理论力学教程周衍柏第三版课件

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力学量的单位
力学量 长度 质量 时间 速度 加速度 力 动量 冲量 功,能 MKS制 m(米) kg(千克) s(秒) m/s (米/秒) m/s2(米/秒2) N(牛顿) kg m / s CGS制 cm(厘米) g(克) s(秒) cm/s (厘米/秒) cm/s2(厘米/秒2) dyn(达因) 工程制 m(米) kgf/ (ms2) s(秒) m/s (米/秒) m/s2(米/秒2) kgf(千克力)
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
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定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1 , P2 ,, Pn , 而我们所选的单位制中有m个基本量(n>m),则由此可以组成n-m 个无量纲的量 Π1 , Π 2 ,, Π n m . 在物理量 P ,P , , Pn 之间存在的 1 2 函数关系式
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例2 用量纲分析法证明勾股定理
解:
直角三角形的面积A可由它的一边(例如斜边c)和一个锐角(如)所 决定. 是无量纲的, 所以
A c 2Φ ( )
如图,作c边的垂线将三角形分成两个与原来相似的小直角三角形,它们各 有一个同样的锐角, 故它们的面积应分别为
A1 a 2Φ ( ),
求解上述方程组, 得到
x1 1, x2 1, x3 2
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于是我们得到
ln[ P] 1 ln[n] 1 ln[m] 2 ln[v]
从而得到
P knmv
2
k是一个无量纲的数学常数, 根据具体情况不同, k可能变化, 而压强与这 三个物理量的关系是不变的.
总结:
利用量纲分析,虽然不能完全定量的给出物理问题 的答案,但是能够对物理问题提供一个简便的分析思 路,甚至不需要知道定律和物理机制的细节.
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§0.4
力学单位制
• 物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理 量的关系） 单位制通过以 • 下步骤建立：
1. 选出几个相互独立的物理量作为基本量； 通常基本量都是 选取可以直接测量的物理量.
2. 由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量（导出量）的 关系式（称为导出关系式）. 3. 确定出基本量的单位（基本单位）；力学常用基本量为
理论力学教程
（第三版）
周衍柏 编
高等教育出版社
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§0.1 力学的研究对象
• 力学（mechanics）的研究对象是机械 运动（mechanical motion） • 经典力学研究在弱引力场中宏观物体的 低速运动 • 力学: 运动学、（静力学）、动力学
Nature and nature’s law lay hid in night: God said: let Newton be! And all was light！
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时钟的改进
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长度(length)的计量
• 空间反映物质运动的广延量, 在三维空间里位置可由三个相 互独立的坐标来确定. 空间中两点间的距离为长度. • 1889年，第一届国际计量大会: 法国国际计量局铂铱合金 棒在0oC时两条刻线间的距离定义为1米. • 1960年，第十一届国际计量大会：采用氪86原子橙黄光波 长的1 650 763.73倍定义为1米, 实现了自然基准. 1983年，第十七届国际计量大会：1米定义为光在真空中传 • 播(1/299 792 458)秒的时间间隔内所经路程的长度.
长度：米（m）、质量：千克（kg）、时间：秒（s）
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4. 由导出关系式确定出导出量的单位（导出单位）； 5. 基本量的量纲为其本身，并规定用基本量的符号的正体大 写字母作为基本量的量纲的符号. 6. 导出量的量纲通过导出关系式用基本量的量纲表示. • 单位制：按照上述方法制定的一套单位.
•
•
常用单位制: MKS、CGS、自然单位制. 单位制制订要考虑不易变化以及测量的方便程度.
* v c * 物体的尺度原子,分子尺度
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理论力学的学习
• 预备知识: 普通力学+高等数学 • 以公理、定律为依据，应用数学推演的 方法导出其他定理和结论 • 偏重于问题的提出、求解 • 严格基础训练、强化现代技术应用 • 注重问题的延拓分析 • 培养科学精神
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科学是一种方法，它教导人们：一些事物是怎样被了解 的，什么事情是已知的，现在了解到什么程度（因为没有事 情是绝对已知的），如何对待疑问和不确定性，证据服从什 么法则，如何去思考事物，做出判断，如何区别真伪和表面 现象。 ——理查德. 费曼
参考书
梁昆淼. 力学. (上册) 第四版, 高等教育出版社, 2009 梁昆淼. 力学. (下册) 第四版 , 高等教育出版社, 2010
赵凯华. 力学. 第二版, 高等教育出版社, 2004 卢德馨. 大学物理学.第二版, 高等教育出版社,2003
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§0.2
理论力学的内容结构
矢量力学（即牛顿力学）＋分析力学
d dv du u ( x)v( x) v( x) u ( x) dx dx dx
du dv v ( x ) u ( x ) u ( x ) d dx dx v( x) 2 dx v( x)
du dv d uv( x) dv dx dx
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3 常见函数的幂级数展开式
由于只有3个基本量, 相当于3维基矢空间, 所以上述4个量只有3个是线 性无关的. 设前3个是无关量, 则有
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ln[P] x1 ln[n] x2 ln[m] x3 ln[v]
将(1)式代入,则有
1 ln M ( 1) ln L ( 2) ln T
x1[0 ln M (3) ln L 0 ln T] x2 [1 ln M 0 ln L 0 ln T]
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物质世界的层次和数量级
micron second, us nano second, ns
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目前已知质量范围
已知宇宙 1053kg 2.21041kg 6.0 1024kg 6.0 101kg 6.7 10-10kg 2.3 10-13kg 1.7 10-27kg 9.1 10-31kg
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质量(mass)的计量
• 物体所含物质的多少. • 惯性质量 • 引力质量 • 1889年，第一届国际计量大会：1千克质量的实物基准 是保存在法国巴黎国际计量局中的一个特制的、直径 和高均为39mm的铂钇合金圆柱体，称为国际千克原器. • 未来标准: 是否采用自然基准?
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物质世界的层次和数量级
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时间(time)的计量
• 以前定义: 1秒为地球绕自身轴线转动一周(1天)的 1/86400. • 目前时间标准：1秒的长度等于与铯133原子基态两个 超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的9 192 631 770 倍. • 未来定义: 原子氢微波激射器？因为它比铯原子钟稳 定度高100倍.
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理论力学与普物力学的关系
• 理论力学是力学的延续与提高 • 主要的概念和定律一样 • 理论力学用高等数学方法处理物理问
题
• 分析力学
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理论力学的任务
研究物体机械运动的一般规律
理论力学的研究对象
有限个自由度的力学体系
两个模型
质点 刚体
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理论力学研究的条件
宏观低速下 ①质量不变 ②绝对时间 ③绝对空间
由A=A1+A2得
A2 b 2Φ ( )
a
c 2Φ ( ) a 2Φ ( ) b 2Φ ( ) 消去(),即得 c 2 a 2 b 2

c

b 这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.
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§0.6
1 常见函数的导数
微积分预备知识
dy dx n y' nx n1 dx dx dy dsinx y' cos x dx dx
x3[0 ln M
1 ln L ( 1) ln T]
由于lnM,lnL,lnT是正交基矢,在上式中它们的系数应分别相等,
0 x1 1 x2 (3) x1 0 x2
0 x3 1 1 x3 1
0 x1 0 x2 (1) x3 2
Ns
Nm
g cm / s dyn s
kgf s kgf s
kgf m
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dyn s erg(尔格)
§0.5
量纲(dimension)
• 在不考虑数字因子时，表示一个物理量是由哪些基本 量导出的以及如何导出的式子，称为这个物理量的量
纲.
• 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和 时间, 它们的量纲分别为L、M和T.
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§0.3
力学简史
• 牛顿力学的建立：在哥白尼(日心说)推翻了托勒密的地心 说，和在第谷布拉赫积累的天文观察资料基础上,开普勒发 现了行星三定律——总结万有引力定律，牛顿总结了三定 律(《自然哲学的数学原理》,1687). • 分析力学:（1788）拉格朗日力学建立(至此认为力学天衣无 缝). 近代力学：19世纪末、20世纪初出现了经典力学无法解 • 释 的矛盾. 1）高速（与c比）：相对论（爱因斯坦）；2）微 观粒子：量子力学（薛定谔）；3）纳米技术：0.1~100nm 尺度起关键作用 (原子直径10-10m; 人头发10-4m；人100m).
dy dcosx y' sin x dx dx dy dlnx 1 y' dx x dx dy de x y' ex dx dx
yx
n
y sin x y cos x
y ln x
ye
x
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2 导数运算定理
d du d v u ( x) v( x) dx dx dx
• 矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律. 在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等. 力是 分析力学中最关键的量. • 分析力学以达朗贝尔原理为基础，从分析质量和质量系能量情 况，由此探讨物体机械运动规律. 分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量.
• 任何力学量Q的量纲为[Q]=LαMβTγ，式中,
,
为量纲指数.
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量纲分析—— 定理
设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲 为X1，X2，…，Xm. 用[P]代表导出量P的量纲,则
am a1 a2 X X X [ P] 1 2 m
上式取对数
ln[P] a1lnX1 a 2lnX 2 am lnX m
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例1 虽然单个微粒撞击墙壁的力是局部而短暂的脉冲, 但大量粒子撞击的平
均效果就是均匀而持久的压力. 如设粒子流中每个粒子的速度都垂直于墙壁, 并大小一样, 皆为v. 粒子质量为m, 单位体积内的粒子数为n. 试导出墙壁受到 的压强与上述三个物理量之间的关系.
解: 这是一个力学问题,有三个基本量, 质量、长度和时间,即m=3.本题涉及的
f ( P1 , P2 ,, Pn ) 0
可表达成相应的无量纲形式
F(Π1 ,Π2 , ,Πnm ) 0
或者从上式把 Π1 解出来： Π1 ΦΠ2 , ,Πn m
n=m的情况下，有两种可能. 若 P1 ,P2 , ,Pm 的量纲彼此独立，则不 能由它们组成无量纲的量；如不独立，则还可能组成无量纲的量.
函数 展开式 收敛范围
(1 x)1/ 2 (1 x)3/ 2 (1 x)5/ 2 (1 x) (1 x)
(1 x)
1/ 2
2 4 113 3 1135 11 1 1 x x x x 24 246 2468 2 4 31 2 311 3 3113 3 1 2 x x x x 2 246 4 2468 53 2 531 x 3 311 4 5 1 2 x 24 x 246 254 x 68 135 3 2 4 13 1357 1 1 x x x x 24 246 2468 2 35 x 2 357 x 3 3579 4 x x 246 1 24 2468 3 2
物理量: n, m ,v ,P (m=4)的量纲分别为:
ln[n] 0 lnM (3) lnL
ln[m] 1 lnM ln[v] 0 lnM 0 lnL
0 lnT 0 lnT
(1)
1 lnL (1) lnT
ln[ P] 1 lnM (1) lnL (2) lnT