2019年河南省郑州市中考数学二模试卷 解析版

2019年河南省郑州市中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1．（3分）如表是郑州市2019年1月1日零点到三点的天气情况，从零点到三点最高温度与最低温度差是（）℃．
时间天气温度
00：00晴朗﹣2℃
01：00晴朗0℃
02：00晴朗3℃
03：00局部多云2℃
A．2B．3C．4D．5
2．（3分）如图所示，该几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．﹣3a2•2a3＝﹣6a6B．6a6÷（﹣2a3）＝﹣3a2
C．（﹣a3）2＝a6D．（ab3）2＝ab6
4．（3分）如图，一把直尺的边缘AB经过一块三角板DCB的直角顶点B，交斜边CD于点A，直尺的边缘EF分别交CD，BD于点E，F，若∠D＝60°，∠ABC＝20°，则∠1的度数为（）
A．25°B．40°C．50°D．80°
5．（3分）某校八年级“我的中国梦”朗诵比赛中，有15名学生参加比赛，他们比赛的成续各不相，其中一名学生想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了
解这15名学生成绩的统计量是（）
A．众数B．方差C．中位数D．平均数
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P 运动的时间是（）
A．2s B．3s C．4s D．5s
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，分别交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF若BD＝8，AF＝5，CD＝4，则下列说法中正确的是（）
A．DF平分∠ADC B．AF＝3CF C．DA＝DB D．BE＝10
9．（3分）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次磁到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为
P n，则点P2019的坐标是（）
A．（0，1）B．（﹣4，1）C．（﹣2，0）D．（0，3）
10．（3分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）
A．5B．C．8D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝．
12．（3分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为3：4，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．
13．（3分）若关于x的方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是．
14．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为．
三、解答题（共75分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的根．17．（9分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件，某校为了了解九年级家长和学生参与“青少年不良行为的知识”
的主题情况，在本校九年级学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下四类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算B类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该年级600名学生中“家长和学生都未参与”的人数．18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6，点M为⊙O外一点，且MA，MC分别切⊙O于点A、C两点．BC与AM的延长线交于点D．
（1）求证：DM＝AM；
（2）填空
①当CM＝时，四边形AOCM是正方形．
②当CM＝时，△CDM为等边三角形．
19．（9分）如图：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象分别交于点A、C，点A的横坐标为﹣3，与x轴交于点E（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，△ABE的面积是2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABCD的面积．
20．（9分）五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征，某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED）．在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.5米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan85°≈11.4）
21．（10分）郑州市创建国家生态园林城市实施方案已经出台，到2019年5月底，市区主城区要达到或超过《国家生态园林城市标准》各项指标要求．郑州市林荫路推广率要超过85%，在推进此活动中，郑州市某小区决定购买A、B两种乔木树，经过调查，获取信息如下：如果购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元．
树种购买数量低于50棵购买数量不低于50棵
A原价销售以八折销售
B原价销售以九折销售
（1）A种树木与B种树木的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置A、B两种树木共100棵，其中B种树木的数量不多于A种树木的三分之一，如何购买付款最少？最少费用是多少元？请说明理由．
22．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝6，P A＝，则：
①线段PB＝，PC＝；
②直接写出P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足，直接写出的值：．
23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点．点A在x轴的正半轴上，点A 的坐标为（10，0）．一条抛物线经过O，A，B三点，直线AB的表达式为，且与抛物线的对称轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，在A，B两点之间的抛物线上有一动点P，连结AP，BP，设点P的横坐标为m，△ABP的面积S，求出面积S取得最大值时点P的坐标；
（3）如图3，将△OAB沿射线BA方向平移得到△DEF，在平移过程中，以A，D，Q为
顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出此时点E的坐标（点O除外）；如果不能，请说明理由．
2019年河南省郑州市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1．（3分）如表是郑州市2019年1月1日零点到三点的天气情况，从零点到三点最高温度与最低温度差是（）℃．
时间天气温度
00：00晴朗﹣2℃
01：00晴朗0℃
02：00晴朗3℃
03：00局部多云2℃
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据题意直接列出算式，然后按有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：3﹣（﹣2）＝5（℃）．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
2．（3分）如图所示，该几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【解答】解：该几何体的左视图如选项B所示，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．﹣3a2•2a3＝﹣6a6B．6a6÷（﹣2a3）＝﹣3a2
C．（﹣a3）2＝a6D．（ab3）2＝ab6
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣6a5，不符合题意；
B、原式＝﹣3a3，不符合题意；
C、原式＝a6，符合题意；
D、原式＝a2b6，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）如图，一把直尺的边缘AB经过一块三角板DCB的直角顶点B，交斜边CD于点A，直尺的边缘EF分别交CD，BD于点E，F，若∠D＝60°，∠ABC＝20°，则∠1的度数为（）
A．25°B．40°C．50°D．80°
【分析】利用平行线的性质求出∠EDF，再利用三角形内角和定理求出∠DEF即可．【解答】解：∵∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ABC＝70°，
∵EF∥AB，
∴∠DFE＝∠ABD＝70°，
∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠DFE＝50°，
∴∠1＝∠DEF＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
5．（3分）某校八年级“我的中国梦”朗诵比赛中，有15名学生参加比赛，他们比赛的成续各不相，其中一名学生想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的统计量是（）
A．众数B．方差C．中位数D．平均数
【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．
故选：C．
【点评】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P 运动的时间是（）
A．2s B．3s C．4s D．5s
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为，用t分别表示出BP 和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为，
则BP为（4﹣t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（4﹣t）×t＝，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为cm2．
故选：B．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+3≤5，得：x≤1，
解不等式﹣3x＜9，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，分别交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF若BD＝8，AF＝5，CD＝4，则下列说法中正确的是（）
A．DF平分∠ADC B．AF＝3CF C．DA＝DB D．BE＝10
【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE＝DE，AF＝DF，求出DE ∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE＝DE＝DF＝AF，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可．
【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，AF＝DF，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE＝DE＝DF＝AF，
∵AF＝5，
∴AE＝DE＝DF＝AF＝5，
∵DE∥AC，
∴，
∵BD＝8，AE＝5，CD＝4，
∴BE＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，得出四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
9．（3分）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次磁到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2019的坐标是（）
A．（0，1）B．（﹣4，1）C．（﹣2，0）D．（0，3）
【分析】按照反弹规律依次画图，写出点的坐标，再找出规律即可．
【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2019÷6＝336……3，即点P2019的坐标是（0，3），
故选：D．
【点评】本题是生活中的轴对称现象，解答时要注意找到循环数值，从而得到规律．10．（3分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）
A．5B．C．8D．2
【分析】根据图1和图2得当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3；当S＝15时，点P到达点D处，即可求解．
【解答】解：当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3；
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC＝AD，∴DE＝CE＝CD，
当S＝15时，点P到达点D处，则S＝CD•BC＝（2AB）•BC＝3×BC＝15，
则BC＝5，
由勾股定理得AD＝AC＝，
故选：B．
【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝5．
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+2
＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为3：4，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．
【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．
【解答】解：设两直角边分别是3x，4x，则斜边即大正方形的边长为5x，小正方形边长为x，
所以S大正方形＝25x2，S小正方形＝x2，S阴影＝24x2，
则针尖落在阴影区域的概率为＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
13．（3分）若关于x的方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≥﹣1．【分析】分二次项系数为零及非零两种情况考虑，当k＝0时，通过解一元一次方程可得出k＝0符合题意；当k≠0时，由根的判别式△≥0可求出k的取值范围．综上即可得出结论．
【解答】解：当k＝0时，解方程﹣3x﹣＝0得：x＝﹣，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，△＝（﹣3）2﹣4×k×（﹣）≥0，
解得：k≥﹣1且k≠0．
综上所述，实数k的取值范围为k≥﹣1．
故答案为：k≥﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分二次项系数为零及非零两种情况考虑是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是π﹣2．
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH＝S四
，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
边形DMCN
【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴DC＝AB＝2，四边形DMCN是正方形，DM＝．
则扇形FDE的面积是：＝π．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠GDH＝∠MDN＝90°，
∴∠GDM＝∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝2．
则阴影部分的面积是：π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH＝S四边形DMCN是关键．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为1或11．
【分析】在旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上，第一次在EC线段上，第二次在CE线段的延长线上，利用平行的性质证出CF＝CE，即可求解；
【解答】解：如图1：
将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，
∴∠AEF＝∠EA'F，AE＝A'E，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∵AB＝6，AD＝3，AE＝2，
∴CF＝CE＝6﹣DF，A'E＝2，BE＝4，BC＝3，
∴EC＝5，
∴6﹣DF＝5，
∴DF＝1；
如图2：
由折叠∠FEA'＝∠FEA，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∴CF＝5，
∴DF＝11；
故答案为1或11；
【点评】本题考查矩形的性质，图形的折叠；根据动点的情况分析出旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的根．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由x2﹣2x＝0可以求得x 的值，再将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
由x2﹣2x＝0，得x1＝0，x2＝2，
当x＝2时，原分式无意义，
当x＝0时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意分式化简求值的方法．
17．（9分）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件，某校为了了解九年级家长和学生参与“青少年不良行为的知识”
的主题情况，在本校九年级学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下四类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长自己参与；
D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算B类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该年级600名学生中“家长和学生都未参与”的人数．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各类别人数之和等于总人数求出B的人数，用360°乘以B类别人数占总人数
的比例即可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）在这次抽样调查中，调查的学生总人数为80÷40%＝200（人），故答案为：200；
（2）B类别人数为200﹣（80+60+20）＝40，
补全图形如下：
扇形统计图中计算B类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝72°；
（3）估计该年级600名学生中“家长和学生都未参与”的人数为600×＝60（人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6，点M为⊙O外一点，且MA，MC分别切⊙O于点A、C两点．BC与AM的延长线交于点D．
（1）求证：DM＝AM；
（2）填空
①当CM＝3时，四边形AOCM是正方形．
②当CM＝时，△CDM为等边三角形．
【分析】（1）根据切线的性质得：MA⊥OA，MC⊥OC，证明△MAO≌△MAO（HL），得MC＝MA，根据等边对等角得：∠2＝∠B，由等角的余角相等可得结论；
（2）①直接可得CM＝OA＝3；
②先根据等边三角形定义可得：DM＝CM，∠D＝60°，证明Rt△OCM≌△OAM（HL），得CM＝AM＝DM，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OM，
∵MA，MC分别切⊙O于点A、C，
∴MA⊥OA，MC⊥OC，
在Rt△MAO和Rt△MCO中，
MO＝MO，AO＝CO，
∴△MAO≌△MCO（HL），
∴MC＝MA，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
又∵∠DCM+∠OCB＝90°，∠D+∠B＝90°，
∴∠DCM＝∠D，
∴DM＝MC，
∴DM＝MA；
（2）①如图2，当CM＝OA＝3时，四边形AOCM是正方形；
∵AO＝CO＝AM＝CM＝3，
∴四边形AOCM是菱形，
又∵∠DAB＝90°，
∴四边形AOCM是正方形；
②连接OM，如图3，
∵△DCM是等边三角形，
∴CM＝DM，∠D＝60°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，
∵AB＝6，
∴tan∠B＝tan30°＝＝，∴AD＝2，
设CM＝x，
∵OC＝OA，OM＝OM，
∴Rt△OCM≌△OAM（HL），∴CM＝AM＝DM，
∴CM＝AD＝；
故答案为：①3；②．
【点评】本题主要考查切线的性质及直角、等边三角形的性质、直角三角形特殊的全等判定、圆周角定理、三角函数的应用、正方形的判定等知识，难度适中，掌握圆周角定理和直角三角形特殊的全等判定是解题的关键．
19．（9分）如图：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象分别交于点A、C，点A的横坐标为﹣3，与x轴交于点E（﹣1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，△ABE的面积是2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由△ABE的面积是2可得出点A的坐标，由点A、E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法，即可求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）联立方程出点C的坐标，进而可得出BD、CD的长度，再利用S四边形ABCD＝S△ABD+S
即可求出四边形ABCD的面积．
△BCD
【解答】解：（1）∵AB⊥x轴于点B，点A的横坐标为﹣3，
∴OB＝3．
∵点E（﹣1，0），
∴BE＝2，
∵S△ABE＝AB•BE＝2，
∴AB＝2，
∴A（﹣3，2），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴a＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣．
将A（﹣3，2）、E（﹣1，0）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．
（2）解得或，
∴C（2，﹣3），
∵CD⊥x轴于点D，
∴OD＝2，CD＝3，
∴BD＝5，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝BD•AB+BD•CD＝×5×2+×5×3＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是求出点A、C点的坐标．
20．（9分）五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征，某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED）．在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.5米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan85°≈11.4）
【分析】在直角△DEF中，根据三角函数的定义得到EF＝DE＝米．在直角△AEF中根据三角函数的定义得到AE＝EF•tan∠AFE≈×11.4＝24.78（米）．于是得到结论．
【解答】解：由题意，可得∠FED＝45°．
在直角△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠FED＝45°，
∴DE＝DF＝1.5米，EF＝DE＝米．
∵∠AEB＝∠FED＝45°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEB﹣∠FED＝90°．
在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠AFE＝40°+45°＝85°，
∴AE＝EF•tan∠AFE≈×11.4＝24.78（米）．
在直角△ABE中，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°，
∴AB＝AE•sin∠AEB≈24.78×≈17（米）．
故旗杆AB的高度约为17米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，平行线的性质，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
21．（10分）郑州市创建国家生态园林城市实施方案已经出台，到2019年5月底，市区主城区要达到或超过《国家生态园林城市标准》各项指标要求．郑州市林荫路推广率要超过85%，在推进此活动中，郑州市某小区决定购买A、B两种乔木树，经过调查，获取信息如下：如果购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元．
树种购买数量低于50棵购买数量不低于50棵
A原价销售以八折销售
B原价销售以九折销售（1）A种树木与B种树木的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置A、B两种树木共100棵，其中B种树木的数量不多于A种树木的三分之一，如何购买付款最少？最少费用是多少元？请说明理由．
【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元”
列出方程组并解答；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，根据“B种树木的数量不多于A种树木的三分之一”列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，
依题意得：，解得，
即A种树每棵150元，B种树每棵100元；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，
则（100﹣a），
解得a≥75．
设实际付款总金额是y元，则
y＝0.8×150a+100（100﹣a），即y＝20a+10000．
∵k＝20＞0，y随a的增大而增大，
∴当a＝75时，y最小．
即当a＝75时，y最小值＝20×75+10000＝11500（元）．
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为11500元．
【点评】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
22．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝6，P A＝，则：
①线段PB＝4，PC＝2；
②直接写出P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足，直接写出的值：．
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质出去AB，根据题意求出PB，作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出CH，根据勾股定理求出PC；
②证明△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到P A＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，得∠PBQ＝90°，根据勾股定理计算；
（2）连接BQ，仿照（1）②的方法证明；
（3）分点P在线段AB上、点P在线段AB上两种情况，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝6，
∴AB＝AC＝6，
∴PB＝AB﹣P A＝6﹣2＝4，
作CH⊥AB于H，
∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝AB＝3，CH＝AB＝3，
∴PH＝AH﹣AP＝，
∴PC＝＝2，
故答案为：4；2；
②P A2+PB2＝PQ2，
理由如下：如图①，连接QB，
∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ，
∴P A＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，
∴∠PBQ＝90°，
∴BQ2+PB2＝PQ2，
∴P A2+PB2＝PQ2，
故答案为：P A2+PB2＝PQ2；
（2）如图②，连接BQ，
∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ，
∴P A＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，
∴∠PBQ＝90°，
∴BQ2+PB2＝PQ2，
∴P A2+PB2＝PQ2；
（3）当点P在线段AB上时，由（1）①得，＝＝；当点P在线段BA的延长线上时，
设BC＝2x，则AB＝2x，
∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴AH＝CH＝AB＝x，
∵，
∴AB＝4P A，
∴P A＝AB＝x
∴PH＝P A+AH＝x，
由勾股定理得，PC＝＝x，
∴＝＝．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点．点A在x轴的正半轴上，点A。