带间光发射跃迁

3.5 带间光发射跃迁

带间光跃迁的元过程: 电子从一个带中的一个电子态

跃迁到另一带中的某个电子态。

带间的光发射跃迁，是导带处于某一电子态的电子跃迁到价带空的（未被电子占据）电子态，同时放出一个光子。

这常称之为电子与空穴的复合（recombination）。

这样的过程自然是在初电子态被占据，末电子态未被占据的情形才能發生。

对晶体中大量电子的状态跃迁，要知道总的跃迁情况，就需要知道

电子在各种电子态中的分布情况(组态)。在很多情形，这可以用每个电子态被占据的几率来描述。

前面讨论的晶体带间吸收，是针对处于基态的晶体，即价带填满，导带全空这样一种特定的最简单的电子布居情形而言的。幸好这样的讨论也很好的适用于通常碰到的情形，即处于热平衡，温度不是非常高，没有其它外界的激发的情形，那时价带基本填满，导带几乎全空。不然，在统计总的吸收速率时就需考虑各个电子态被占据的几率。

对于光发射跃迁，通常情况下作为跃迁初态的导带电子态只有一部分被占据，跃迁末态价带的电子态也只有一部分是空的，这就与前面讨论的带间吸收不一样了。这时，讨论总的辐射跃迁速率就必须考虑到带中电子分布的情况。

带间光发射跃迁同样可分为直接跃迁和间接跃迁。

如前所述，对于直接跃迁，过程只涉及电子与辐射（光子）间的相互作用。这一过程当然要满足能量守恒和3.1中给出的那些选择定则（电子初末态的,k s 相同）。而间接跃迁则需要声子的参与。

图3.5-1表示两种光发射过程示意图。

图3.5-1 带间复合示意图. (a) 直接跃迁; (b) 间接跃迁

3.5.1 带间直接跃迁导致的光发射

辐射场与固体相互作用的一级项为

()()()()(

){

}

112

,,ˆˆexp exp 2I i i i i i

i i i i i i

H e m p A r t e p b i t r b i t r m V κκκκκ

κ

κπωωεω=-⋅⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⋅--⋅+-⋅ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝

⎭∑∑

†k k

它的后一项相应于光发射跃迁 ()

12

(1),ˆexp 2e i

I

i i i i

e H

p b i t r m V κκκ

κκπωεω⎛⎫⎡⎤=-⋅-⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭

∑†k （3.5-1） 带间直接跃迁导致的单光子发射，是由辐射场与电子相互作用(1)e I H 决定的。

总的光发射：

设导带电子处在状态cks (能量为ck E )的几率为cks g ，价带空穴处在状态vks (能量为vk E )的几率为vks g ，通过晶体与辐射场κ模相互作用,带间直接跃迁发射频率为κω的光的总跃迁速率 为：

()()()

()()

2

22

3v,21222em e vk ck cks vks c BZ c v e W n V m dk

p g g E k E k κκκκπωεωφπφπδω⎛⎫=+⋅ ⎪

⎝⎭

⋅⋅⎡⎤

--⎣

⎦

∑⎰ (3.5-2)

上式右边的因子(1)n κ+中，n κ为κ模中光子数，它对应的项是受激发射项。可以把n κ转换为经典辐射场矢势振幅，晶体带间受激直接跃迁，发射频率为κω的光辐射的总跃迁速率又可以表示成：

()()

()()

2

2

03v,222st

em vk ck cks vks c BZ c v eA dk

W p g g m E k E k κπωφπφπδω⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎡⎤

--⎣

⎦

∑

⎰ （3.5-3）

(3.5-2)中因子(1)n κ

+中的1，对应的为自发辐射速率。

虽然从元过程的角度来看，带间复合发光可以简单地理解为吸收的逆过程，不过，实际观察到的带间复合发光，是在很不一样的电子和空穴分布条件下进行的，发光光谱与吸收光谱有明显的差别。

为简单起见，考虑各向同性，具有抛物线型能带结构的直接带材料。对于自发辐射跃迁——

有一种情形特别重要，那就是导带电子，价带空穴分别达到热平衡的情形。由于电子与声子以及电子与电子间较强的相互作用，导带电子和

价带空穴各自很快达到近似热平衡的分布（热化thermalization ）。

相比之下，光辐射跃迁过程通常要慢得多，因而可以看成总是

在热平衡的电子和空穴分布条件下进行的。

电子满足费米-狄拉克（Fermi-Dirac ）统计，不过对晶体激发程度较低的情形，导带电子和价带空穴较少，它们的分布可以很好的用玻尔兹曼（Boltzmann ）统计描述。在通常温度下，当激发

程度不是很高，导带中热化电子与价带的热化空穴主要分布在各自的带顶附近一个狭窄范围内，它们复合发光的光谱，也就呈现为比较狭窄的谱带，不像吸收谱那样是从带边附近开始向高能方向延伸的宽阔的谱带。

导带电子和价带空穴按能量的几率分布为

()()exp()c n

c cks

ck B E k g g E k T

ξ∆-==-，

(),()exp()v h p

v vks vk B E k g g E k T

ξ∆-==-

， （3.5-4）

其中n ξ和p ξ分别为导带电子和价带空穴的 准费米能，

()c E k ∆为导带电子相对导带底的能量，,()v h E k ∆为价带空穴

相对价带顶的能量。它们与带隙和相关状态能量的关系为

,()()()()c v g c v h E k E k E E k E k -=+∆+∆ ,()()c v h g E k E k E κω∆+∆=-

于是，（3.5-2）中，积分的被积函数中的因子

,()()()exp ()exp c v h n p cks vks

B g n p B E k E k g g k T E k T κξξωξξ⎛⎫

∆+∆-+=- ⎪ ⎪⎝⎭

--+⎛⎫

=- ⎪

⎝⎭

进而，带间自发辐射复合速率 可以表示为

()()

()()()()

()()()

()()

()22

32v,2

2

32v,2

2

22222222222sp

em c ck v vk c v vk ck c

BZ e c ck v vk c v vk ck

c BZ e c ck v v vk ck

e e dk

W p g E g E E k E k V m e dk p g E g E E k E k V m e p g E g E V m κπωπφδωεωππφπφδωεωππφπφεω⎛⎫⎡⎤

=⋅-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎛⎫⎡

⎤=⋅-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑⎰∑⎰

()()()v,2

2

2v,()

2exp()

2k cv c g n p cv vk ck

c e B J E e p J V m k T

ωωξξπφπφωεω--+⎛⎫=⋅-

⎪⎝

⎭∑∑

（3.5-5） （跃迁基本局限在带顶带底区域，矩阵元可近似看作常量）

其中，()cv J ω即为前面讨论过的联合态密度。对现在的情形（0M 点），它等于()1/2()cv g J C E ωω=-。于是，复合速率就可表示为：

1/2

()()exp()

()exp()

g

g B g

B E W B E k T E B k T

ωωωωαω-'=--

-=-

（3.5-7）