三角函数——正弦余弦正切

一、锐角三角函数——正弦、余弦、正切

一、新课教学 （一）、认识正弦、余弦、正切 1、认识角的对边、邻边。（2分钟）

如图，在Rt △ABC 中，∠A 所对的边BC ，我们称为∠A 的对边；∠A 所在的直角边AC ，我们称为∠A 的邻边。

2、认识正弦、余弦、正切

如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。记作sinA 。 sinA ＝

A a A c ∠=∠的对边的斜边、cosA=斜边邻边A ∠、tanA=对边

邻边

注意：1、sinA 不是 sin 与A 的乘积，而是一个整体；

2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF

3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。

3、尝试练习：

如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和tanB 的值．

（二）探究：（1）一个锐角的正弦值与边的长短无关，与锐角的大小有关；锐角越大，正弦值越大，反之亦然。

（2）下面我们来验证一下吧！

观察图中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系？ 分析：由图可知Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3， 所以有：

k AB C B AB C B AB C B ===3

3

3222111，即sinA=k 可见，在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦值与边的长短无关，而与∠A 的度数大

小有关。也即是对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的.

（三）例题教学：

【例1】在△ABC 中，∠C=90°． （1）若cosA=

12，则tanB=______;（•2）•若cosA=4

5

，则tanB=______． 例2、在△ABC 中，∠C 为直角。

（1）已知AC=3，AB=14，求sinA 的值． （2）已知sinB=5

4,求sinA 的值．

解：（1）如图，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得：()

531422

=-=

BC ，∴14

7014

5sin ==

=AB

BC A ；

(1)

B

4

319.3.2

A C

B

A

C

B

（2）∵sinB=5

4=AB AC ，故设

AC=4k ，则AB=5k,根据勾股定理可得：BC=3k ，所以：sinA=53

小结：①求正弦值或运用正弦值求线段时，要根据正弦的概念，找准相应的边，不能张冠李戴．②正弦值

只是一个比值，不能直接当作边长用。 锐角三角函数的定义和性质 【例3】（1）已知：cos α=

2

3

，则锐角α的取值范围是（ ） A ．0°<α<30° B ．

45°<α<60° C ．30°<α<45° D ．60°<α<90° （2）（2006年潜江市）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（ ） A ．tan θ>cos θ>sin θ B ．sin θ>cos θ>tan θ C ．tan θ>sin θ>cos θ D ．cot θ>sin θ>cos θ

【例4】（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC ∠的平分线，∠CAB=60°，•CD=3，BD=23，求AC ，AB 的长．

（2）（2005年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC ，•有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？

（3）某片绿地形状如图所示，其中AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∠A=60°，AB=200m ，CD=100m ，•求AD 、BC 的长．

【点评】设法补成含60°的直角三角形再求解． 三、巩固练习： 1．﹙2006海南﹚三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是 。 A ．4

3 B ．3

4 C ．5

3 D ．5

4

2．（2005厦门市）如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o

，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43

3．﹙2006黑龙江﹚ 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2

3，则边AC 的长是( )

A ．13

B ．3

C ．4

3

D ． 5

4．（2005年上海市）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ） A ．sinB=

23 B ．cosB=23 C ．tanB=23 D ．tanB=32

5．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）

α

C

B

A

A B

C

D A ．（

32，12） B ．（-32，12）C ．（-32，-12）D ．（-12，-3

2

） 6．﹙2006成都﹚如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。已知AC= 5 ，

BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ） A ．53

B ．23

C ．255

D ．52

7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．

则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．

8．（2005年沈阳市）在△ABC 中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC 的度数是______． 9．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________． 10．（2005年辽宁省）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____． 11．在△ABC 中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________． 12.在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（） A ．B ．

C ．

D ．

13. 在中，∠C ＝90°，如果那么的值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

15.如图：P 是∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则cos ＝_____________. 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正切值( )． A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 16.(1)如图(1), 在

中，

,

,

,求

的度

数.

17．在△ABC 中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD ⊥BC ，垂足为D ，AC=2cm ，求BC 的长．