第3章 弹性地基梁理论-PPT精选

第3章 弹性地基梁理论
概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁挠度曲线微分方程式
及其初参数解 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.1 概述
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地 基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路 枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。
弹性地基梁与普通梁的区别
普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基 梁是无穷多次超静定结构。
集中荷载作用下的特解项 a. 集中力Pi作用下的特解项
OA和AB段挠曲微分方程分别为：
d d4y 4 1 x44y10 d d4y '4 2 x44y20
y 1 y 0102 12- M 02 b2k 3- Q 0bk 4
集中力作用于地基梁
y2y1yP
d4yP dx'4
44yP
QA=0
y0
由
端
M0=-m Q0=-P1
MA=0 QA=P2
θ0 y0
M0=0
MA=0
θ0
简
y0=0
yA=0
Q0
支
端
M0=m1
MA=m2
θ0
y0=0
yA=0
Q0
θ0=0
θA=0
M0
固
y0=0
yA=0
Q0
定
端
θ0=0
θA=0
M0
y0=0
yA=0
Q0
弹
性
θ0=M0β0
固
y0=0
yA=0
M0
定
Q0
端
弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解
B 3 ( ss h a i c a n x c h x a ) o a B x 4 ( s s x c h a o c a x s h x a i )a n x ]
M 2 E 2 ( B 1 s Is h a i B a 2 n s x c h x a o B a 3 c x s s x h a i B 4 a n c x c h x a ) o
对应齐次微分方程的通解
令挠曲微分方程中 q(x)0，得到对应齐次微分方程： d4 y
EIdx4 ky0 通解为：
y e a A 1 x c x o A 2 sx s i e a n A 3 x c x o A 4 sx s i
利用双曲函数关系：ea xchs ah x ,ea a x xchs ah xax
弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
Y0 化简得：
dQkyq(x) dx
Hale Waihona Puke Baidu
MA0 省略二阶微量化简得：
Q dM dx
合并二式得：
d2M dx2 kyq(x)
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy dx
d
d2y
MEI d
EI xd
x2
dM
d3y
Q dxEIdx3
d4y 代入化简得到挠曲微分方程： EIdx4 kyq(x)
1
1
且令：A1 2(B1B2),A2 2(B2 B3)
1
1
A3 2(B1B2),A4 2(B2 B4)
得到另一通解：
y B 1 cc h a o B a 2 x c s s x h a i B a n 3 x sc x h a o B a 4 x s s s h a i
初参数解
初参数法
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y x0 y0 x0 0 M x0 M 0 Q x0 Q 0
得到积分常数：B 1 y 0
B2
1 2
0
1 4 3 EI
Q0
B3
1 2
0
1 4 3 EI
Q0
1 B 4 2 2 EI M 0
y B 1 ch ca o a B x s 2 x ch sa ia n B x 3 x sh ca a o B x x s 4 sh sa ia n x x
a [ B 1 ( ch sa ia n s x x h ca a o ) x B x s 2 ( ch ca o a s x s x h sa ia ) n x x
普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。
3.2 弹性地基梁的计算模型
局部弹性地基模型
温克尔假设： y
p k
把地基模拟为刚性 支座上一系列独立
的弹簧。
局部弹性地基模型
缺点：没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基
梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层， 下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。
Q 2 E 3 [ B 1 ( c Is h a i s n a x c h a x ) o B a 2 x ( c s c x h a o s a x s h s a x ) i
B 3 ( cc h a o s a x s h x a i ) a B n x 4 ( c x s h a i s a n x c h x a ) o a x
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分
方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等；
由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直；
地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
2 chaxsinax shaxcosax 3 shaxsinax 4 chaxsinax shaxcosax
d1 d
4
d 2 d
2
1
d 3 d
2
d 4 d
2
3
实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值
弹性地基梁 已知初参数 A端边界条件 待求初参数
自
M0=0
MA=0
θ0
Q0=0
弹性地基梁作用的初参数
其中： 4 kb
4 EI
用初参数表示的齐次微分方程的解：
y
y01
0
1
2
2
M0
2 2
bk
3
Q0
bk
4
y04
01
M0
2 3
bk
4
Q0
2 2
bk
3
M
y0
bk
2 2
3
0
bk
4 3
4
M 01
Q0
1
2
2
Q
y0
bk
2
2
0
bk
2 2
3
M 04
Q01
其中：1 chaxcosax
微分关系为：
半无限体弹性地基模型
假设
把地基看作一个均质、连续、弹 性的半无限体。
优点
反映了地基的连续整体性，同时从 几何上、物理上对地基进行了简化。
缺点
• 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质； 弹性地基梁的受力和变形 • 均质假设没有反映土壤的不均匀性； • 半无限体的假设没有反映地基的分层特点； • 数学处理上比较复杂。