《工程电磁场》 (9)

用两个实数表示， 例如：正弦电压U U
标量场：标量在空间的分布。
例如 电位场： (r,t) (x, y, z,t)
高度场：H
H (r , t)
H (x,
y, z,t)
等值面（线），等位面（线） (r,t) C
0.1 标量场和矢量场
3. 矢量和矢量场 模
矢量：不仅具有大小，而且具有方向特征的量。
•
在矢量场中，若
F
J
0
,称之为旋度场(或旋涡
场)，
J
称为旋度源(或旋涡源)；
•
若矢量场处处
F
0
，称之为无旋场（保守场）。
旋度的计算公式
C 0
(CF ) C F
(F G) F G
(uF ) u F u F
(F G) G ( F ) F ( G)
Fz z
散度(divergence)
物理意义:
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
• 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
divF 0 这点有正源
divF 0
divF 0 连续场，无源场
这点有负源
散度和通量源
F
0
(无源）
F
0 (正源）
F
0(负源）
在矢量场中，若
F
0 ，称之为有源场，
旋度(curl)
在直角坐标系下
ex ey ez
F
x
y
z
Fx Fy Fz
旋度也可描述成单位面积上的环流量
旋度的物理意义
以“流速场”为例，利用一个小浆轮作为“旋度计”。 如图所示：
1. 流速均匀
流速场
2. 流速不均
rotF 0
rotF 0
旋度的物理意义
物理意义：
• 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。
H 0.4z1ey
例题与习题
解2：
H
ex
x
ey ez
y
z
z
(0.2z 2
)ey
0.4zey
0.2z 2 0 0
而 z z1
H 0.4z1ey
课后习题：
2.
已知
H
3zex
2x3ez，求沿着 P1(2,3,4) 到
P2 (4,3,4) 到
P3 (4,3,1)
到
P3
(2,3,1)
再到
P1
的矩形路径的闭合回路积分
H dl ；
作为 ( H) y
的近似，求闭路线积分与该闭路围成的面积
的商；计算该面积中心点的 ( H) y 。
斯托克斯旋度定理
由散度的定义：
F lim
S 0
F dl
l
S
en
有：
l
F
dl
(
F)
S
S
(
F)
dS
l F dl S ( F) dS
由斯托克斯定理，有：
S [ ()] dS l () dl
() el
l
而，l
() [
dl l
()]
()
dS
el
0
dl
而
dl 0
l l
S
是任取的，
S
() 0
0.5 亥姆霍茨定理
2. 场的分类
F
一般场
0
无旋场
0
无源场
0
调和场
0
F
0 0 0 0
F(r )
F
—— 斯托克斯旋度定理
意义：
在面积分与线积分之间，建立起了联系。
0 场论
0.1 标量场和矢量场 0.2 标量场的梯度 0.3 矢量场的散度 0.4 矢量场的旋度 0.5 亥姆霍茨定理 0.6 三种特殊的场 主要内容总结
0.5 亥姆霍茨定理
1. 矢量恒等式
() 0
( F ) 0
证明：在矢量场中，任取一有向曲面 S，做面积分，
• 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方 向，它指向函数的增加方向.
0.2 标量场的梯度
梯度的计算公式
C 0
(k ) k
(u v) u v (u v) uv vu (u ) 1 (vu uv)
v v2 f (g) f (g) g
0.2 标量场的梯度
l F dl l Fdlcos
dl dx ex dy ey dz ez
l Fxdx l Fydy l Fz dz
x2 x1
Fx
dx
y2 y1
Fy
dy
z2 z1
Fz
dz
定无关义，：则若称矢F量为场守F恒的场线（积或分保值守与场积）分。路径l 的形状
0.1 标量场和矢量场
通量的物理意义：
SF dS
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
图3 矢量场的通量
> 0 (有正源)
散度的概念和物理意义
如果包围点P的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时,
通量与体积之比的极限存在，即:
计算公式
divF
lim
V 0
1 V
F dS
S
divF
F
Fx x
Fy y
P(x, y, z)
R
r
r
R
R
P(x, y, z)
（2） ( 1 ) 。 R
0
y
x
其中，
x
exyey源自 zez0 场论0.1 标量场和矢量场 0.2 标量场的梯度 0.3 矢量场的散度 0.4 矢量场的旋度 0.5 亥姆霍茨定理 0.6 三种特殊的场 主要内容总结
0.3 矢量场的散度
例：设一标量函数 (r) (x, y, z) x2 y 2 z 描述了空间
标量场，试求：
(1) 该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方
向的单位矢量；
(2)
该函数沿单位矢量
el
c
os60
ex
cos45
ey
cos60
ez
方向的方向导数，并求得该方向导数在点P(1,1,1)处的
A B A Bcos
axbx ayby azbz
A B
ABsin
an
ex ax
ey ay
ez az
bx by bz
0.1 标量场和矢量场
（2） 积分运算
① 线积分:
F(x, y, z) Fxex Fyey Fzez
Fx (x, y, z)ex Fy (x, y, z)ey Fz (x, y, z)ez
S闭合时，有： F dS S
物理意义：通量表示通量源的强弱。 0：S 内有源
0：S 内有汇
0.1 标量场和矢量场
5. 矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
哈密顿算子
( x,
y,
z)
x
ex
y
ey
z
ez
F (x, y, z)
Fx
Fy
Fz
x y z
F (x, y, z)
任意矢量场可描述成无旋场和无源场之和，且无旋场 由该矢量场的散度决定，无源场由该矢量场的旋度决定。
0 场论
0.1 标量场和矢量场 0.2 标量场的梯度 0.3 矢量场的散度 0.4 矢量场的旋度 0.5 亥姆霍茨定理 0.6 三种特殊的场 主要内容总结
0.6 三种特殊的场
1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分 布都相同，即 F f (x, y) ，则称这个场为平行平面场。
2xy) ey
x2
y
ez
高斯散度定理
divF
lim
V 0
1 V
F dS
S
SF dS
通量Φ
div F
lim
d
V 0 V dV
Vdiv F dV 而 SF dS
SF dS Vdiv F dV —— 高斯散度定理
意义：
在三重积分与二重积分之间，建立起了联系
0 场论
值。
答案：
(1)
2ex
2ey
ez
(1,1,1)
eG
P
2 3
ex
2 3
ey
1 3
ez
(2) x 2 y 1 1 2 2 1.91 3
l
2 l P
2
P
0.2 标量场的梯度
课后习题：
如矢图量所R示的，模R，为R空 间0 中，源求点：
P与场点
z
P之间的距离，即
（1） ( 1 ) 和 ( 1 ) ；
4. 矢量运算
矢量：大小（模），方向（单位矢量）
（1） 代数运算
A axex ayey azez A eA
B bxex byey bzez B eB
加减运算：（平行四边形法则）
A B (ax bx )ex (ay by )ey (az bz )ez
乘法运算：（点乘，叉乘）
② 环量积分:
F(x, y, z) Fxex Fyey Fzez
F dl
l
l (Fx dx Fy dy Fz dz)
物理意义：环量表示漩涡源的强弱。
③ 通量积分:
dS dydzex dxdzey dxdyez
F dS
S
S
(
Fx
dydz
Fy
dxdz
Fz
dxdy)
0.1 标量场和矢量场 0.2 标量场的梯度 0.3 矢量场的散度 0.4 矢量场的旋度 0.5 亥姆霍茨定理 0.6 三种特殊的场 主要内容总结