第三讲几何之立体图形.

教学目标

立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的“染色问题” 见到的“几何奥数题”。

小学阶段，我们除了学习平面图形外， 还认识了一些简单的立体图形，

如长方体、

直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。 ★★★ 正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面 都是正方形.如果它的棱长为 a ，那么可得：

2

正方体的表面积：S 正方形 6a 正方体的体积：V 正方形 a 3

（06年武汉明心数学挑战赛）

如右图，两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否 正好装了一半水而争吵.请你设计一种方案，不用其他任何工具与 设备，并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半.

第三讲

几何之立体图形

，也是经常

正方体（立方体）、

★★★ 长方体：若长方体的长、宽、高分别为

a,b,c ，那么可得:

长方体的表面积：S 长方形

2( ab be ac ) 长方体的体积：V 长方形 abc

圆柱体的底面是圆，其半径为

r ；圆柱体的侧面展开图是一个

★★★ 圆柱体：如右图，

长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长; 圆柱体的表面积：S a 柱

侧面积2个底面积

2 rh 2 r 2

圆柱体的体积：V

圆柱

r 2h

★★★ 圆锥体：如右图, 个扇形；

圆锥体的底面是圆，其半径为

r ；圆锥体的侧面展开图是

圆锥体的体积:

★★★ 球体: 1 2.

-r h 3

V 4 r 3 V 球体

3 r

有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计,

V 圆锥体

在数学竞赛中，

把形象思维和抽象思维结合起来。

教师版答案提示：如下图，将长方体容器如图那样倾斜，使一端的水面刚好到容器口的棱

的另一端刚好在棱 B 处时，容器内正好装了一半水.如果不符合上述情况则容器内装 的水就不是一半.如图②是容器里的水正好装一半，图①和图③则不是，图①大于一 半，图③小于一半.

A 处，水平面

立体图形的表面积

边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第 少平方厘

米？

5层时，这个立体图形的表面积是多

分析：图形所含块数的规律：第 1层1块，第2层3块，第3层6块，第4层10块，第5层15块，依 次增加2、3、4、5…，当重叠到第 5层时，该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是 15平

方厘米，该图形的总表面积为 90立方厘米。 有两个圆柱体的零件，高 10厘米，底面直径是 6厘米，零件的一端有有 一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是 6厘米，零件的一端有一个 圆柱形直孔，如图，圆孔直径是 4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件 接触空气部分涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米

?（

【例1】

3.14)

＜分析＞：

观察可知涂漆部分包括圆柱体的外表面，以及圆孔的内表面. 【巩固】 零件的上、下底面: 零件的内侧面:

32 2 54，零件的外侧面:

4 5 60,零件涂防锈漆部分为:

右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是 环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是 种颜色的布用得多？

6 10 180

54

分析：一样多。黑布： a 2 2 a a 3 a 2，白布：（2 a ）2

a 2

3 a 2。

②

A

个圆

a 厘米,

何图形，因此要考虑如何将此几何体转化为熟悉的常见几何体.如下图，再取一个同样的工件，两个工

件拼在一起，可以拼成一个规则的圆柱体，则一个工件的侧面积是此圆柱侧面积的一半.圆柱的高为：

46 54 100，圆柱的侧面积为：15 100 4500，一个工件需铁皮：4500 2 2250（平方厘米）.在解决不规则立体图形的问题时，关键是先将其转化为规则的立体图形，然后才能利用已经掌握的公式、性质进行解题.其实这个思想我们在春季班就已经接触到了。

iti （五年级春季所学相关题目）（07年希望杯培训试题）一个底面为正方形

的长方体木块被锯掉一部分，变成如右图所示的六面体ABCD-EFGH其中

最长的边DH=8厘米，最短的边AB=BC=CD=DA=BF=a米，那么这个六面体的体积是多少立方厘米？

分析：42.这个六面体的体积是长4厘米，宽4厘米，高12厘米的长方体体积的一半，即4X 4X 12-2 =96（立方厘米）.

【拓展】

（05年华罗庚金杯）如图1是一个直三棱柱的表面展开图，其中，灰色和黑色的部分都是边长等于1的正方形.冋：这个直二棱柱的体积是多少

2，这个直三棱柱是棱长为

分析：如图

割得到的直三棱柱体.正方体的体积是

1 正方体体积的一半，体积是1.

2 1的正方体沿一条对角线切

1,这个直三棱柱的体积是

n 1

【例3】

（迎春杯数学邀请赛）一个正方体的表面积为54平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体, 那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？

分析：已知正方形的表面积为54平方厘米，那么这个正方形每一个侧面的面积为

刀切成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原来正方形表面积增加了所求的两个长方体的表面积之和为：

54 ^5=9（平方厘米）.一9X2=18（平方厘米）.因此，

54+18=72（平方厘米）.

【前铺】如右图，正方形ABCD

直线，可把正方形分成多少

厘米？

的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是

分析：从总体考虑，在求这9个小长方形的周长之和时，AB、BC CD AD这四条次,其余四条线被用了2次，所以9个小长方形的周长之和是：4X 6+4 （厘米）.边被用了1

X 2X 6=72

【前铺】

（五年级春季所学相关思路的题目）一个正方体形状的木块，棱长为它锯成3

片，每片又按任意尺寸锯成4条，每条又按任意尺寸锯成的长方体60块侗这

60块长方体表面积的和是多少平方米？

1米，沿着水平方向将

5小块，共得到大大小小

分析原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是 1 X 1 = 1 （平方米），无论后来锯成多少块，这六个

外表面的6平方米总是被计入后来的小木块的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面，

现在一共锯了：2+3+4 = 9 （刀），一共得到18平方米的表面.因此，总的表面积为：6+（2+3 + 4）X 2【巩固】