初等几何研究综合测试题(二)
精品《初等几何研究》练习题
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是：。
3、第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是。
4、欧氏平行公理是：。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是。
10、解作图问题的常用方法有：、、、等。
11、数学公理系统的三个基本问题是性、性和性.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的，否则称A、B在a的 .13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了原理.15、罗氏平行公理是： .16、在罗氏几何中，共面的两条直线有种关系，它们分别是17、几何证明的通用方法一般有法、法、法、法、法、法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有的关系.19、尺规可作图的充要条件是 .20．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论.23．绝对几何包括有组公理，它们分别是 .24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 .26、．常用的几何变换有等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .28．请写出两条作图公法： .29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。
初等几何研究复习题
习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。
已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。
证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。
∵AD ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B=90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则 FE ′=21AB=AF=BF∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥AD ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD ∥BC ∴E ′F 与EF 共线∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC)∴E ′F = E F∴E ′与E 重合，证毕.习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。
知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。
解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。
∴BF 21AC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=21AB=BE21∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=21×10=5cm即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。
习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。
已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。
D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作DF ⊥ AC 延长线于F 。
求证：DE －DF 为常量。
证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。
初等几何研究
1. 证明等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为常数.已知：△ABC ， AB=AC ，D 是BC 上一点，DE ⊥AB, DF ⊥AC ，E,F 分别为垂足，BH ⊥AC ，求证：DE+DF=BH.证明：作DG ⊥BH, G 为垂足，则四边形GDFH 是矩形，则DF=GH .∵ AB=AC∴ ∠ABC = ∠ACB∵DG ⊥BH ， BH ⊥AC∴DG ∥CH∴ ∠GDB=∠ACB∴ ∠ABC=∠GDB又 ∵ ∠BED=∠BGD=90°，BD 是公共边∴ Rt △BED ≌ Rt △DGB∴ DE=BG∴ DE+DF = BG+GH即 DE+DF = BH ，证毕.2.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。
已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。
证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。
∵AD ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°∵∠1=∠2, ∠3=∠4,∴∠2+∠3=90°∴∠A E ′B=90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则FE ′=21AB=AF=BF ∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F∴∠1=∠2=∠A E ′F ,∴E ′F ∥AD ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD∥BC∴E ′F 与EF 共线∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC) ∴E ′F = E F∴E ′与E 重合，证毕.3.AB 是圆的直径，引弦AC 使∠BAC=30°，过点C 引切线交AB 的延长线于D ，求证：AC=CD证明：如图，连结CB∵AB 是⊙的直径∴∠ACB=90°∵CD为⊙O的切线，∠BAC=30°∴∠BCD=∠BAC=30°又∵∠CBD=∠BAC+∠ACB=30°+90°=120°∴在△BCD中∴∠D=180°-（∠CBD+∠BCD）=30°∴∠BAC=∠BDC即AC=CD4.设△ABC中BC边上的高为AD,直线AD交外接圆于E,H是垂心,证明HD=DE证明∴BM⊥AC，BD⊥AE∵∠AHM=∠BHD∴∠3=∠2又∵∠1=∠2∴∠1=∠3=∠2又∵∠BEH=∠BHE∴△BEH=△BHD∴HD=ED5. .两圆相交于两点A和B，在每一个圆中各作弦AC和AD，使切于另一圆。
初等几何研究习题解集123
初等几何研究习题解集
习题一（12页）
2.利用外角定理证明：
2.证明：同一直线两条直线不可能相交。
证：设a l ⊥,b l ⊥,1290∠=∠=︒若a b C =，对ABC 而言，由外角定理可知12∠<∠，这与12∠=∠相矛盾。
,a b 不能相交。
证毕.
4.证明：圆外切四边形一双对边之和等于另一双对边之和叙述并证明逆定理。
证：设四边形ABCD 外切于o 切点为E,F,G,H
AB+CD=AE+EB+CG+GD
=AH+BF+FC+HD =(AH+HD)+(BF+FC)=AD+BC。
证毕.
逆定理：若四边形一双对边之和等于另一双对边之和，则此四边形必有内切圆; 证：设四边形ABCD 中:AB+CD=BC+AD 我们总可以作圆O 切四边形ABCD 的三边AB,AD,DC,于
E,H,G :
若o 与BC 边不相切,过C 作o 的切线CF(F 为切点).交AB 与N 在四边形ANCD 中,由原定理有,AN+CD= +AD 由已知AB+CD=BC+AD 两式相减AB-AN= BC- BN A,B,N 在同一直线上 ∴BN=BC-NC
这与ABN 中BN>BC-NC 相矛盾,因此N 与B 必重合. 即BC 切o 于F 证毕. 21
l B A C b a
B A
N
A
习题二（18页）
1.证明：两院相交点不能在连心线同一侧;
证:若o与I的交点AB在连心线的同一侧,由于两圆关于轴I对称,那么点A关于I对称点N也是I与o德交点,这样相交圆有三个交点,其交点不能在连心线的同一
侧. 证毕.。
初等几何研究习题2(李长明版)
汕头职业技术学院初等几何研究习题课数学教育（师范类）1. I是△ABC的内心，AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E、F求证：EF⊥AD。
D AB C EFI 五、关于平行与垂直2. A、B、C、D在圆周上相继的四点，P、Q、R、S分别是弧AB、BC、、CD、DA的中点，求证：PR⊥QS。
ACBP QDRS3. 凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积，求证：ABCD是平行四边形。
A BDC4. 已知：△BCX 和△DAY 是□ABCD 外的等边三角形，E 、F 、G 、H 是YA 、AB 、XC 、CD 的中点。
求证：EFGH 是平行四边形。
ABXD C YE F GH5. 在△ABC的各边上向外作正方形BCDE、CAFG、ABHI，其中心依次为O1、O2、O3求证：AO1⊥O2O3。
AO1O2BCO36. 在正方形ABCD 内任取一点E ，连接AE 、BE ，在△ABE 外以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连NC 、AF 。
求证：NC∥AF 。
A BCD E MNFG7. 以□ABCD的对角线AC为一边的两侧各作一个正三角形ACP、ACQ。
求证：BPDQ是□。
ABPDCQ8. 已知：凸五边形的四条边平行于所对的对角线。
求证：第五边也平行于所对的对角线。
CA B DE9.在△ABC中，∠B≠90°，BC边的垂直平分线交AB于D，△ABC的外接圆在A、C两点之切线交于E.求证：DE∥BC.AD EB C10.P 是正方形ABCD 的边CD 上的一点,过D 作AP 的垂线分别交AP 、BC 于Q 、R ，O 是正方形的中心.求证:OP ⊥OR.ABCDOPR12. 给定正方形ABCD ，P 、Q 分别人为AB 、BC 上的点，满足BP=BQ ，自B 作BH ⊥PC 于H ，求证:∠DHQ=900.ABCDO PHQ13. 在△ABC中，AB=AC，O为外心，D为AB的中点，E是△ACD的重心。
初等几何研究试题
初等几何研究试题一、选择题 （5分⨯4=20分）1. 如图,CD EF AB ||||,已知20=AB ,,80=CD 100=BC 那么，EF 的值是____. A. 10, B.12, C.16, D.20第1题图 第2题图 2. 如图,在ABC ∆中,P 是AC 上的点,取BP 的中点Q ,连结CQ 并延长与AB 交于D ,则ABP S ∆与ACD S ∆的关系是_____.A. ABP ACD S S ∆∆<B. ABP ACD S S ∆∆=C. ABP ACD S S ∆∆>D. 不能确定.3. 如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，o A 45=∠，那么，FBCE AEF S S :=______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图 第4题图4. 如图，ABCD 是面积为1的正方形，PCB ∆是正三角形，PBD ∆的面积为_____.A.213- B. 8132- C. 43D. 413-二、填空题 （5分⨯4=20分）1．如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则BFD S =_____.第1题图 第2题图 2．如图,AB 是圆O 直径，4=AB ，弦3=BC ，ABC ∠的平分线交半圆于D ,BC AD ,的延长线交于E ,DCE ABCD S S :=______.3．已知圆O 是ABC ∆的外接圆，半径为r ,CO BO AO ,,分别交对边于F E D ,,, 则：CF BE AD 111++=______.(用r 表示)4．ABC ∆的三条高分别为c b a h h h ,,,又ABC ∆内任一点P 到三边距离分别为c b a p p p ,,，则=++c c b b a a h p h p h p ______.三、证明题(12分⨯5=60分)1. 在ABC ∆中，过点A 作直线BC l ||，B ∠的平分线交AC 于D ,交直线l 于E ,C ∠的平分线交AB 于F ,交直线l 于G ,且FG DE =,求证: ABC ∆是等腰三角形.2．M是以AB为直径的上不同于BA、的任一点，C是直径AB上的定点，过M作CM 垂直的直线交过处BD、,求证：A、的切线于E（1）ED,成等比数列；BM,EC（2）BEAD⋅是定值.3．三条中线把ABC∆分成6个三角形，若这6个三角开的内切圆中有4个相等，求ABC∆是正三角形.4．从等腰ABC ∆的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 为线段MH 的中点，求证：BP AH ⊥.5．已知： ABC ∆内接于圆O ，N M L ,,分别是弧AB CA BC ,,的中点，连结LM NM ,分别交BC AB ,于E D ,；I 是ABC ∆的内心，求证： (1)BC DE ||;(2)IE DI DE +=.。
初等几何研究综合测试题(三)
初等几何研究综合测试题(三)《初等几何研究》综合测试题（三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。
A.一定全等；B.一定不全等；C.可能全等，可能不全等；D.以上都不是。
2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图__________。
第3题图A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD 相交于点O，则图中面积相等的三角形共有___________。
A.1对；B.2对；C.3对；D.4对。
4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
5.如图，在V ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。
A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。
6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。
A.15cm；B.20cm；C.25cm；D.30cm。
7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.角的大小与边的长短有关。
（）2.一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。
（）3.两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角不相等。
初等几何研究第二版朱德祥朱维宗答案
初等几何研究第二版朱德祥朱维宗答案期中考试题1. P18 T5四边形有一双对角互补，则必为圆内接四边形2. P26 T3 两圆O与O’相交于点P，M是OO’的中点，过P任做直线交两圆与A及A’，Q是AA’的中点。
证明MP=MQ。
3. P27 T10 在中，证明BC边的中垂线和角A的平分线相交在外接圆周上;他们的,ABC交点距B、C两点，距内切圆心，距角A的旁切圆心都等远 4. P30 例4 蝴蝶定理5. 证明勾股定理(毕达哥拉斯)6. P39 T11 证明欧拉线7. P41 例3 三角形中，大边上的平分角线较小P18 T5四边形有一双对角互补，则必为圆内接四边形首先证?A+?C=180如图所示，连接DO, BO. 设优角BOD为θ?圆周角等于所对的圆心角的一半??C=1/2?BOD,同理，?A=1/2θ??A+?C=1/2*360=180，即两角互补。
同理可证?ABC+?ADC=180.所以对角互补。
T6 证明:等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。
S,S,S ,ABP,ACP,ABC111AB*PF--AC*PE=AC*CH AB=AC 222PF--PE=CH圆内接偶数边凸多边形相间诸角之和等于其余各角之和 Tp5226、从圆上一点到其内接四边形一双对边的距离之积，等于从该点到两条对角线的距离之积设圆内接四边形ABCD，P是其外接圆上任一点，过P分别作对角线AC,BD;边,BC,,DA的垂线，垂足依次为E,F;G,H,。
根据简单几何定理:三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积R中 PA*PC=R*PE (1) ,PAC,PDB,PD*PB=R*PF (2),PAD PA*PD=R*PG (3)PB*PC=R*PH (4) ,PBC(1)*(2)=(3)*(4)=所以得证P27 T9 在三角形ABC中，分别以AB和AC为一边向外做等边三角形ABD和ACE，求证CD=BEAE=AC,AB=AD, ？，DAB,，EAC ？，DAC,，EAB ？,AEB,,ACD ？CD,BEP31 4.四边形ABCD中，设AD=BC。
(整理)初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。
2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。
3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。
4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。
7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。
14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。
24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC). 3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。
4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
初等几何研究综合测试题(十四)
《初等几何研究》综合测试题（十四）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.等腰三角形的两条边的长为___________。
A.B. ；C.D.或 2.等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分之差为3cm ，则腰长为__________。
A.2cm ；B.8cm ；C.2cm 或8cm ；D.以上结论都不对。
3.下列四组图形中，是相似形的一组是_________。
A.各有一个角是30°的两个等腰三角形；B.底角为40°的两个等腰三角形；C.各有一个角是120°的两个等腰三角形；D.邻边之比都等于2的两个平行四边形。
4.三条线段长度分别是3，4，6，则以此三条线段为边___________。
A.能构成锐角三角形；B.能构成钝角三角形；C.能构成直角三角形；D.不能构成三角形。
5.扇形的面积为S ，弧长为l ，则扇形中心角的度数为________。
A.2180()l S π ；B. 2180()S l π ；C. 290()l Sπ；D. 290()S l π 。
6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。
A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；C.圆的切线垂直于过切点的半径；D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7下列图形中，轴对称图形有__________。
①角 ② 三角形 ③ 圆 ④线段 ⑤正方形 ⑥扇形 ⑦平行四边形 ⑧等腰梯形 A.3个；B.4个；C.5个；D.6个。
8.如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。
A.在AC 、BC 两边高线的交点处； B.在AC 、BC 两边中线的交点处；C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处；D.在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处。
初等几何研究试题答案(2)李长明版
初等几何研究试题答案（II ）二、关于和、差、倍、分线段（角）1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明：BD+AD=BC 。
D 'BCA4321证：在BC 上取点D ,,使BD ,=BD,连结DD ,0100A ∠=且BD 平分∠ABC00120,40C ∴∠=∠=又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠0240∴∠=即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴=又03180A ∠+∠=∴点A 、D 、D ，、B 四点共圆且14∠=∠∴DD,=ADBC=BD,+CD ,=BD+AD已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得FO=2EO.连结BO 、DO 。
由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED,∵∠FBO+∠BOF=90º ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90º ∴∠BOD=90º △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45º ∴∠DBP+∠QBO=45º ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45º ∵△DQC 为等腰直角三角形∴有∠DQC=45º 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQCP QAB CF EO P D3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ´、B ´、C ´和D ´. 求证：A ´B ´+C ´D ´=B ´C ´+D ´A ´证明：（方法一）∵X 、A ´、A 、D ´四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ´D ´=∠XAD ´又∵∠XAD ´=∠XBC(圆周角）同理∠XA ´B ´=∠XBC,即∠XA ´D ´=∠XA ´B ´ 同理可得∠XB ´A ´=∠XB ´C ´,∠XC ´B ´=∠XC ´D ´, ∠XD ´C ´=∠XD ´A ´∴X 是四边形A ´B ´C ´D ´的内心。
初等几何研究试卷2
第 1 页 （共 2 页）2一、填空题（本大题共7题，每空3分，共24分）1、等边ABC ∆外接圆周上一点P 与三顶点的连线中PA 最长，则PA 、PB 、PC 之间的关系是 。
2、ABC ∆中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，则BC 边上的中线AM 长为 。
3、ABC ∆中，AB ＝AC ，E 、D 分别是AB 、AC 上的点，且BC ＝BD ＝EA ＝ED ，则A ∠的度数是 。
4、等腰梯形ABCD 中，AD CB ，5AB DC ==，:1:2AD BC =，中位线9EF =，则这个等腰梯形的高是 ，面积是 。
5、已知AT 是圆O 的切线，ABC 是割线，OD AC ⊥，并且12AT =，36AC =，2OD =，则半径OC = 。
6、四边形ABCD 中，4AB BC ==，60B ∠=，7CD =，则AD 的取值范围是 。
7、到两定点A 、B 的距离的平方差为常量K 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，垂足为N ，则AN ＝ 。
二、计算题（本大题共2题，每小题8分，共16分）1、梯形ABCD 的下底AB 在平面α上，上底高出平面40cm ，已知AB ：DC=5：3，求两对角线交点到平面α的距离.2、AB 与圆O 相切于A ，D 点在圆O 内，DB 与圆O 相交于C ，若3BC DC ==，2OD =，6AB =，求圆O 的半径.三、证明题（本大题共5题，第1小题6分，第2、3、4小题每题10分,第5小题12分,共48分）1、已知F 是P ∠的平分线上一点，过F 任作两直线AD 、BC 分别交P ∠的一边于A 、C ， 交另一边于B 、D ，求证：AC BD =PA PCPB PD∙∙.（6分）第 2 页 （共 2 页）2、证明：设两个直角三角形斜边相等而一锐角不等，则不等角所对的边也不等，大角的对边较大.（10分）3、以正方形ABCD 的边CD 为底向形内作等腰ECD ∆，使其两底角为015，证明：EAB ∆是等边三角形.（10分）4、已知圆内接正六边形ABCDEF ，M 、K 分别是CD 与DE 的中点，AM 与BK 交于G 点，证明：ABG ∆的面积等于四边形GKDM 的面积，并求直线AM 与BK 的夹角.（10分）5、证明：定圆内定长的弦的中点的轨迹是定圆的一个同心圆.（12分）四、作图题（本大题共1题，12分）1、已知两线段的和与积，求作这两线段.。
初等几何研究模拟卷2答案
华东师大网络学院考卷《初等几何研究》模拟考卷2答案课程名称：__初等几何研究_______ 学生姓名：___________________ 学号：___________________ 专业：___________________…………………………………………………………………………………………一、（10分）叙述非欧几何的Poincare上半平面模型,并说明在Poincare上半平面模型中欧氏几何的平行公理不成立。
答:见讲义第一章第三节Poincare上半平面模型的介绍.,,,,,,,1X Y Z ABC BC CA AB X Y ZBX CY AZXC YA ZB=-二.(10分)设是三边或其延长线上的点求证三点共线的充分必要条件是B(),,,,//,,,, 1.X Y Z C CD XYZ AB DBX BZ CY DZXC ZD YA ZABX CY AZ BZ DZ AZXC YA ZB ZD ZA ZB⇒====-证明必要性如左图设共线过作交于则所以111111,(), 1, 1, ,,,,.Z Y BC X BX CY AZ BX CY AZX C YA ZB XC YA ZBBX BX X X X X Y Z X C XC⇐=-=-= 充分性 ()(同一法):如右图,连接并延长交或其延长线于由已证的必要性可知又由已知故所以和重合由点的唯一性可知共线() (10) ,,,,,,,,,:1(1);21(2).2ABC O A O X Y X XE AB XF AC Y YM AB YN AC BXE CXF B C YBC YCB B C ∠⊥⊥⊥⊥∠=∠=∠-∠∠=∠=∠+∠ 三分如图所示已知内接于的内外角平分线分别交于过作过作求证证明:见讲义第二章第二节例8.2.(10) (),.O R S S R π=四分设圆的面积为则 12121212222 , ()..., (), .2 ,12 sin 21212lim lim sin lim 22 n n n n n n n n O R n A A A S O R S S S AOA OA OA R AOA nS n R n S S n R n R n n ππππ→∞→∞→∞<==∠=⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明如图所示设圆内接正边形的面积为圆的面积为则在中,2R π=P.(10) ,,,,,.A B a b αα五分某人在海岸上望见海中两浮标在一条直线上并与海岸线成一角度当沿海岸向前走一距离以及再向前走一距离时对两浮标张成的视角都为沿海岸为一直线,海水高度不变,试求两浮标间的距离.,,,,, ()() (1) A B D C AB x PA y y y x a a b BCD BAD BPD PDA ==+=+∠=∠=∠+∠ 解 题设四点共圆.(如图)设,则由割线定理,得22 , (2)PDA BDCBC BD BC BD α=+∠=∠∴==222222, ()2()cos (3),, ()()2()()cos (4)(3)(4)PBC BC x y a a x y PBD BD x y a b x y a b αα=++-+=+++-++ 在中由余弦定理,得在中由余弦定理得把和同时代(2),2 (5)2cos (5)(1),2()cos =2a bx y a a b y a bαα++=++入整理得代入得(6)(6)(5),2()cos ()ec 22b a a b x a s a b αα+=+-+代入可得两浮标间距离F(10) ,,,',',',,,,',','ABC BC CA AB D D E E F F AD BF CF AD BE CF 六分一圆交的各边或其延长线于两点假设直线上的交点各是与与与若三线共点则三线共点或相互平行.证明:见讲义第二章第三节例12..(10),,,,,1,2ABC AB AC ABDE ACFG AH BC H HA EG P EP PG AP BC⊥== 七分在的边上，各向形外作正方形又作于的延长线交于求证：且90' ',' ','180.'90, ABC A AC E EC BC AC AC AGC ACB C AG C ACB CAH GAP ===∠=∠∠=∠=∠=-∠=∠证明 如图，把绕点按顺时针方向旋转，落于位置，则有 //' .11''22AP C EEP PG AP GC E AP EC BC∴== 从而故知为的中位线，有=八(15分) 两个位似变换的乘积, 是一个位似变换或是一个平移.111222(,)(,),H O k H O k 设两个位似变换是和可分以下三种情况讨论:12222111312(1) (,)(,)(,).O O OH O k H O k H O k k = 当和是同一点1212222111212(2)1,(,)(,),(1-);O O k k H O k H O k k O O =当和是不同一点,且时则是一个平移其平移向量是 121222211112121221221(3)1,(,)(,),,,1:.(1)O O k k H O k H O k k k O O O O O O k O O OO k k ≠-=- 当和是不同一点,且时则是一个位似变换位似比是位似中心在线段上且点分线段的比为证明:见第四章第三节位似变换的性质6.九、（15分） 用实数模型证明欧氏平行公理 对于任何直线a 和不在其上的任何点A ，至多有一条直线过A ，而且与直线a 共面，但不相交。
初等几何研究期末试题及答案
初等几何研究期末试题及答案第一题：已知四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，∠ABC = 90°，角ADC的度数为60°。
求四边形ABCD的面积。
解析：由题意可知，四边形ABCD为一个平行四边形，且∠ABC = 90°，∠ADC = 60°。
首先，我们可以使用正弦定理求得∠BAC的度数。
根据正弦定理可以得到：sin∠BAC/AB = sin∠ABC/ACsin∠BAC/6 = sin90°/ACsin∠BAC/6 = 1/ACAC = 6/sin∠BAC接下来，我们可以使用余弦定理求得AC的长度。
根据余弦定理可以得到：AC² = AB² + BC² - 2AB·BC·cos∠ABCAC² = 6² + 8² - 2·6·8·cos90°AC² = 100AC = √100AC = 10再次，我们可以使用正弦定理求得AD的长度。
根据正弦定理可以得到：sin∠ADC/AC = sin∠CAD/ADsin60°/10 = sin∠CAD/AD√3/10 = sin∠CAD/ADAD = 10sin∠CAD/√3最后，我们可以计算四边形ABCD的面积。
四边形ABCD可以分成两个三角形，即△ABC和△ACD。
面积公式为：四边形ABCD的面积 = △ABC的面积 + △ACD的面积= (1/2)·AB·AC + (1/2)·AC·AD= (1/2)·6·10 + (1/2)·10·10sin∠CAD/√3= 30 + 50sin∠CAD/√3综上所述，四边形ABCD的面积为30 + 50sin∠CAD/√3。
第二题：已知直角三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 5cm，AC = 12cm。
初等几何研究综合测试题(三)
（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好一些？ 说说你的看法和理由。
10cm
30cm
40cm
30cm (a)
(c) (b)
附：参考答案
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
1.一个角比它的余角大 20°，则这个角的余角的
补角的度数是__________.
2.如图，若⊿ABE、⊿BDE、⊿ACD 的面积分
别为 6、9、10，
则⊿ACE 的面积是_________.
3.如图，⊿OCA≌⊿OBD，C 和 B、AC和 D 是 B
对应点，
O
这 两 个 三 角 形 中 相 A 等 的A 边 D 是
E
第3题图
________________________。
相等的角是______________B___D__。C
第2题图
4.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，
那么这个等腰三角形的顶角等于__________.
四、计算题（本题 8 分）
二、 判断题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
1.角的大小与边的长短有关。（ ） 2.一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。 （） 3.两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错 角不相等。（ ） 4.两直线被第三条直线所截，内错角相等，则同
旁内角一定互补。（ ） 5.平面上 4 条直线必定有 6 个交点。（ ）
初等几何研究综合测试题(三)
《初等几何研究》综合测试题（三）
初等几何研究综合测试题(二)
《初等几何研究》综合测试题（二）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24 分）1. 如图，/ 仁/2, / 3=/ 4, EC=AD 证明i ABD^i EBC 时，应用的方法是 A. AAS ; B.SAS; C.SSS ; D.定义。
2. 已知：三角形的两边长为 2和7,第三边的数值是奇数，那么这个三角形的周长是 _________A.14 ;B.15 ;C.16 ;D.17.3. 判定四边形是正方形的条件是 _________ - O A.对角线相等；B.对角线相等且互相垂直； C.对角线互相垂直平分；D.对角线相等且互相垂直平分。
A. 14 ; B.7; C.21 ; D.10.5.在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有OA.1 种；B.2 种；C.3 种；D.4 种。
6. 圆的弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是 __________ A.30 ° ； B.60 ° ； C.150 ° ； D.30。
或 150 ° .7. 在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C. 互相平行（或在同一条直线上）且相等；D. 以上都不对。
8. 下列关于平移的说法中正确的是 _____________ OA. 以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向;B. 平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C. 原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；D. 以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.互补两角有一条公共边，则这两个角的平分线所组成的角一定是直角。
（）2. 有一边对应相等的两个等腰直角三角形全等。
3. 任意两个等腰三角形都相似。
（4. 同角的余角都相等。
初等几何研究综合测试题(一)
《初等几何研究》综合测试题（一）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.在 ABC 中，AB=AC ，高BF 、CE 交于高AD 上一点O ，图中全等三角形的对数是_____。
A.4；B.5；C.6；D.7.2.已知：如图， ABC 中，∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D, 若AB=2，BC=3，则DC 的长度是________。
A.83； B.23； C.43； D.53。
3.下面4个图形中，不是轴对称图形的是_________。
A.有两个内角相等的三角形；B.有一个内角是45°的直角三角形；C.有一个内角是30°的直角三角形；D.有一个内角是30°，一个内角是120°的三角形。
4.下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是_________。
A.一组对边平行，另一组对边相等；B.两组对边分别平行；C.对角线互相平分；D.一组对边平行且相等。
5.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是_________。
A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。
6.下列语句正确的是________。
A.圆可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集合。
B.圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。
C.圆的一部分叫做弧。
D.能够互相重合的弧叫做等弧。
7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
二、 判断题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.如图1，直线a ，b ，c 在同一平面内，a//b ，a 与c 相交于P ，则b 与c 也一定相交。
初等几何专题研究(1～7)
一、线段与角的相等 1． ⊙O1、⊙O2 相交于 A、B，⊙O1 的弦 BC 交⊙O2 于 E，⊙O2 的弦 BD 交⊙O1 于 F， 求证: （1）若∠DBA=∠CBA，则 DF=CE； (2) 若 DF=CE，则∠DBA=∠CBA． 证明:(1)连接 AC、AE、AF、AD 在⊙O1 中，由∠CBA=∠DBA 得 AC=AF 在⊙O2 中，由∠CBA=∠DBA 得 AE=AD 由 A、C、B、E 四点共圆得∠1=∠2 由 A、D、B、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AF ∴DF=CE ∵DF=CE
D
3
E
O
I B
F
G H C
CD OC OD BC OB OC OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG
2DC 2BC
2DF 2CF 2BH 2CH
DC BC
∴四边形为菱形
9.
凸四边形被对角线分成 4 个三角形，皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形 ．
F H G r O J D C L E K r A
1 1 1 1 1 1 即: BF×r+ FO×r+ BO×r= CE×r+ OE×r+ OC×r 2 2 2 2 2 2
I B
1 1 (BF+FO+BO)×r= (CE+OE+OC)×r 2 2
BF+FO+BO=CCE+OE+OC ∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ 又 F、E 分别为 AB、AC 之中点 ∴AB=AC
(2)由（1）得∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△ACE≌△AFD ∴AD=AE
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附：参考答案
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1A；2C；3D；4B；5B；6D；7C；8A. 二、判断题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1 ×；2 √ ；3×；4 √；5 √. 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16
分） 1. 30 ° ; 2. 1 3. ∠ AOC 与 ∠ BOD 。 4.（4 1 . 2)(cm) 四、计算题（8 分）
过点 B 作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2 于点 D， E，DE 与 AC 相交于点 P.
（1）求证:AD∥EC; （2）若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9, 求 AD 的长;
O1 D
A O2
BP E C
2. 已知：AB//CD，AM 平分∠BAC，MC 平分∠ ACD，求证： AMMC
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
1．如果一个角的补角与余角的和，比它的补角
与余角的差大 60°，则这个角的余角的度数是
_______.
2.P 为⊿ABC 内任一点，三边 a，b，c 的高分别
为 ha 、 hb 、 hc ，且 P 到 a，b，c，的距离分别为ta 、
tb
、tc 。则
初等几何研究综合测试题(二)
《初等几何研究》综合测试题（二）
适用专业：数学教育专业 考试时间：120 分钟
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，证明 V ABDD
≌V EBC 时，应用的方法是_______。 E
3
C
4
2
A. AAS；B.SAS； C.SSS；D.定义。
4.有一个多边形的内角和是外角和的2 1 倍，则边 2
数是__________。
A.14；B.7；C.21；D.10.
5.在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形
中是轴对称图形，又是中心对称图形的有
__________。
A.1 种；B.2 种；C.3 种；D.4 种。
6.圆的弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆 周角的度数是__________。 A.30°；B.60°；C.150°；D.30°或 150°. 7.在平移过程中，对应线段 A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等； C.互相平行（或在同一条直线上）且相等； D.以上都不对。 8.下列关于平移的说法中正确的是___________。 A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点 的射线的方向是平移的方向； B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长 是平移的距离； C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距 离； D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方 向。
四计算题（本题共 8 分）
设 ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E，F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DE⊥DF，
若 BE=12，CF=5，求：线段 EF 的长？
五、证明题（本题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
1. 如图所示，已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A，B 两 点，过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C，
3. 已 知 ： 如 图 在 ABC 中 ， AB=AC 。 延 长 AB 到 D ， 使 BD=AB，取 AB 的中点 E，连结 CD 和 CE 求证：CD=2CE
六．探究题（本题 15 分）
现有四块直角边为 a，b，斜边为 c 的直角三角 形的纸板，请从中取出若干块拼图（需画出所拼 的图形）证明勾股定理。
连结 AD，则在 ADE 和 CDF 中，
ADE ADF 90 ，CDF ADF 90 ADE CDF，又DAE DCF 45
AD=CD， ADE CDF AE CF 5 又 AF+FC=AC=AB=AE+BE=5+12=17
AF AC FC 17 5 12 在RtEAF中, EF AE 2 AF 2 13即 EF 的长为来自13五、证明题（27 分）
１．如图所示，已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A，B 两点，过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C，
过点 B 作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2 于点 D， E，DE 与 AC 相交于点 P.
（1）求证:AD∥EC;
（求（BA21AC））D=若证∠的明AD长：D，连;是接⊙AOB2 ，的∵切A线C,且是⊙PAO=1D6的,P切CO=线1 2,，B∴DBA=∠9OPC,2
1
A
B
第1题图
2.已知：三角形的两边长为 2 和 7，第三边的数
值是奇数，那么
这个三角形的周长是__________。
A.14；B.15；C.16；D.17.
3.判定四边形是正方形的条件是________-。
A.对角线相等；B.对角线相等且互相垂直；C.对
角线互相垂直平分；
D．对角线相等且互相垂直平分。
ta ha
tb hb
tc hc
=
______.
C B
3.如图，⊿AOC≌⊿BOD，∠A 和∠B，∠CO 和∠
D 是对应角，
A
D
第3题图
对应边是 CO 与 DO；AO 与 BO；另一组对应角
是_____________。
4．如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长
4cm，那么
斜边长等于________________.
E
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E。∴AD∥EC
二、判断题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
1.互补两角有一条公共边，则这两个角的平分线
所组成的角一定是直角。（ ）
2.有一边对应相等的两个等腰直角三角形全等。
（）
3.任意两个等腰三角形都相似。（
）
4.同角的余角都相等。（）
5.一个角的补角减去这个角余角的 2 倍，大小仍
等于原角。（）
设 ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是 斜边 BC 的中点，E，F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DE⊥DF，若 BE=12， CF=5，求：线段 EF 的长？
分析：这是一道几何中的计算 题 要 求 EF 的 长 ， 首 先 发 现 它 在 Rt 它 在 RtEAF 中，这时利用勾股定理可求出，连结 AD 后可证 ADE CDF 解；