高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数、平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形教案
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第二讲 三角恒等变换与解三角形
[考情分析]
三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.
年份
卷别 考查角度及命题位置 2017
Ⅰ卷
三角变换求值·T 15 正弦定理解三角形·T 11 Ⅲ卷 三角函数求值·T 4 正弦定理解三角形·T 15 2016
Ⅰ卷
利用余弦定理解三角形·T 4 Ⅱ卷 利用正弦定理解三角形·T 15 Ⅲ卷
三角恒等变换求值问题·T 6
解三角形·T 9
[真题自检]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4
D.π3
解析：因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0，
所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π
4
，由
正弦定理得sin C ＝c ·sin A
a ＝2×22
2＝12，又0 6 .故选B. 答案：B 2．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan θ＝－1 3 ，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45 解析：先利用二倍角公式展开，再进行“1”的代换， 转化为关于tan θ的关系式进行求解． ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2 θ1＋tan 2 θ，又∵tan θ＝－1 3，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45 . 答案：D 3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈(0，π2)，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos(α－π 4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×(255＋55)＝310 10. 答案：31010 三角恒等变换 [方法结论] 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2 θ＋cos 2 θ＝tan 45° 等； (2)项的分拆与角的配凑：如sin 2 α＋2cos 2 α＝(sin 2 α＋cos 2 α)＋cos 2 α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． [题组突破] 1．若tan α＝－ 22，且α是第四象限角，则cos 2 (α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22 cos 2 (α＋π)＝( ) A ．－ 2 3 B.23 C ．－13 D.13 解析：通解：因为α是第四象限角，tan α＝－ 22，故sin αcos α＝－22 ，由sin 2 α＋cos 2 α＝1 可得cos 2 α＝23，cos α＝63，sin α＝－33.cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2 (α＋π)＝sin 2 α＋sin αcos α＋22cos 2 α＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×63＋23＝13 ，故选D. 优解：因为α是第四象限角，tan α＝－ 22，故cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22 cos 2(α＋π)＝sin 2 α＋sin αcos α＋22 cos 2 α＝sin 2 α＋sin αcos α＋ 22 cos 2 αsin 2 α＋cos 2 α ＝ tan 2 α＋tan α＋ 22 tan 2 α＋1＝1232 ＝1 3，故选D. 答案：D 2．(2017·蚌埠模拟)已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2 α＋sin 2α＝________. 解析：由sin 2α－2＝2cos 2α得sin 2α＝2＋2cos 2α，即2sin αcos α＝4 cos 2 α，即cos α＝0或tan α＝2.当cos α＝0时，sin 2 α＋sin 2α＝1；当tan α＝2时，sin 2α＋sin 2α＝sin 2 α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2 α＋2tan αtan 2 α＋1＝85. 综上，sin 2 α＋sin 2α＝1或85. 答案：1或8 5 3．(2017·合肥检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1 tan α 的值． 解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π6＋α· sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12， 因为α∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.