钢结构基本原理：第4章 轴心受压构件

(5-13)
NEθ = (π 2EIω / L2oθ + GIt + R) / r02 = π 2EA/ λθ2 (5-14)
式中计算长度与边界约束条件有关, 长细比(5-21)~(5.23)
双轴对称截面3个微分方程独立，得到3个解，对应3种失稳模态
杆端弯曲约束和扭转约束的自由、铰支、固接
约束对应的计算长度系数 p.101
考虑形心位置发生扭转，再产生 M x2 ≈ −Nx0θ 本坐标系中
原因：形心相对剪力中心转动后 x0 为负值
轴压力合力点作用位置相对偏移所致
N
N
θ
x0
y
x M x2
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程(3)
参阅 §5.3
EIxv'' + Nv − Nx0θ = 0
zN
EIyu'' + Nu − Ny0θ = 0
x
x0
x y0
x
y
y
y
x
x
— 横向力过该点不产生扭矩
y — 无外扭矩构件只受弯、剪
x0 y
x0
— 该点为截面扭转的不动点
y0
形心 剪力中心
z
L
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程(2)
EIxv'' + Nv − Nx0θ = 0
参阅 §5.3
z
z
EIyu'' + Nu − Ny0θ = 0
Nv'
EIωθ ''' − GItθ ' − Nx0v' + Ny0u+' ( Nr02 − R )θ ' = 0 v
θ x0
Nv' y
约束扭转与翘曲
轴线弯曲引起的扭转分量 − N v ' x0 , N u ' y0
纵向应力和残余应力对扭转平衡的影响
∫ σ dAa(s)θ ' ⋅ a(s) ⇒ θ ' a(s)2σ dA ⇒ Nr02θ '
失稳临界应力 σE = NE / A = π 2E / λ2
讨论：3种临界力中何者控制压杆的承载力？
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
四、单轴对称截面理想压杆的临界力
参阅 §5.3
基本方程之一解耦（设 x 轴为对称轴）
EIxv'' + Nv − Nx0θ = 0
EIxv'' + Nv − Nx0θ = 0
N ≤ An fd , fd = f y / γ R 或 fd = f y / K
σ
=
N An
≤
fd
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
一、理想压杆概念
参阅 §5.3
截面几何中心（形心）和物理中心（质心）始 终重合
杆件轴线（截面形心的连线）笔直
轴力作用线与杆件轴线始终重合
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
截面极限状态和工程计算公式
什么是截面极限状态？
参阅 §4.2,§5.2
钢结构受压构件和受拉的截面承载强度是否一样？
截面承载力（强度）
N u = min{ Af y , An fu }
A, An —— 毛截面和净截面；（最小受力截面） fy , fu —— 钢材屈服强度和极限强度
工程计算公式（承载力设计值）
二、理想压杆弹性失稳的平衡方程(1)
EI x v IV + Nv '' − Nx0θ '' = 0
参阅 §5.3
EI yu IV + Nu '' − Ny0θ '' = 0
教材（5.8）
EIωθ IV − GItθ '' − Nx0v'' + Ny0u'' + (Nr02 − R)θ '' = 0
截面坐标、剪力中心概念 (弯曲中心，扭转中心) 由形心轴规定的剪力中心坐标
NEx = π 2EIx / L2ox
N
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
三、双轴对称截面理想压杆的临界力
失稳临界力
参阅 §5.3
百度文库
EI xv'' + Nv − Nx0θ = 0
EI xv'' + Nv = 0
N Ex
=
π 2 EI x
L2ox
=
π
2 EAI
x
/
A
=
π
2
EAi
2 x
L2ox
L2ox
= π 2 EA λ2x
(5-12)
同理
NEy = π 2EIy / L2oy = π 2EA/ λ2y
轴心受压构件
Axially Compressive Member
第一节 概述 第二节 截面强度 第三节 实腹式轴心压杆的整体稳定 第四节 实腹式轴心压杆中板件的局部稳定 第五节 格构式轴心压杆的整体稳定和肢杆稳定 第六节 轴心受压构件的刚度 第七节 轴心受压构件的设计计算
§1 概述
截面形式和破坏类型
临界力 N Ey = π 2 EI y / L2oy
两联立方程的求解：p.108
1 ( NEx
+
1 NEθ )NEω
− (1−
x02 r02
)
NE2ω NEx NEθ
=1
NEω
§3 实腹式轴心压件的整体稳定
五、有几何缺陷压杆的稳定承载力
参阅 §5.3
初始挠曲和初始扭转对稳定承载力的影响
例：若无初始变形 弯曲平衡方程 EIxv'' + Nv = 0
(1a)
EIyu'' + Nu − Ny0θ = 0
EIyu ''+ Nu = 0
(2)
EIωθ ''' − GItθ ' − Nx0v' + Ny0u' +( Nr02 − R)θ ' = 0
EIωθ'' − (GIt + R − Nr02)θ − Nx0v = 0(1b)
（1）两组方程代表了整体失稳两种模态：弯曲失稳与弯扭失稳 （2）与双轴对称截面理想压杆的区别
r02
=
Ix
+ Iy A
+
x
2 0
+
y
2 0
∫θ ' a(s)2σ rdA ⇒ θ ' R
双轴对称截面的平衡方程
σ dAaθ ' dθ
dz a
y
x
对剪心求矩 略去高阶量
N
M z1 ≈ − Nv'x0
本坐标系中
x0 为负值
σ dA
adθ
a dθ
y
σ dAaθ ' x
a(s)
σ dAa(s)θ ' γ = adθ / dz = aθ '
EIωθ ''' − GItθ ' − Nx0v' + Ny0u+' ( Nr02 − R )θ ' = 0
N
N
整体失稳变形平衡方程基本假定
——弹性
——小变形：包括弯曲变形u, v和扭转变形θ
II
II
v
v M x1
——以变形后位置建立平衡方程（几何非线性） I I y
y
弯曲平衡 (以第1式为例)
考虑挠度沿 y 轴发生，由平衡产生 M x1 = N v
参阅 §3.1-3.2,§4.1
结构中的受压构件：桁架杆件、支撑、铰接柱 受压构件的截面 (参见 p.77）
双轴对称截面、单轴对称截面、无对称轴截面
构件破坏类型
——截面强度破坏：截面有较大削弱处或非常粗短的构件 ——构件整体失稳：弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳 p.97 ——构件中板件的局部失稳
§2 截面强度