椭圆曲线密码学

1 有关的基本概念
(1) 无穷远元素（无穷远点，无穷远直线） 平面上任意两相异直线的位置关系有相交和平行两种。 引入无穷远点，是两种不同关系统一。 L2 L1 B AB⊥L1， L2∥L1，直线AP由AB起绕A点依逆时针方向转 动，P为AP与L1的交点。 A
Q
P
P∞
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Q=∠BAP→ /2 AP → L2 可设想L1上有一点P∞，它为L2和L1的交点，称之为无穷远 点。 直线L1上的无穷远点只能有一个。 （因为过A点只能有一条平行于L1的直线L2，而两直线的 交点只能有一个。） 结论： 1*. 平面上一组相互平行的直线，有公共的无穷远点。 （为与无穷远点相区别，把原来平面上的点叫做平常点） 2* .平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。 原因：若否，则L1和L2有公共的无穷远点P∞，则过两相 异点A和P ∞有相异两直线，与公理相矛盾。
其中a1,b1不同时为0；a2,b2也不同时为0。 设 D= a1 b1 Dx= b1 c1 Dy= c1 a1 a2 b2 b2 c2 c2 a2 若D≠0，则两直线L1,L2相交于一平常点P(x,y)，其坐标为 x=Dx/D，y=Dy/D. 这组解可表为：x/Dx=y/Dy=1/D (约定：分母Dx，Dy有为0时，对应的分子也要为0） 上述表示可抽象为（Dx，Dy，D). 若 D=0，则L1∥L2，此时L1和L2交于一个无穷远点P∞。 这个点P∞可用过原点O且平行于L2的一条直线L来指出他 的方向，而这条直线L的方程就是：a2x+b2y=0.
为把平常点和无穷远点的坐标统一起来，把点的坐标用 （X，Y，Z)表示，X，Y，Z不能同时为0，且对平常点 （x，y)来说，有Z≠0，x=X/Z，y=Y/Z，于是有： X Y Z Z 1 i.e. Dx Dy D X / Dx = Y / Dy = Z / D， 有更好的坐标抽象，(X,Y,Z),这样对于无穷远点则有Z=0， 也成立。 注： a).若实数p≠0，则(pX,pY,pZ)与（X,Y,Z)表示同一个点。 实质上用（X:Y:Z)表示。3个分量中，只有两个是独立 的，具有这种特征的坐标就叫齐次坐标。
椭圆曲线密码学
• 椭圆曲线密码是研究基于某个域的椭圆曲线 上的密码。这个地方的椭圆曲线，不是我们 以前解析几何中的一般二次椭圆曲线，而是 由满足一些性质的曲线方程所确定的，可能 是大于二次的方程。 • 由于密码学的一些要求，我们一般只讨论一 些特定域的上的椭圆曲线。 • 在了解椭圆曲线密码的之前，先了解相关概 念。
b).设有欧氏直线L，它在平面直角坐标系Oxy上的方程为： ax+by+c=0 则L上任一平常点(x,y)的齐次坐标为(X,Y,Z)，Z≠0，代 入得： aX+bY+cZ=0 给L添加的无穷远点的坐标(X,Y,Z)应满足aX+bY=0， Z=0;平面上无穷远直线方程自然为：Z=0 !! (3)任意域上的椭圆曲线 K为域，K上的摄影平面P2(K)是一些等价类的集合 {(X:Y:Z)}。考虑下面的Weierstrass方程(次数为3的齐 次方程)： Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2z+a4XZ2+a6Z3 (其中系数ai∈K，或ai∈K为K的代数闭域）
3*. 全体无穷远点构成一条无穷远直线。 注：欧式平面添加上无穷远点和无穷远直线，自然构成射 影平面。 L1 L2 A P∞
(2) 齐次坐标 解析几何中引入坐标系，用代数的方法研究欧氏空 间。这样的坐标法也可推广至摄影平面上，建立摄影平面 坐标系。 平面上两相异直线L1,L2，其方程分别为： L1: a1x+b1y+c1=0 L2: a2x+b2y+c2=0
实域R上椭圆曲线的点的加法运算法则：
设L ∈ P2(R)为一条直线。因为E的方程是三次的， 所以L可与E在P2(R)恰有三个交点，记为P,Q,R（注意： 如果L与E相切，那么P,Q,R可以不是相异的）。按下述 方式定义E上运算： 设P,Q ∈ E，L为联接P,Q的直线（若P=Q，则L取 过P点的切线）；设R为L与E的另一个交点；再取连接 R与无穷远点的直线L′。则L′与E的另一个交点定义为P Q。
Weierstrass方程被称为光滑的或非奇异的是指对所有适合 以下方程的射影点P=(X:Y:Z) ∈ P2(K)来说， F(X,Y,Z)=Y2Z+a1XYZ+a3YZ2-X3-a2X2Z-a4XZ2-a6Z3=0 F , F , F 在P点的三个偏导数 之中至少有一个不为 X Y Z 0若否称这个方程为奇异的。 椭圆曲线E的定义： 椭圆曲线E是一个光滑的Weierstrass方程在P2(K)中的 全部解集合。 Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3 注： a) 在椭圆曲线E上恰有一个点，称之为无穷远点。即(0:1:0) 用θ表示。
b)
可用非齐次坐标的形式来表示椭圆曲线的Weierstrass 方程: 设 x=X/Z，y=Y/Z，于是原方程转化为： y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 (1) 此时，椭圆曲线E就是方程（1)在射影平面P2(K)上的 全部平常点解，外加一个无穷远点θ组成的集合。 c) 若a1,a2,a2,a4,a6∈K，此时椭圆曲线E被称为定义在K上， 用E/K表示。如果E能被限定在K上，比如K有理数— —有理点集合表示为E(K)，它为E中的全体有理坐标 点的集合外加无穷远点θ. (4)实域R上的椭圆曲线 设K=R，此时的椭圆曲线可表为平面上的通常曲线上 的点，外加无穷远点θ。
L
P Q R P=Q R
L
T PQ L′ (PQ) R=θ TT= θ (P=Q=R) PQ
L′
θ
θ
上页的实际图像为椭圆曲线y2=x3 - x的一般化。来自对具体曲 线的抽象。对运算更具体一些： 设 P=(x1,y1)，Q=(x2,y2)，PQ=(x3,y3), 由PQ的定义，设y=αx+β为通过P,Q两点直线L的方程，可算 出： α=( y2-y1 )/(x2-x1), β=y1-αx1 易见，直线L上的一个点（x, αx+β)是在椭圆曲线E上， 当且仅当(αx+β)2= x3 – x 。 PQ=(x1,y1) (x2,y2)=(x3,y3) =(x3,-(αx3+β)) 其中，x3= α2-x1-x2=((y2-y1) / (x2-x1) )2-x1-x2； y3=-y1+((y2-y1)/(x2-x1))(x1-x3) 当P=Q时： PQ=（x3，y3）算得： x3=((3x12-1)/2y1)2-2x1; y3= -y1+((3x12-1)/2y1)(x1-x3)