四川大学2010年高等代数考研试题整理版

3、设P(A)是满足f(A)=0的F上所有多项式f（x）组成的集合，证明：P(A)是 F上的无穷线性空间，并且如果g（x） ∈ P（A）的次数大于n，那么，g（x） 在F上是可约的。 4、设λ1 , λ2 , ⋯ λn是A的全部复特征值，证明：对任何非负整数k,数s k = ∑ λi k
i=1 n
属于F。 5、设V是F上的线性空间，ε1 , ε 2 ,⋯ , ε n 是V的一个基，设V上的一个线性变换A 满足A（ε1 , ε 2 , ⋯ , ε n）（ = ε1 , ε 2 ,⋯ , ε n）A且A 2 =A。证明：kerA+ImA是直和。 这里，kerA和ImA分别是A的核和像。
二、设A是数域F上n阶方阵，它的秩为r。 E 0 1、设E r 是r阶单位矩阵，写出“存在可逆矩阵P使得PA= r ”的一个充分 0 0 必要条件，并证明你的结论。 2、设α1，α 2， ⋯ , α n 是Fn的一个基，令（β1 ,β 2 , ⋯,β n）=(α1，α 2， ⋯ , α n )A,求 向量组β1 ,β 2 , ⋯,β n的秩并给出它的一个极大线性无关组。
3、设f(x)=|xE n − A | 是A的特征多项式，设f'(x)为f(x)的导数且f'(x)|f(x), 证明：A是数量矩阵。 4、设A的秩为r(A)=r,设V={x ∈ R n | x ' Ax = 0}, 证明V包含R n的子空间， V是R n的子空间吗？说明你的理由。 5、进一步假设A正定，而B是一个负定的n阶矩阵，证明：如果AC = CB， 那么必然有C=0.
四川大学 2010 年高等代数考研试题
一、A为实数域R上的n阶是对称矩阵。 1、证明矩阵 -1E n +A是可逆的，这里E n 是n阶单位矩阵。 2、设函数f：R n × R n → R为f（X,Y） =X'AY.X,Y ∈ R n。证明f不是零函数 当且仅当存在X 0 ∈ R n 使得f（X 0 ,X 0） ≠0
五、设V是n维欧式空间，其内积为（ ，），设向量组α1，α 2， ⋯ , α m ∈ V 满足如下 条件：如果非负实数λ1 , λ2 ,⋯ λm 使得λ1α1 +λ2α 2 +⋯ λmα m =0，那么必有：
来自百度文库λ1 =λ2 = ⋯ =λm =0.
实证：必然存在向量α ∈ V，使得（α，α i）>0,i=1,2...,m.
三、设AX=B是数域F上的一个n元线性方程组，其系数矩阵A的秩为r(A)=r, 设S是它的解集。 1、给出“S是F的子空间”的充分必要条件，并证明你的结论。 2、假设S不是空集且不是F n的子空间，求S的秩，并给出它的一个极大无关组。
2 -1 0 四、设A= -1 2 -1 ，设C(A)是所以与A可交换的实矩阵组成的集合。 0 -1 2 1、证明C(A)是实数域R上的线性空间。 2、求 dim R C(A)和它的一个基。