有关航班调度问题的分析

六、模型的评价及推广
优点：（1）采用较为成熟的数学理论建立数学规划模型，可信度比较高。 （2）模型二在模型一的基础上进行了推广，推广到任意时间窗口，通用 性较强，解决了时间窗口重叠问题。 （3）模型的计算采用专业数学软件，可信度较高，便于推广。 （4）对于航班调度的研究成果可以推广到其他类似领域，如汽车的调度、 火车的调度、公汽的调度等。 缺点：（1）模型一没有考虑窗口重叠问题所产生的额外费用，不同通用。 （2）模型二虽然进行了推广，但理想化，没有考虑更多偶然因素。
二、问题的分析
对于问题一， 不难找出它的目标函数就是实际航班到达时间和目标实际时间差 值的绝对值与每一个惩罚值做乘积之和， 而它的线性约束就是最早到达和最晚到 达时间向量， 非线性约束便是实际的两个相邻航班降落需要满足对应的降落时间 间隔。建立好模型之后，可用lingo求解，算出最小的惩罚值。 对于问题二，由于所有时间窗口都有部分重叠，要推广到任意时间窗口，确定 任意时间窗口中的目标时间， 就要找到最早到达和最晚到达时间窗口与目标时间 之间的关系，这里可以用lingo求解，接着建立同问题一一样的模型，求出最小的 惩罚值。
i =1 10
即目标函数为 min R =
å ( Xi - ei
i =1
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10
又因为决策变量要满足上 ci )(i = 1 : 2...10) 。
限航班最早到达时间，下限为航班最晚到达时间，即其中的一个约束条件为
mi £ x i £ ni (i = 1 : 2...10) ；同时任意相邻航班之间还有满足一定的时间间隔，
ci :第i个航班的惩罚值
y :任意时间窗口的目标时间
ei :第i个航班的目标时间 x1 :任意时间窗口的最早到达时间 x 2 :任意时间窗口的最晚到达时间
d ( i, j ) :第i个航班和第j个航班降落的时间间隔
五、模型的建立与求解
（1） 问题一 模型——非线性规划模型 对于问题一，要使惩罚值最小，总的惩罚值为 å ( Xi - ei ci )(i = 1 : 2...10) ，
参考文献
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（1） 张德丰，MATLAB 数值计算方法，北京：机械工业出版社，2010.1
程序附录
model: sets: col1/1..10/:x,e,c,m,n; link(col1,col1):d; endsets data: m=129 195 89 96 110 120 124 126 135 160; n=559 744 510 521 555 576 577 573 591 657; e=155 258 98 106 123 135 138 140 150 180; c=10 10 30 30 30 30 30 30 30 30; d=0 3 15 15 15 15 15 15 15 15 3 0 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 0 8 8 8 8 8 8 8 15 15 8 0 8 8 8 8 8 8 15 15 8 8 0 8 8 8 8 8 15 15 8 8 8 0 8 8 8 8 15 15 8 8 8 8 0 8 8 8 15 15 8 8 8 8 8 0 8 8 15 15 8 8 8 8 8 8 0 8 15 15 8 8 8 8 8 8 8 0; enddata min=@sum(col1:@abs(x-e)*c); @for(col1:@bnd(m,x,n)); @for(link(i,j)|i#ne#j:@abs(x(i)-x(j))>=d(i,j)); end
5.1 结果分析 用 matlab 求解，得到航班降落的时间表 2 如下 表 2 航班降落时间表
航班编号 降落时间 1 165 2 258 3 98 4 106 5 118 6 126 7 134 8 142
单位：分钟
9 150 10 180
根据表中的数据可知航班 1 到航班 10 的降落时间分别为 165,258,98,106,118， 126,134,142,150,180。这与公布的目标时间相差不大，可使总惩罚值最小为 700。 （2） 问题二，用二元一次拟合得到任意时间窗口的目标时间 即 y = -76.7138 + 1.1660x1 + 0.1284x2 对于任意的时间窗口建立模型二 对于任意给定的 x1、x 2 都有确定的 y,虽然问题二进行了推广， 但本质问题还是 和问题一相同，因此建立同一样的模型，目标函数为
综上所述：
10
min R =
å ( Xi - y ci )(i = 1 : 2...10)
i =1
ì ï mi £ x i £ ni (i = 1 : 2...10) ï ï ï s.t. í ï ï ï x - x i = d (i, j )(i = 1 : 2...10, j = 1 : 2...10, i ¹ j ) ï î j 在任意时间窗口都有一个对应得目标时间， 根据实际情况可以计算出最小的惩罚 值，模型二解决了在窗口有重叠的情况下由于目标时间不准带来的额外费用。
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即另一个约束条件为 x j - x i = d (i, j )(i = 1 : 2...10, j = 1 : 2...10, i ¹ j ) ； 综上所述:
min R =
å ( xi - ei
i =1
10
ci ), i = 1 : 2 10.
ì ï ï m £ x £ n , i = 1 : 2 10. ï i i ï ï i s.t. í ï ï ï x - x = d (i, j ), i = 1 : 2...10, j = 1 : 2 10, i ¹ j . ï ï i ï î j
10
min R =
å ( Xi - y ci )(i = 1 : 2...10)
i =1
决策变量依然还要满足最早到达时间和最晚到达时间：
4
mi £ x i £ ni (i = 1 : 2...10)
满足任意相邻航班的时间间隔：
x j - x i = d (i, j )(i = 1 : 2...10, j = 1 : 2...10, i ¹ j )
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关键词：航班降落 非线性 二元一次拟合
1
一、问题的提出
某飞机场有十个航班需要降落。 每个航班都有一个最早到达时间和最晚到达 时间到达指定的区域等待降落。在每个时间窗口内，航空公司需要选择一个目标 时间，并将它作为航班到达时间公布出去。如果比此目标时间迟到或早到，则可 能会引起机场秩序混乱并带来额外的费用支出。为将这些费用计入考虑，并方便 进行比对，每个航班都定义了早到每分钟的惩罚和晚到每分钟的惩罚。表1 列出 了每个航班的时间窗口（从当天零时起以分钟数计）和惩罚值（表1见附录1）。 （1）应采取何种降落调度方案才能够使总惩罚最小，同时航班又都在指定的时 间窗口中降落，并且满足两个航班降落之间的时间间隔？ (2) 由上述数据可知，任意两个航班降落的时间窗口都有部分重叠，推广到任意 类型的时间窗口的情形。
三、基本假设
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（1） 每个航班在最早至最晚时间段之间到达。 （2） 每个航班的降落都遵循先来先降落原则。 （3） 机场只有一个跑道供十个航班降落。 （4） 几个航班都在等待中不会产生其他费用。
四、变量说明
R ：总的惩罚值
x i ：第i个航班实际到达时间 mi ：第i个航班最早到达时间 ni ：第i个航班最晚到达时间
航班降落调度问题
摘要：
某飞机场有十个航班需降落，每个航班都有用于公布的目标时间。由于受到 其他因素的影响，每个航班都可能晚到或早到，而航班的延迟或提前都会引起机 场次序的混乱，产生额外的费用，因此需要建立实际航班到达时间和目标时间的 差值的绝对值与惩罚值之间的关系。 对于问题一，由于目标函数建立的是实际航班到达时间和目标时间的差值的 绝对值与惩罚值之间的关系，同时还存在着非线性约束，因此需要建立实际航班 到达时间和目标时间的差值的绝对值与惩罚值之间的非线性模型用 lingo 求解。 对于问题二，由给定的时间窗口推广到任意的时间窗口，故需要用到二元一次 拟合得到最早到达和最晚到达与目标时间之间的关系， 才可确定任意时间窗口中 的目标时间， 接着同样的是建立建立实际航班到达时间和目标时间的差值的绝对 值与惩罚值之间的非线性模型 lingo 求解。