概率论条件概率

既然第一次已经取走一个黑球，而第二次取是从剩 下的 4 个小球里随机取一个，有 2 个黑球和 2 个白球， 因此所求条件概率就是 2/4 = 0.5 。
练习1.5.2 抛硬币两次，已知正面出现，求两次都是同一面的概率。 练习1.5.3 假定随机找一个有 3 个小孩的家庭，已知有 1 个 女孩，问这个家庭至少有一个男孩的概率。
(3). 对条件概率定义的理解
假定样本空间中包含了 N 个样本点，事件 A 包含了 Na 个样本点，其中交事件 AB 包含样本点个数是 Na b ， 现在已知 A 发生，也就是 Na 个样本点中的某个已发生 ( 究竟是哪一个样本点发生我们并不关心 ) 。这时如果把样 本空间缩小成 A 包含的样本点(一共有 Na 个 ) , 其中显然将 会有 Na b 个样本点可能导致随机事件 B 的发生 ，
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P ( AB) P ( A | B) , P ( B)
P(B)>0
掷骰子
2)从加入条件后改变了的情况去算 例：A={掷出2 点}， B={掷出偶数点} P(A|B）=
B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数
1 3
在缩减样本空 间中A所含样 本点个数
例 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10‖的概率是多少? 解 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点}
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
抽签结果与抽签顺序无关
例1.5.5 假定 盒中有 1 个黑球与 n – 1 个白球，
n 个人依次各取一个小球，问第 k ( 1 ≤ k ≤ n ) 个人取到这个黑球的概率是多少？
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原 因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“ 作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作 用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .
2. 乘法公式
乘法公式
( 计算随机事件交事件概率的公式 )
如果 P (A ) ＞ 0，则有
P (AB ) = P (A ) P (B | A ) 一般的乘法公式 设 A1 ， A2 ，…，An 是任意的 n 个随机事件，
并且 P ( A1 A2 … An ) ＞0 ，则有：
P ( A1 A2 … An ) = P (A1 )×P (A2 | A1 )×P (A3 | A1 A2 )×… ×P (An－1 | A1 A2…An－2 )×P (An | A1 A2 … An－1 )
A={取到一等品}， B={取到正品}
则
P(A )=3/10，
3 3 10 P ( AB) P(A|B) 7 7 10 P ( B)
A={取到一等品}， B={取到正品} P(A )=3/10， P(A|B)=3/7
本例中，计算P(A)时，依据的 前提条件是10件产品中一等品的比 例. 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加 上“事件B已发生”这个新的条件.
×P { (第二个人取到黑球) | (第一个人取到白球) }
n – 1 × —— 1 1 ； = —— = — n n–1 n
同理，第三个人取到黑球的概率是：
n – 1 × —— n – 2 × —— 1 = — 1 ； —— n n–1 n–2 n
· · · · · · 对于任意第 k 个人的情况，利用若干个随机事件 交事件的乘法公式，他取到黑球的概率仍然是： n–1 n–2 n–k+1 1 1 —— × —— ×…× ———— × ———— = — 。 n n–1 n–k+2 n–k+1 n □
已知事件B发生，此时试验所有可能 掷骰子 结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中. 于是 P(A|B)= 1/3.
容易看到
1 1 6 P ( AB) P(A|B) 3 36 P ( B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正 品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取 一件，记
因此 A 发生的条件下 B 发生的条件概率就理解为 Na b = ———— Na b / N = ———— P (AB ) P (B | A ) = —— Na Na / N P (A )
(4). 区别“条件概率” 与“交事件概率”的关 键 条件概率中的“条件”，是一个已经发生了的随 机
事件。如果没有这个信息，就必须作为交事件处理。 不能把逻辑上的条件误解成条件概率中的条件 练习1.5.4 盒子里有奖与无奖彩票各 1 张，甲、乙两人顺序 各取1 张。问有奖彩票被乙取走的概率是多少？ 提示： 在类似问题的处理中，必须注意区别“甲取无奖彩票” 究竟与“乙取有奖彩票”同时发生还是事先已经发生？
实际上，如果有 m 个黑球，n – m 个白球，n 个人 依次无放回各取走一个小球。则任意的第 k 个人 取到黑球的概率就是 m / n ，与 k 无关。
第五节 全概率公式与 Bayes ( 贝叶斯) 公式
1. 样本空间 S 的划分 ( 或完备事件组 ) 定义1.5.2 如果随机事件A1，A2，…，An 满足：
P (AB ) = C32×C20 / C52 = 0.3 ；
②
P (A ) 有两种不同的解法，依赖于如何构造 S 。
解法一：以两次抽样的结果来构造样本空间，需要 考虑顺序，因此样本空间的样本点总数是 P52 = 20 。 根据乘法原理，“第一次取出的是黑球”包含的样本
点个数有 3×4 = 12 ，因此 P (A ) = 12/20 = 0.6 ；
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ‖
用乘法公式容易求出
P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
解. 第一种解法：古典概型的理论。
不妨把黑球编成 1 号，其余白球依次为 2，…，n。 所有 n 个人的全部取球方式有 n ! 种，而第 k 个人
取到黑球则有 (n – 1 ) ! 种情况，因此，
所求的概率与 k 无关，为 1/n 。 第二种解法：条件概率的方法。
P { 第一个人取到黑球}显然是 1/n ； P { 第二个人取到黑球} = P { (第一个人取到白球)∩(第二个人取到黑球) } = P (第一个人取到白球)
解法二：以第一次抽样的结果来构造样本空间， 从 5 个小球(包含了 3 个黑球) 中随机取出一个， 因此 P (A ) = 3/5 = 0.6 ； 最后，根据条件概率的定义，有： P (B | A ) = 0.3 / 0.6 = 0.5 。
□
(2). 计算条件概率时“缩小样本空间”的思想
例1.5.1的简单解法：
这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在 某个缩小了的范围内来考虑问题.
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P ( AB) P ( A | B) P ( B)
(1)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率. 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
乘法公式应用举例
（波里亚罐子模型） b个白球, r个红球 一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地 抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行 四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取 到红球的概率.
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球 解 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
应用 定义
P ( AB) 3 36 1 解法1 P ( A | B) P ( B) 6 36 2 3 1 解法2 P ( A | B) 6 2
在B发生后的缩减样本 空间中计算
例 假定盒中装有 3 个黑球和 2 个白球，无放回
接连取两个小球，已经知道第一次取出的是黑球， 问第二次也取出黑球的概率是多少？ 解. 分别用 A、B 表示两个随机事件： A = {第一次取出的是黑球}，B = {第二次取出的是黑球}； 问题转化为计算条件概率 P (B | A ) ，根据定义， 需要求出概率 P (AB ) 与 P (A ) 。 ① 交事件AB 含义是“ 从 3 个黑球和 2 个白球的 5 个 小球中无放回地接连取出两个，取到的都是黑球”
(1) Ai∩Aj = , 对所有的 i ≠ j ； (2) A1∪A2∪…∪An = S . 则称 A1，A2，…，An 是样本空间 S 的一个划分。
样本空间也可以被划分成无穷多个随机事件的和
思考 A – B、B – A、AB、 构成 S 的一个划分。
2. 全概率公式与贝叶斯公式
假定随机事件组 A1，…，An 是样本空间 S 的一个划分，B 是任意的一个随机事件，则： 全概率公式
第四节 条件概率和乘法公式
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
条件概率满足概率的所有性质与计算公式，只需 要把条件添加在相应的公式后面即可。
0 ≤ P (B | A ) ≤ 1 ； P (B∪C | A ) = P (B | A ) + P (C | A ) – P (BC | A ) ； P (B | A ) = 1 – P (B | A ) ，等等。
无条件概率可以看成是条件概率的特例： P (B ) = P (B | S )
i 1
n
全概率公式 .
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全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件 分解为若干个已知的简单事件再求解 , 而这些简单 事件组成一个互不相容事件组 , 使得某个未知事件 A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生 ,故在
应用此全概率公式时 , 关键是要找到一个合适的 S
的一个划分 .
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件 A 的发生有各种可能的原因 ，如果 A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
P (B ) = ∑kn= 1 P (Ak ) P (B | Ak )
贝叶斯公式 对任意的 m ≥ 1，有：
P (Am ) P (B | Am ) P (Am | B ) = ——————————— ∑kn= 1 P (Ak ) P (B | Ak ) 这两个公式也适用于对样本空间的无穷划分
P A P Bi P A | Bi
B3
B1 B2
B5
B6 B8
A B4 B7
诸Bi是原因 B是结果
例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击 中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落 的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都 击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 设A={飞机被击落} Bi={飞机被i人击中}, i=1,2,3 则 A=B1A+B2A+B3A 依题意， P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1 解
B
AB A
S
3. 条件概率的性质(自行验证)
条件概率 P | A 具备概率定义的三个条件 :
1 非负性 : 对于任意的事件 B , PB | A 0 ;
2 规范性 : PS | A 1;
3 可列可加性 : 设 B1, B2 ,是两两互斥事件 , 则有
P Bi A PBi A i 1 i 1