数学知识与技能

数学知识与技能

知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和，它是人类文化的核心内容。在数学学科中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等显然属于知识的范围。这些知识要素也都有其本身的内容。问题是，这丰富多彩的内容反映了哪些共同的、带有本质性的东西实践和研究都已说明：这就是数学思想和数学方法。

在数学学习中，学生的数学能力与他们的知识基础和心理特征有关。技能是指依据一定的规则和程序去完成专门任务解决特定的问题的能力。显然，技能和能力都与知识密不可分；但学生在任务问题面前如何对知识和运用这些知识的途径进行选择，使得完成任务解决问题达到多快好省，则是一项超越知识本身的心理活动。因此，把知识、技能和能力三者并列起来是合理的；但也应看清楚，这三者的顺序是由低到高，在教育、教学的意义下是后者更重于前者。

一、历史的回顾我国的中学数学教学大纲，对于数学思想和数学方法的重要性的认识也有一个从低到高的过程。

首先，数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数学观点例如方程观点、函数观点、统计观点、向量观点、几何变换观点等和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。数学思想是一类科学思想，但科学思想未必就单单是数学思想。

二、数学思想中的基本数学思想在数学思想中，有一类思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。

微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：1逻辑学中的方法。例如分析法包括逆证法、综合法、反证法、归纳法、穷举法要求分类讨论等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。2数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法、向量法、比较法数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同、放缩法、同一法、数学归纳法这与逻辑学中的不完全归纳法不同等。这些方法极为重要，应用也很广泛。3数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法也称之为中间变量法、拆项补项法含有添加辅助元素实现化归的数学思想、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。五方法和招术如上所述，方法是解决思想、行为等问题的门路和程序，是思想的产物，是包含或体现着思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在选择并实施方法的前期过程中，反映了学习者的能力和技能的高低；而在后期过程中，只反映了学习者的技能的差异。所谓“招术”“招”字应正为“着”字，本文仍用传统的“一招一式”的说法。是指解决特殊问题的专用计策或手段，纯属于技能而不属于能力。“招”的教育价值远低于“法”这里的“法”指“通法”的价值。“法”的可仿效性带有较为“普适”的意义，而“招”的“普适”要差得多；实施“招”要以能实施管着它的“法”为前提。例如，待定系数法是一种特别有用的“法”。

三、中学数学教科书中应该传授的基本数学思想和方法一中学数学教科书中应该传授的基本数学思想中学数学教科书担负着向学生传授基本数学思想的责任，在程度上有“渗

透”、“介绍”和“突出”之分。

1.渗透。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。要渗透的有集合思想、对应思想、公理化与结构思想、抽样统计思想、极限思想等。前三种基本数学思想从初中一年级就开始渗透了，并贯彻于整个中学阶段；抽样统计思想可从初中三年级开始渗透，极限思想也可从初中三年级的教科书中安排类似于“关于圆周率π”这样的阅读材料开始渗透。至于公理化与结构思想，要注意根据人类的认识规律，一开始就采取扩大的公理体系。例如，教科书既可以把“同位角相等，两直线平行”和它的逆命题都当作公理，也可以把判定两个三角形全等的三个命题“边角边”、“角边角”和“边边边”都当作公理。这种渗透是随年级逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏图或列举法来表示集合，不等式组的解集可以用数轴表示或用不等式组表示；高中则是列举法、描述法、文氏图三者并举，并同时允许用不等式组、区间或集合的描述法来表示实数集的某些子集。又如对应思想，初中只用文字、数轴或平面直角坐标系来讲对应；高中则在此基础上引入了使用符号语言的对应法则。至于公理化与结构思想、抽样统计思想和极限思想在初、高中阶段的不同渗透水平，则是众所周知的。“渗透”到一定程度，就是“介绍”的前奏了。

2.介绍。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。要介绍的有符号与变元表示的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等。这种介绍也是随年级逐步增加的。有的思想从初中一年级起就开始介绍例如前四种基本数学思想，有的则是先渗透后介绍例如后两种基本数学思想。“介绍”与“渗透”的基本区别在于：“渗透”只要求学生知道有什么思想和是什么思想，而“介绍”则要求学生在此基础上进而知道为什么叫做思想含思想的要素和特征、用什么思想含思想的用途并学会运用。作为补充，也可以就问题适时地向学生介绍如何运用一分为二的思想和整体思想。

3.突出。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。