椭圆双曲线焦点三角形问题

椭圆、双曲线的焦点三角形问题
一、有关面积的问题，方法：面积公式、余弦定理
2 2
例1.如图，F2分别是椭圆C: a + 1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，/ F!AF2 = 60°.
(1)求椭圆C的离心率；A
⑵已知△ AF1B的面积为40W，求a, b的值.
解(1)由题意可知，△ AF1F2为等边三角形，a= 2c,
1
所以e= *
y=- 3（x —c）.
将其代入椭圆方程3x2+ 4y2= 12c2，得B g,—j
所以|AB| = yj1 + 3 • 5c —0 =喘.
由S△ AF I B = ^AF i llA BI sin/ F1AB =寺寮宁=^^孑二40.3，解得a= 10，b= 5 , 3.
方法二设|AB| = t.因为|AF2|= a,所以|BF2|= t— a.
由椭圆定义|BF11+ |BF2|= 2a 可知，|BF1|= 3a—t，
8
再由余弦定理（3a —t）2= a2+ t2—2atcos 60 可得，t = 8a
5
由S △ AF1B = 1a fa 于=253a2= 40 .3知，
a= 10，b = 5"』3.
例2如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F2分别为左、右焦点，双
曲线的右支上有一点P,/ F j PF2，且△ PF| F2的面积为2 3，双曲线的离心率
3
为2,求该双曲线的方程.
2 2
解析：设双曲线的方程为令- 1(a 0, b 0) , F1( -c, 0), F2 (c, 0),
a b
P(x0, y0).在^ PF1F2中，由余弦定理，得
2 2 \ 2 乂 2 -
IF1F2I2=|PF『-1PF212-2| PF11 •|PF2| • cos (IPF1L IPF2I) |PF1| TPF2I，
3
三、有关内切圆的问题，方法：椭圆
________
X 2
y 2
例4椭圆—
-=1(a b 0)上一点P ，两个焦点
a b
R(-c,0)，F 2 (c,0)，
F 1PF 2 的内
切圆记为 L M ，
求证：点P 到 M 的切线长为定值.
证明：设OM 与厶PF 1F 2的切点为 A B C ，如图1，因OM 是厶PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F £|、
即 4c 2 =4a 2 |PF i | • IPF 2I , — 1 又因为 S △并忻=2、..3，所以—IPRI • |PF 2|sin 2、. 3 , 2 3
所以 |PF i | • |PF 2>8，所以 4c 2 =4a 2 8即 b 2
=2 , 又因为 2 e 丄=2，所以a a c 2 2 3x y 故所求双曲线方程为 1.
2 2
、有关 F 1PF 2的问题，方法： 正弦定理、等比定理 例3已知椭圆的焦点是 F i ( — 1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点, 的等差中项. 且| F 1F 2丨是丨PF 1丨和丨PF 2 | (1)求椭圆的方程；
⑵若点P 在第三象限，且/ PF 1F 2= 120°，求tanF 1PF 2 • 解：
(1)由题设 2 | F 1F 2 1 = 1 PF 1 | + | PF 2 |
2
2
2a =4，又 2c = 2，二 b = , 3，二椭圆的方程为
= 1
4 3 1
⑵设/ F 1PF 2 = 0，则/ PF 2F 1 = 60° — e ，椭圆的离心率 e = —
2
则 1 _ sin(180° -巧 _
sin 二
込 ''灯
Sin(60
° "厂尹 sin(60。

J
整理
得：
5sin e = ■, 3 (1 + cos 0 )
sin 3+i
3 故 tan —
1 cos=
5
2
5
tanF 1PF 2 = tan
e
1」
11
25
|F2C|=|F 2B|，|PA|=|PB| ; •/ |F 1C| + |F2C|=2c,. |F 1AI + |F 2B|=2c，由椭圆第一定义知
|PF i | + |PF 2|=2a ，二 |PA| + |F i A| + |PB| + |F 2B|=2a , 为定值.
••• 2|PA|=2a - 2c 即 |PA|=a - c
四、有关轨迹的问题，方法: 任一焦点引 I —点，Ml 的垂线.则垂足。

的锐遊为]）. （A ） 0 椭圆 解新 毡长交「严的延长线于点 乩等腰三处形APF 」中.
I PF, |=： AP I* 从而 | AF t | = | AP 「+ PF. I =1 PF 」P& I = 2s 所以 I HQ
CC ）収曲线
；AF’ \ =厘、选 A.
£ri-
的两焦点』是椭圆上拄 凡
的外用平分线
⑴）械物线 r. 0 兔
2 2
例6已知椭圆 务•每=i （a b 0）上一动点P,两个焦点Fd-c,。

），F 2（c,0）， a b
i-F] PF 2的内切圆记为O M 试求圆心M 的轨迹方程
解析：如图
|PF i | 义有
S i |PF ,| | PF 21 1,设/ PFF 2=a 、/ PF 2F 1=3，M(x ，
|PF 2| |F 1F 2| y ）则在△ PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定
等 比定理有即 ns i ns 180°
2 ■ ■■-■)] __LFF L L_ _______ 2a sin 二- sin ： sin(/、I ') sin 二 x I- ' a - c tan tan •由斜率公式知： 2 2 a c 不论 P 位于椭圆上 ( ：＜ 『■ y
k MF 1 k MF 2
二- tan tan , 1 2
2 2 x c 2 2 2 ________________________________________________
整理得(a — c)x + (a + c)y =(a — c)c (y 工 0)证毕. 点评：由上获得的方程不难看岀， △ PF 1F 2的内切圆圆心 M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上 2c ，又由合分比定理知
sin ：
sin (二 b ■■-') k MF^ ~ , k MF 2 =- x c X -c —（y 厂0）,由前述不难看岀, 异于长轴两端点)何处，总有
y a 一 c — ——(厂0). x —c a c 移动•如果 △ PF , F 2中岀现两个角，可以考虑应用正弦定理 五、开放性问题，方法:
X 2 y 2
例7、已知F l , F 2为双曲线 — 2=
1(a .0, b .0且a=b )的两个焦点，P 为双曲线右支
a b
上异于顶点的任意一点， 0为坐标原
点.下面四个命题：
① △ PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线 ② △ PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线
③
△ PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线 ④ 厶PF 1F 2的内切圆必通过点 a,0 . 其中真命题的代号是 ________ .
解析：设△ PF 1F 2的内切圆分别与 PF i 、PF 2切于点A 、B ,
与F 1F 2切于点M,则|PA| = |PB| , |F i A| = |F i M|, |F 2B| = |F 2M|，又点P 在双曲线右支上，所以 |PF i | —IPF 2I = 2a ，故 |F i M| - |F 2M| = 2a ,而 |F i M| + IF 2M 匚 2c ,设 M 点坐标为(x , 0)，则由 |F i M| - |F 2M| = 2a 可得(x + c ) — ( c — x )= 2a 解得x = a ，显然内切圆的圆心与点 M 的连线垂
直于x 轴，故①、④正确.
六、曲线位置关系问题，方法：椭圆 __________
例8.如图，设P 是椭圆上任一点，F 为椭圆的一个焦点，求证；以 长轴为直径的圆相切.
x = a
上； x 二 b 上;
OP
y°
证明：设以FP 为直径的 图13
圆的圆心为G 橢圆的另一焦 点为"圉
1 0C 1 = y I PZ f 1 =
PF 1 ) = a
1 PF\
2・
即两圆的圆心距等于其半径之差，所以两圆相
内切*。