积分因子的求法及简单应用

积分因子的求法及简单应用

数学科学学院

摘 要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径，体现了积分因子的简单应用价值。 关键词：恰当微分方程；积分因子；对数公式；指数公式

1. 恰当微分方程的概念及判定

1.1 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程

(),dy

f x y dx =

写成微分形式

(),0

f x y dx dy -=

或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程

()(),,0

M x y dx N x y dy += ⑴

这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分. 即

()()(),,,u u

M x y dx N x y dy du x y dx dy x y ∂∂+==

+∂∂

则称方程⑴为恰当微分方程. []

1

1.2 恰当微分方程的判定

定理1

[]

2 假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具

有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒

有M N

y

x ∂∂=

∂∂. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.

2. 积分因子

如果对于方程⑴在某矩形域内M N

y

x ∂∂≠

∂∂，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得

()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴

的1个积分因子.

注[]

1 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.

定理2

[]

2 函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是

u u M N N

M u x y y x ⎛⎫

∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭

3. 积分因子求法举例

3.1 观察法

对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如:

⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1

xy

⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21

x -，21y ，1xy ，221x y +，22

1x y -

例1 找出微分方程()()110

xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子. 解 将原方程各项重新组合可以写成

()()0ydx xdy xy ydx xdy ++-=

由于1xy 是ydx xdy +的积分因子，1

xy 也是ydx xdy -的积分因子，从而原方程

有积分因子()

2

1

xy

.

观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出. 3.2 公式法

引理1[]

3 微分方程⑴存在形如：()u x ，()u y ，()u x y ±，()u xy ，()22

u x y ±，

y u x ⎛⎫

⎪

⎝⎭的积分因子的充要条件有：

① 方程⑴存在仅与x 有关的积分因子的充要条件：

()1M N x N y x ⎛⎫

∂∂ψ=

- ⎪

∂∂⎝⎭，()x ψ是仅与x 有关的函数；

② 方程⑴存在仅与y 有关的积分因子的充要条件：

()1M N y M y x ⎛⎫

∂∂ψ=-

- ⎪

∂∂⎝⎭，()y ψ是仅与y 有关的函数；

③ 方程⑴有形如

()

u x y ±的积分因子的充要条件：

()M N

y x

x y N M ∂∂-∂∂ψ+=

-，()x y ψ+是仅与x+y 有关的函数，

()M N y x

x y N M ∂∂-∂∂ψ-=

+，()x y ψ-是仅与x-y 有关的函数； ④ 方程⑴有形如

()

u xy 的积分因子的充要条件：

()M N y x

xy Ny Mx ∂∂-∂∂ψ=

-，()xy ψ是仅与xy 有关的函数； ⑤ 方程⑴有形如

()

22u x y ±的积分因子的充要条件：

()2222M N

y x

x y Nx My ∂∂-∂∂ψ+=-，()22x y ψ+是仅与22x y +有关的函数， ()2222M N

y x

x y Nx My ∂∂-∂∂ψ-=+，()22x y ψ-是仅与22x y -有关的函数； ⑥ 方程⑴有形如y u x ⎛⎫

⎪

⎝⎭的积分因子的充要条件：

211M N

y y x x Ny M

x x ∂∂-∂∂⎛⎫

ψ=-

⎪⎝⎭+，y x ⎛⎫ψ ⎪

⎝⎭是仅与y

x 有关的函数。

若方程⑴中的M(x,y)，N(x,y)以及M y ∂∂，N

x ∂∂的关系满足以上6个充要条件

之一时，则方程⑴的积分因子u(x,y)都可由一阶线性齐次微分方程

()

()ln ,d u x y z dz =ψ求得（其中()z ψ是z 的函数）.z 可以取x ，y ，x y ±，xy ，

2

2

x y ±，y x ，由此可得()()z dz u z e ψ⎰=.

我们将上述引理归结为求积分因子的公式法.

例2 求解微分方程

()()2

3

320

x y

y dx x y x dy ++-=的积分因子.

解 由于2

M N

y x ∂∂-=∂∂，()(),,2N x y y M x y x xy

-=-

观察可得：

()()1,,M N

y x

N x y y M x y x xy

∂∂-

∂∂=-

-是关于xy 的函数

故原方程有积分因子：()()

1

1

,d xy xy u x y e

xy -⎰==-

.

3.3 分组求积分因子法

定理3

[]

4 若u 为方程⑴的一个积分因子，且uMdx uNdy dv +=，则

()

u v Φ也