带间光发射跃迁

3.5 带间光发射跃迁带间光跃迁的元过程: 电子从一个带中的一个电子态跃迁到另一带中的某个电子态。

带间的光发射跃迁，是导带处于某一电子态的电子跃迁到价带空的（未被电子占据）电子态，同时放出一个光子。

这常称之为电子与空穴的复合（recombination）。

这样的过程自然是在初电子态被占据，末电子态未被占据的情形才能發生。

对晶体中大量电子的状态跃迁，要知道总的跃迁情况，就需要知道电子在各种电子态中的分布情况(组态)。

在很多情形，这可以用每个电子态被占据的几率来描述。

前面讨论的晶体带间吸收，是针对处于基态的晶体，即价带填满，导带全空这样一种特定的最简单的电子布居情形而言的。

幸好这样的讨论也很好的适用于通常碰到的情形，即处于热平衡，温度不是非常高，没有其它外界的激发的情形，那时价带基本填满，导带几乎全空。

不然，在统计总的吸收速率时就需考虑各个电子态被占据的几率。

对于光发射跃迁，通常情况下作为跃迁初态的导带电子态只有一部分被占据，跃迁末态价带的电子态也只有一部分是空的，这就与前面讨论的带间吸收不一样了。

这时，讨论总的辐射跃迁速率就必须考虑到带中电子分布的情况。

带间光发射跃迁同样可分为直接跃迁和间接跃迁。

如前所述，对于直接跃迁，过程只涉及电子与辐射（光子）间的相互作用。

这一过程当然要满足能量守恒和3.1中给出的那些选择定则（电子初末态的,k s 相同）。

而间接跃迁则需要声子的参与。

图3.5-1表示两种光发射过程示意图。

图3.5-1 带间复合示意图. (a) 直接跃迁; (b) 间接跃迁3.5.1 带间直接跃迁导致的光发射辐射场与固体相互作用的一级项为()()()()(){}112,,ˆˆexp exp 2I i i i i ii i i i i iH e m p A r t e p b i t r b i t r m V κκκκκκκπωωεω=-⋅⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⋅--⋅+-⋅ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑∑†k k它的后一项相应于光发射跃迁 ()12(1),ˆexp 2e iIi i i ie Hp b i t r m V κκκκκπωεω⎛⎫⎡⎤=-⋅-⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭∑†k （3.5-1） 带间直接跃迁导致的单光子发射，是由辐射场与电子相互作用(1)e I H 决定的。

总的光发射：设导带电子处在状态cks (能量为ck E )的几率为cks g ，价带空穴处在状态vks (能量为vk E )的几率为vks g ，通过晶体与辐射场κ模相互作用,带间直接跃迁发射频率为κω的光的总跃迁速率 为：()()()()()2223v,21222em e vk ck cks vks c BZ c v e W n V m dkp g g E k E k κκκκπωεωφπφπδω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭⋅⋅⎡⎤--⎣⎦∑⎰ (3.5-2)上式右边的因子(1)n κ+中，n κ为κ模中光子数，它对应的项是受激发射项。

可以把n κ转换为经典辐射场矢势振幅，晶体带间受激直接跃迁，发射频率为κω的光辐射的总跃迁速率又可以表示成：()()()()2203v,222stem vk ck cks vks c BZ c v eA dkW p g g m E k E k κπωφπφπδω⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎡⎤--⎣⎦∑⎰ （3.5-3）(3.5-2)中因子(1)n κ+中的1，对应的为自发辐射速率。

虽然从元过程的角度来看，带间复合发光可以简单地理解为吸收的逆过程，不过，实际观察到的带间复合发光，是在很不一样的电子和空穴分布条件下进行的，发光光谱与吸收光谱有明显的差别。

为简单起见，考虑各向同性，具有抛物线型能带结构的直接带材料。

对于自发辐射跃迁——有一种情形特别重要，那就是导带电子，价带空穴分别达到热平衡的情形。

由于电子与声子以及电子与电子间较强的相互作用，导带电子和价带空穴各自很快达到近似热平衡的分布（热化thermalization ）。

相比之下，光辐射跃迁过程通常要慢得多，因而可以看成总是在热平衡的电子和空穴分布条件下进行的。

电子满足费米-狄拉克（Fermi-Dirac ）统计，不过对晶体激发程度较低的情形，导带电子和价带空穴较少，它们的分布可以很好的用玻尔兹曼（Boltzmann ）统计描述。

在通常温度下，当激发程度不是很高，导带中热化电子与价带的热化空穴主要分布在各自的带顶附近一个狭窄范围内，它们复合发光的光谱，也就呈现为比较狭窄的谱带，不像吸收谱那样是从带边附近开始向高能方向延伸的宽阔的谱带。

导带电子和价带空穴按能量的几率分布为()()exp()c nc cksck B E k g g E k Tξ∆-==-，(),()exp()v h pv vks vk B E k g g E k Tξ∆-==-， （3.5-4）其中n ξ和p ξ分别为导带电子和价带空穴的 准费米能，()c E k ∆为导带电子相对导带底的能量，,()v h E k ∆为价带空穴相对价带顶的能量。

它们与带隙和相关状态能量的关系为,()()()()c v g c v h E k E k E E k E k -=+∆+∆ ,()()c v h g E k E k E κω∆+∆=-于是，（3.5-2）中，积分的被积函数中的因子,()()()exp ()exp c v h n p cks vksB g n p B E k E k g g k T E k T κξξωξξ⎛⎫∆+∆-+=- ⎪ ⎪⎝⎭--+⎛⎫=- ⎪⎝⎭进而，带间自发辐射复合速率 可以表示为()()()()()()()()()()()()2232v,2232v,2222222222222spem c ck v vk c v vk ck cBZ e c ck v vk c v vk ckc BZ e c ck v v vk cke e dkW p g E g E E k E k V m e dk p g E g E E k E k V m e p g E g E V m κπωπφδωεωππφπφδωεωππφπφεω⎛⎫⎡⎤=⋅-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎛⎫⎡⎤=⋅-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑⎰∑⎰()()()v,222v,()2exp()2k cv c g n p cv vk ckc e B J E e p J V m k Tωωξξπφπφωεω--+⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭∑∑（3.5-5） （跃迁基本局限在带顶带底区域，矩阵元可近似看作常量）其中，()cv J ω即为前面讨论过的联合态密度。

对现在的情形（0M 点），它等于()1/2()cv g J C E ωω=-。

于是，复合速率就可表示为：1/2()()exp()()exp()gg B gB E W B E k T E B k Tωωωωαω-'=---=-（3.5-7）与前面关于直接跃迁的吸收速率表达式相比，二者都含有联合态密度()cv J ω，不同之处在于复合速率表示式中多了一个权重因子exp()gB E k Tω--。

这一权重因子是考虑电子和空穴热平衡分布的结果（各自在带顶附近），它使带间复合发光光谱与带间吸收光谱完全不同：只在满足g E ω≥的频率，才开始出现发光，且其强度随频率迅速增大（1/2()g E ω∝-），但由权重因子exp()gB E k Tω--，强度很快就达到峰值，随后又随光频率的增大而下降，结果形成一个位于g E 附近较窄的复合发光谱峰，其宽度大约为几个B k T 。

这不同于带间吸收那样的宽带谱。

随着晶体温度的升高，导带和价带高能态被载子占据的比例加大，发射高能光子的比例变大，光谱向高能方向延伸。

图3.5-2 带间吸收光谱与带间发光光谱的比较上面以具有简单能带结构的晶体为例，对复合发光进行了讨论。

实际晶体往往具有较复杂的能带结构。

例如，价带因自旋轨道相互作用会分裂（如图3.5-3所示），形成有效质量不同的子带：重空穴子带和轻空穴子带。

空穴在不同子带的热平衡分布的不同，也会影响光谱形状。

因为轻空穴的有效质量小于重空穴的有效质量，即**hL hHm m <，考虑到跃迁速率式（3.5-7）中常数因子B 或B '（其中的来自联合态密度中的因子C ）包含一个约化有效质量因子3()Jm *，导带电子到轻空穴态的跃迁速率总是比到重空穴态的速率要低。

图3.5-3 价带子带结构与直接复合跃迁上面讨论的是理想晶体的带间复合跃迁，实际晶体总会存在或多或少的不理想之处，只要不是偏离理想结构太多，其带间跃迁仍然可用上面的方法处理，但是需要考虑缺陷带来的影响。

图3.5-4表示n-型InAs 中自由电子与自由空穴复合发光随掺杂浓度的变化。

图 3.5-4 n-InAs的发光光谱由于重掺杂下，电子（准）费米能级移到导带内，电子在导带中的分布情形不再能用玻尔兹曼统计描述，而要用费米狄拉克统计。

这时，相对的有更多电子占据导带较高的能态，从而导致发光峰位随掺杂浓度的提高向高能方向移动。

至于对实际的晶体，观测到的发光光谱的低能侧往往没有出现前面所说的截止边，这是由于材料中存在与杂质相联系的带尾态和杂质态，与这些状态相关的发光与带间发光相邻接，使观测到的发光向低能边延展。

与杂质有关的跃迁将在下一章具体讨论。

3.5.2 带间间接复合导带电子与价带空穴的复合可以不是竖直的跃迁，即跃迁前后电子态的k不同。

这时，动量守恒是借助声子的参与来达到的。

这样的过程比直接跃迁弱得多，因而只有在直接跃迁不能发生的情形才会有明显的表现。

特别是在间接带半导体的情形，导带底和价带顶不在k空间的同一位置，导带电子和价带空穴分别达到（准）热平衡，分别处于导带底和价带顶，使得电子与空穴的直接复合不能发生。

这时，要使复合能发生，能满足动量守恒条件，声子的参与是必须的。

下面对间接带材料的单声子（ωq ）协助光发射（复合发光）光谱的低能边附近的行为作一说明。

*吸收声子的复合发光：g q E ωω≥+，跃迁速率正比于声子数n q *伴随声子发射的发光：g q E ωω≥-，跃迁速率正比于 1n +q温度不高时n q 较小，伴随声子发射的过程，速率要快得多。

因此，对于间接复合，伴随声子吸收的过程往往被发射声子的过程所掩盖，所观察到的发光主要来自伴随声子发射的跃迁。

这不同于间接吸收的情形：*当光子能量在g E ω-q 与g E ω+q 之间，只有同时吸收声子的过程； *当光子能量大于g E ω+q ，发射声子的光吸收过程才开始发生， 其速率比吸收声子的过程大，是主要的光吸收过程。

类似于对直接跃迁的处理，对所有可能的电子-空穴状态的贡献积分，并考虑到声子的布居数和权重因子，可得间接跃迁情形总的复合发光跃迁速率：2()()exp()g qem g q B E W B E k Tωωωωω-+'=-+-(3.5-8)上式中声子布居数因子包含在常数B '中。