(完整版)数理统计考试题及答案

1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则

11

=∑=n

i i

p

2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y

相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X •=

3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2

102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ,则ξ的上侧分位

数025.0ξ=

解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +⋅⋅⋅++=ξ~)10(2

χ，查表得025.0ξ=20.5

4、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.424

5、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2

σμN X 的样本，∑=-=

n

i i

X

Y 1

22

)(1

μσ，则EY=n

解：∑=-=

n

i i

X

Y 1

22

)(1

μσ

~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n

二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2

σμN X 的样本，∑=-=61

2

2

)(51i i X X s ，试求

)5665.2(22σ≤s P 。

解

：

因

为

)

,(~2

σμN X ，所以有

)5(~)(1

2

6

1

22χσ

∑=-i i X X ，则

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(2

612

2612222

2σσσσi i

i i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛≤-∑=8325

.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01)

0a x x α⎧+<<⎨⎩

，其他，其中α>0，求

参数α的矩估计和极大似然估计量。

)X 1/()1X 2(ˆ,)2/()1()1()()(1

1--==++=+==⎰⎰++∞∞

-α

αααα得X dx x dx x xf x E 极大似然估计：

∑∑∑∑∏∏∏=======--==++=∂∂++=++=+=+==n i i

n

i i n

i i

n

i i n

i i n

n

i i n i i x n

x n

L x n x n x L x x f L 1

1

1

111

1

ln 1ˆ0

ln 1)(ln ln )1ln(ln )1ln()1(ln )(ln )1();()(α

ααααααααααααα

α

α

求得：：求导并令它等于零，得上式对两边取对数得：似然函数：四．设瓶装食用醋容量X N （2,μσ），现从中取出16个瓶测得容量下506，508，499，503，504，510，497，512，514，505，493，496，506，502，509，496（毫升），试求均值μ置信度为0.95的置信区间。

解：

{}

）

，）即（，故置信区间为（所以有分布分位数表得：查由题意知的置信区间为的置信度为得：所以由因为：则修正样本方差）（样本平均值：05.50745.5003.375.5033.375.5033

.342

.6*1315.2)1(1315

.2)15(05

.0)1(,)1(11)1(P )1(~/X T 2.638.46667)(116175

.503496509502506496493

50551451249751050450349950850616

1*

22

05.0*

2*22*

*2

161

*2

+-==-==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+----=-<--=

≈=--==+++++++++++++++=∑=n

S n t t t n S n t X n S n t X n t T n t n

S S X X S X n n n n n i i n

ααααααμαμ

五．设一批螺钉长度X N （2,μσ），随即抽取5枚检验长度如下

试问在α=0.05的水平下，这批螺钉平均长度不超过1.25（cm ）？

解：假设H 0：25.1≤μ，H 1：25.1>μ n=5,05.0=α

035.0,00123.0)(151246.1X *251

*2==--==∑=n i i n

S X X S

则，修正样本方差平均值 统计量：)1(~/X T *0--=

n t n S n μ，则拒绝域：)1(/*

-≥-n t n S x n αμ 从而计算得：2556.05

/35.0.025

.1246.1/25.1x t *

-≈-=-=

n S n 查t 分布分位数表得：1318.2)4(05.0=t ，由于t=-0.2556<1318.2)4(05.0=t , 故接受原假设H 0，即这批螺钉平均长度不超过1.25（cm ）

六．现随即投一枚骰子600次，记录朝上点数如下表

问在α=0.05的水平下，该枚骰子是否均匀？

解：

均匀的。

即可以认为这颗骰子是，故接受假设）（因为）（分布表得，查对计算得

假设0205

.02205.02222222

6

102

0210,5ˆ.1.111605.04

6

/600)6/60093(6/600)6/600108(6/600)6/60089(6/600)6/600109(6/600)6/60094(6

1*600)61

*600107()(ˆ)6,...,2,1(6

1

:61:H np np N i p H p H n i i i i n i i χχχχαχ<=-==-+-+

-+-+

-+-=-==≠↔=∑= 七．设三种类型电路的反应时间，随机测试5次结果如下表