问 X (t ) 的均值函数和自相关函数又是怎样的？
E ( AB) E ( A) E ( B) 0 A,B相互独立
于是
4 X (t ) 1 ， RX (t1 , t2 ) t1t2 3
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12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
求随机相位正弦波：
X (t ) a cos(t ), t (, ), ~ U (0,2 )
, tn ), ti T} 称为n维分布函数族
, X (tn ) xn }
,n
xi R, i 1, 2,
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12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
均值函数
X (t ) 是一个随机变量， 给定随机过程 { X (t ), t T } ，固定 t T ， t 时刻的均值(数学期望)，记为
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12.1 随机过程的概念
随机过程的分类 按状态或参数的离散与否进行分类
连续型随机过程：任意时刻的状态是连续型随机变量；
离散型随机过程：任意时刻的状态是离散型随机变量.
连续参数随机过程: 参数集T是区间;
离散参数随机过程或称随机序列：参数集是离散的.
也可以按不同时刻的状态之间的统计依赖关系进行 分类
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12.1 随机过程的概念
随机过程举例
抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}, 现借此定义随机过程： cos t , 当出现H,
X (t ) t，
当出现T,
t ( , )
可将此随机过程改写为
X (t ) Y cost (1 Y )t
,
1, 出现H , t (, ) 其中 Y 0, 出现T
2
0
a cos(t ) f ( )d 2

2
0
cos(t )d 0
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12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
自相关函数
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] a
2
a 2 2 cos(t1 ) cos(t2 )d 0 2 a 2 2 {cos[ (t1 t2 ) 2 ] cos (t1 t2 )}d 0 4 a2 cos (t1 t2 ) 2 2 a 2 2 方差函数 X (t ) RX (t , t ) X (t ) 2
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12.1 随机过程的概念
随机过程： { X (t ), t T }
随机过程相关概念
(1) X (t ) 称为 t 时刻过程的状态(随机的)
(2) t时刻对X进行一次观测，得到 X (t ) x (实数)，就说t时刻过程处于状态 x (3) 对于一切 t T , X (t ) 所有可能取值的全体称为随机过程的状态空间. (4) 对随机过程 { X (t ), t T } 在T上进行一次全程观测， 得到函数
(二) 随机过程的数字特征
数字特征之间的关系
2 ΨX (t ) RX (t , t )
CX (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) X (t1 ) X (t2 ) D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2
2 2 X (t ) CX (t, t ) RX (t, t ) X (t )
x(t ), t T ，称为随机过程的一个样本函数或样本曲线。
热噪声电压可用随机过程 {V (t ), t 0} 来描述. 状态空间为 (, ) 观测得到的电压-时间函数
vk (t ), t 0 是该随机过程的一个样本函数.
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12.1 随机过程的概念
随机过程举例
抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}, 现借此定义随机过程： cos t , 当出现H,
解：根据均值函数和自相关函数的定义、利用期望的性质，可得 均值函数
X (t ) E( At B) tE( A) E(B)
E( A2t1t2 B2 ABt1 ABt2 )
自相关函数 RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[( At1 B)( At2 B)]
第12章
随机过程及其统计描述
教材：盛骤等《概率论与数理统计》(第四版) 制作、讲授：安师大 朱仁贵（rgzhu@mail.ahnu.edu.cn）
目录
12.1 随机过程的概念 12.2 随机过程的统计描述
(一) 随机过程的分布函数族 (二) 随机过程的数字特征 正态随机过程的概念 (三) 二维随机过程的分布函数和数字特征
X (t ) t，
当出现T,
t ( , )
无论是在某时刻t进行观测还是全程连续观测，结果都有投 币试验决定.
t时刻的分布律
X (t ) xi (t )
cost
1/ 2
t
1/ 2
样本曲线
pi
参数集 T (, )
状态空间 (, )
样本函数族 {cos t , t}
以X(t)表示在时间间隔(0, t]内，120急救电话台接到的呼叫次数。 { X (t ), t 0} 是一个随机过程，其状态空间为{0,1,2,…}
考虑抛掷一颗骰子的试验. (1)设 X n 是第n次(n≥1)抛掷的点数，对于n=1,2,…的不同值， X是不同 n 的随机变量，因而 { X n , n 1} 构成一随机过程(称伯努利过程或伯努利 随机序列)。状态空间{1,2,3,4,5,6} (2)设 Yn 是前n次(n≥1)抛掷中出现的最大点数， {Yn , n 1} 也是一随机 过程。状态空间{1,2,3,4,5,6}
n维分布函数族概念
由随机过程 { X (t ), t T }的n个不同时刻的随机变量构成的n维随机变量
( X (t1 ), X (t2 ),
, X (tn )) ，其分布函数为
FX ( x1, x2 ,
{FX ( x1, x2 ,
, xn ; t1, t2 ,
, xn ; t1, t2 ,
, tn ) P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,
X (t ) E[ X (t )]
称 X (t )为随机过程 { X (t ), t T }的均值函数。 均值函数
X (t ) 表示了随机过程在各个时刻的摆动中心.
集平均(统计平均)
X (t ) 是随机过程的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均值，通常称
这种平均为集平均或统计平均。