高等数学第五章定积分及其应用

1 i n
b
任取
i 1
f ( i ) xi
在区间
n
总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x
a
即
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
b
n
o a x1
i xi 1 xi b x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
a
b
函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
b a
[ f ( x) g ( x)]dx
f ( x)dx g ( x)dx
a
b
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则

b
a b
f ( x)dx kdx k dx K (b a)
a a
b
b
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
定理1. 若
x a
( x) f (t ) d t
则积分上限函数 y f ( x) y
( x)
x b x 证: x , x h [a , b] , 则有 xh x ( x h) ( x ) 1 x h f (t ) d t f (t ) d t a h h a 1 xh f (t ) d t f ( ) ( x x h) h x
a b O 1 从几何角度容易看出，数值 y b a
x
b a
f ( x)dx
表示连续曲
5.3 定积分的计算
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数
s(t ) v(t )
内经过的路程为
物体在时间间隔
T
T2
1
v(t ) d t s (T2 ) s (T1 )
第五章

定积分及其应用
一 二 三 四 五
定积分的概念 定积分的简单性质 定积分的计算 定积分的应用 广义积分和Γ函数
背景来源——面积的计算
！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 将图形不断填充，但闪烁部分永
我们可以用大大小小的矩形 远不可能恰好为矩形，这些“边 角余料”无外乎是右图所示的 “典型图形”（必要时可旋转）
定理1.
例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
yx
o
机动 目录 上页
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
下页 返回
1x
结束
1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
y
b
y=f (x)
A
O a b x
如果 f ( x) ≤0， 则 f ( x)dx 0 ， 此时 f ( x)dx
a
b
b
a
表示由曲线 y f ( x) ，x a, x b 及 x 轴所围成的曲 边梯形的面积 A 的负值，即 a f ( x)dx A .
y a O b x
下页
返回
结束
1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi
y
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(ξi)代替 4、作和：S∆= f (1 )x1 f (2 )x2 f (i )xi f (n )xn
2) 近似.
在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i )
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 得
o a x1
xi 1 xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2 （定积分的换元公式） 设函数 f (x)在区间 [ a , b ]上连续；函数 在
x (t )
[ , ] 上单值且有连续导数；当 t ] ( ) a, ( ) b 时，有 (t ) [a, b ，且
1 y (b a )

b
a
f ( x) dx
中值定理的几何意义： 曲边 y f ( x) 在a, b底上所围成 的曲边梯形面积，等于同一底边而高为 f ( ) 的一个矩形面 积，如下图所示.
y
y f (x)
f ( )
线 y f ( x) 在 a, b 上的平均高度，也就是函数 f ( x) 在 a, b上的平均值，这是有限个数的平均值概念的拓广.
f (i )xi (xi xi xi 1 )
i 1 n
y f ( x)
f (i )
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
a x0 x1
x2
xi 1 ຫໍສະໝຸດ Baidui xi
xn 1 xn b
x
1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi
y
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(ξi)代替 4、作和：S∆= f (1 )x1 f (2 )x2 f (i )xi f (n )xn
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n

y

1 2 x 0
dx lim i xi
2
n
y x2
0 i 1
lim
1 3
n
o
i n
1x
注
目录
上页
下页
返回
结束
5.2 定积分的简单性质
性质1 常数因子可提到积分号外

性质2
b a
b
a
kf ( x)dx k f ( x)dx
3
的面积 . 解: A sin x dx
0

y
y sin x
cos x

0
[1 1] 2 o
机动 目录 上页 下页
x
返回 结束
第五章
5.3.2 定积分的换元法和 分部积分法
不定积分
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
则

b
a
f ( x)dx f [ (t )] (t )dt


例1. 计算 解: 令 x a sin t , 则 dx a cos t d t , 且
. 当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t 2
“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分
5.1.1 定积分的概念
5.1.1两个实际问题
矩形面积 梯形面积 1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线
所围成 , 求其面积 A .
y f ( x)
A?
解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;

a
A3


b a
A2
O
b x
f ( x)dx A1 A2 A3 .
定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A1 a
b
A3 A2 A4
A5 b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
可积的充分条件:
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 分割. n 个小段 过的路程为 2) 近似. 得 将它分成 在每个小段上物体经
si v( i )t i
(i 1, 2,, n)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3) 求和.
f (i )xi (xi xi xi 1 )
i 1 n
y f ( x)
S lim f (i )xi f ( x)dx
b || || 0 i 1 a
n
a
b
n i 1
x
5、取极限 S ||lim f (i )xi (|| || max{xi }) || 0
b
-A
y=f (x)
如果 f ( x) 在 [ a , b ] 上有 正有负时，则 a f ( x)dx 表示由 曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围成的平面图形的 面积位于 x 轴上方的面积减去 位于 x 轴下方的面积，如右图 所示，即
b
y
A1y f (x)
a
b
性质7 积分中值定理 定理：设函数 f (x)在闭区间[ a , b ]上连续，
则在[ a , b ]上至少存在一点

b

使
a
f ( x)dx f ( )(b a)
1 或可写作 (b a )

b
a
f ( x) dx f ( )
f ( ) 称为函数 f (x) 在 [ a , b ]上的平均值
a x
b
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
证: 根据定理 1,
x
故
因此 得

a
f (t ) dt F ( x) F (a)
记作
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1. 计算
3 dx arctan x 解: arctan 3 arctan( 1 ) 2 1 1 x 1 7 ( ) 3 4 12 例2. 计算正弦曲线
o a
( x) lim
( x h) ( x ) lim f ( ) f ( x) h 0 h 0 h
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.
函数 , 则
a f ( x) dx F (b) F (a)
F ( x) f (t ) dt C
a
c
b
c
a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx

a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx
f ( x ) dx f ( x ) dx
a c c b
b
c
c
机动
目录
上页
下页
返回
结束
机动 目录 上页
i
下页
返回
结束
3) 求和.
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A lim Ai
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
o a x1
xi 1 xi
i
机动
目录
上页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即

a
f ( x)dx 1dx dx b a
a a
b
b
性质4 定积分的区间可加性
若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则

b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a c
c
b
a
c
b
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
则有
c b
a b c,
4) 取极限 .
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
机动
目录
上页
下页
返回
结束
5.1.2 定积分概念
任一种分法
a x0 x1 x2 xn b ,
只要 max { xi } 0时
a f ( x) d x a f (t ) d t a f (u ) d u
机动 目录 上页 下页 返回 结束
b
b
b
如果 f ( x) 0 ，则 f ( x)dx 0 , 此时 f ( x)dx
a a
b
b
表示由曲线 y f ( x) ，x a, x b 及 x 轴所围成的曲边 梯形的面积 A，即 a f ( x)dx A .
性质5 如果在区间 [ a , b ]上 ，f (x)≤ g (x)，则

b
a
f ( x)dx g ( x)dx
a
b
(a b)
性质6 设在区间 [ a , b ]上 （a<b），函数 f (x)
的最大值 和最小值分别是 M 和 m，则
m(b a) f ( x)dx M (b a)