数学人教A版必修5课时分层作业23 基本不等式：ab ≤a+b2

课时分层作业(二十三) 基本不等式：
ab ≤a ＋b 2
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1
lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1
x ≥2
C ．当x ≥2时，x ＋1
x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1
x 无最大值 B [A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋
1
lg x
≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性， 知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1
x 在区间(0，2]上单调递增，知x －1x 的最大值为3
2，故选B.]
2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A.lg (x 2＋1)≥lg (2x ) B ．x 2＋1>2x C ．1x 2＋1
≤1
D ．x ＋1
x ≥2
C [对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于
D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1
x 2
＋1≤1成立，故选C.]
3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A ．1a ＋1
b <1
B ．1a ＋1b ≥1
C ．1a ＋1
b <2 D ．1a ＋1b ≥2
B [因为ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422
＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥2
1
4＝1.]
4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A ．a ＋d
2>bc B ．a ＋d
2<bc C ．a ＋d
2＝bc
D ．a ＋d
2≤bc
A [因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d
2>bc .]
5．若x >0，y >0，且2x ＋8
y ＝1，则xy 有( )
A ．最大值64
B ．最小值1
64 C ．最小值1
2
D ．最小值64
D [由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小
值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.]
二、填空题
6．若a >0，b >0，且1a ＋1
b ＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为 ． 42 [∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1
b ≥2
1
ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时
取等号，∴a 3＋b 3≥2（ab ）3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.]
7．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ．
1
2 [由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝1
2时等号成立．]
8．若对任意x >0，
x
x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ．
⎣⎢⎡⎭⎪⎫
15，＋∞ [因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有
x
x 2＋3x ＋1
＝
1x ＋1x ＋3
≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥1
5.] 三、解答题
9．(1)已知x <3 ，求f (x )＝
4
x －3
＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3
y 的最小值． [解] (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝
4x －3＋x ＝4x －3
＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
43－x ＋（3－x ）＋3
≤－2
4
3－x
·（3－x ）＋3＝－1， 当且仅当
4
3－x
＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，
∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋3y ＝4＋(y x ＋3x y )≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3
－3)时取“＝”号．
又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋3
2， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.
10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
[解] 设使用x 年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．
因此，汽车使用x 年总的维修费用为
0.2＋0.2x
2
x 万元． 设汽车的年平均费用为y 万元，则有 y ＝
10＋0.9x ＋0.2＋0.2x
2x x ＝10＋x ＋0.1x 2
x
＝1＋10x ＋x
10≥1＋2
10x ·x
10＝3.
当且仅当10x ＝x
10，即x ＝10时，y 取最小值． 即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．
1．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋2
2x －2( )
A ．有最小值1
B ．有最大值1
C ．有最小值－1
D ．有最大值－1
D [f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12[(x －1)＋1
x －1]，又∵－4<x <1，
∴x －1<0. ∴－(x －1)>0. 故f (x )＝－1
2[－(x －1)＋1－（x －1）]≤－1.当且仅当x －1＝1
x －1
，即x ＝0时等
号成立．]
2．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9
D ．36
B [(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢
⎡⎦⎥⎤（1＋x ）＋（1＋y ）22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋（x ＋y ）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822
＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.]
3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1
3y 的最小值为 ． 4 [由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，得2x ·8y ＝2， 即2x ＋3y ＝21，
∴x＋3y＝1，
∴1
x＋
1
3y＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
x＋
1
3y(x＋3y)
＝x＋3y
x＋
x＋3y
3y
＝1＋3y
x＋
x
3y＋1≥2＋2
3y
x·
x
3y＝2＋2＝4.当且仅当
3y
x＝
x
3y，即x＝
1
2，y＝
1
6时
等号成立．]
4．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是．23
3[∵x
2＋y2＋xy＝1，
∴(x＋y)2＝1＋xy.
∵xy≤（x＋y）2
4，
∴(x＋y)2－1≤（x＋y）2
4，
整理求得－23
3≤x＋y≤
23
3，
∴x＋y的最大值是23 3.]
5．某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即
该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－k
m＋1 (k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).
(1)将2019年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
[解](1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－
2
m＋1
，
又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x
x元，
∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×
8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛
⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0).
(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16
m ＋1
＝m ＋1，即m ＝3时等号成立，
∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.
故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
由Ruize收集整理。

感谢您的支持！。