全国初中数学竞赛浙江赛区复赛试题

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题

（2007年4月1日 下午1：00—3：00）

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30

代号为A ，B ，C ，D 1

．若3

2

10x x x +++=，则2627

--+x x

+ … +x x ++-11+ … +2726x x +的值是（ ）

（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）2

2．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB =14cm ，BC =12cm ，⊙矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 为（ ）

（A ）4cm （B ）8cm （C ）10cm （D ）12cm

3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老

师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”． 如果令⎩

⎨

⎧=号同学当选．号同学不同意第，第号同学当选，

号同学同意第，第，j i j i a j

i 01 其中i =1，2，...，50；j =1，2， (50)

则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（ ） （A ）2111，，a a ++ … ++++250150501，，，a a a … +5050，a （B ）1211，，a a ++ … ++++502501150，，，a a a … +5050，a （C ） 50111，，a a +50212，，a a + … +5050150，，a a （D ） 15011，，a a +25021，，a a + … +5050501，，a a 4．若

a b c t b c c a a b

===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） （A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限

5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )

(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个

6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于( )

(A) 12 (B) 16 (C) (D) A

（第2题）

G

A

B

C

F

O

二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）

7．函数321+++++=x x x y ，当x = 时，y

值，最小值等于 ． 8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三

角形的个数为 ．

9．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB =6 cm ，AC =4 cm ，∠A =60°，则AD 的长为 cm ． 10．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足

321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，

则2000x 的值是 ．

11．正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A ，C 两点同时出发，均按A

→B →C →D →E →F →A →… 方向沿轨道奔跑，甲的速度为厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过 秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上． 12．正整数M 的个位上的数字与数2015

2013

的个位上的数字相同，把M 的个位上的数字移到它的左

边第一位数字之前就形成一个新的数N ．若N 是M 的4倍，T 是M 的最小值，则T 的各位数字之和等于 ．

（第9题）

A

B C

D

三、解答题（共4小题，满分54分）

13．（本题满分12分）

已知二次函数2

y ax bx c =++的图象G 和x

A ，与y 轴的交点为

B （0，4），且ac b =． （1）求该二次函数的解析表达式；

（2）将一次函数y =3-x 的图象作适当平移，使它经过点A ，记所得的图象为L ，图象

L 与G

的另一个交点为C ，求△ABC 的面积．

14．（本题满分12分） 如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q ，求证：MN +PQ =2PN ．

B

A

C

M

N P E

F

Q

D

G

15．（本题满分14分）

2007个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为1P ，2P ，3P ，…，2007P ．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由． 16．（本题满分16分）

从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n 个不同的数，

（1）求证：当n =1007时，无论怎样选取这n 个数，总存在其中的4个数的和等于4017． （2）当n ≤1006（n 是正整数）时，上述结论成立否请说明理由．

参考答案

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C