数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题
例1．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为cm r 241=，
cm r 152=．两截面间的距离为cm d 27=，求球的表面
积．
分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．
解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于
2211,B A B A ，上述大圆的垂直于11B A 的直径交2
211,B A B A 于21,O O ，如图2．
设2211,d OO d OO ==，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+22222
22121152427R d R d d d ，解得25=R ．
)(2500422cm R S ππ==∴圆．
说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．
例2．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求
222MC MB MA ++的值．
分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
解：以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．
说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．
例3．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．
分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．
解：设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ，
则由
ππ43,3433V r V r =
=
，343π
V r =，由,3
V a =得3V a =． 3
223
24)43(44V V r S ππ
ππ===球． 32322322166)(66V V V a S ====正方体．
∴<2164π <324V π32216V ，即正方体球S S <．
说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．
例4．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
解：如图，正四面体ABCD 的中心为O ，BCD ∆的中心为1O ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．
设R OA r OO ==,1，正四面体的一个面的面积为S ．
依题意得)(3
1
r R S V BCD A +=
-， 又S r V V BCD O BCD A ⋅⨯==--3
1
44
r r R 4=+∴即r R 3=．
所以91442
2==R r ππ外接球的表面积内切球的表面积．271
3
43433==R r
ππ外接球的体积
内切球的体积． 说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 4
1
=(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=．
例5 半径为R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．
分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．
解：∵棱锥底面各边相等， ∴底面是菱形． ∵棱锥侧棱都相等，
∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．
∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥． 过该棱锥对角面作截面，设棱长为a ，则底面对角线a AC 2=，
故截面SAC 是等腰直角三角形．
又因为SAC 是球的大圆的内接三角形，所以R AC 2=，即R a 2=．
∴高R SO =，体积33
2
31R SO S V =⋅=
底． 说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的
对称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．
解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解．
例6 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===．求这个球的表面积．
分析：2
4R S π=球面，因而求球的表面关键在于求出球的半径R ． 解：设过A 、B 、C 三点的球的截面半径为r ， 球心到该圆面的距离为d ， 则2
2
2
d r R +=．
由题意知P 、A 、B 、C 四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥ABC P -（如图所示）．ABC ∆的外接圆是球的截面圆．
由PA 、PB 、PC 互相垂直知，P 在ABC 面上的射影'
O 是ABC ∆的垂心，又
a PC PB PA ===，
所以'
O 也是ABC ∆的外心，所以ABC ∆为等边三角形，
且边长为a 2，'
O 是其中心，
从而也是截面圆的圆心．
据球的截面的性质，有'
OO 垂直于⊙'
O 所在平面，
因此P 、'
O 、O 共线，三棱锥ABC P -是高为'
PO 的球内接正三棱锥，从而
'
PO R d -=．由已知得
a r 3
6=
，
a PO 3
3'=
，所以
2'2222)(PO R r d r R -+=+=，可求得a R 2
3
=
，∴2234a R S ππ==球面． 说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．
例7 已知棱长为3的正四面体ABCD ，E 、F 是棱AB 、AC 上的点，且FC AF 2=，AE BE 2=．求四面体AEFD 的内切球半径和外接球半径．
分析：可用何种法求内切球半径，把AEF D V -分成4个小体积(如图)．
解：设四面体AEFD 内切球半径为r ，球心N ，外接球半径R ，球心M ，连结
NA 、NE 、NF 、ND ，则EFD N ADE N AFD N AEF N AEFD V V V V V ----+++=．
四面体AEFD 各面的面积为
2392==
∆∆ABC AEF S S ，23332==∆∆ABC AFD S S ，4
3331==∆∆ABC AED S S ． DEF ∆各边边长分别为3=EF ，7==DE DF ，
∴34
5
=∆DEF S ． ∵2
292==
ABCD ADEF V V ，
)(3
1
DEF AED AFD AEF AEFD S S S S r V ∆∆∆∆+++=，
∴
)43543323323(3122+++=r ， ∴8
6
=r ． 如图，
AEF ∆是直角三角形，其个心是斜边AF 的中点G ．
设ABC ∆中心为1O ，连结1DO ，过G 作平面AEF 的垂线，M 必在此垂线上， 连结1GO 、MD ．
∵ABC MG 平面⊥，ABC DO 平面⊥1， ∴1//DO MG ，1GO MG ⊥．
在直角梯形DM GO 1中，11=GO ，61=
DO ，
R MD =，1222-=-=R AG AM MG ，
又∵2
2
121)(MD GO MG DO =+-，∴2221)16(R R =+--，
解得：2
10=
R ． 综上，四面体AEFD 的内切球半径为
8
6
，外接球半径为210．
说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是
因本题图形的背景较复杂．若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部．
本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．这样分割的思想方法应给予重视．
例8 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中
18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面
积．
分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式2
2
2
d R r -=求出球半径R ．
解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，
∴2
2
2
AC BC AB =+，ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 2
1
=
， ∴2
2215)2
1(=-R R ，得310=R ．
∴球的表面积为πππ1200)310(442
2===R S ．
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=
解题，我们可以通过两
个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例如，过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=
3
6
，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=
，所以222)36()33(R a R a --=得R a 3
62=．
例9 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．
解：如图，球O 是正三棱锥ABC P -的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．
PH 是正三棱锥的高，即1=PH ．
E 是BC 边中点，H 在AE 上， ABC ∆的边长为62，∴2626
3
=⨯=
HE ． ∴3=
PE
可以得到232
1
=⋅=
==∆∆∆PE BC S S S PBC PAC PAB ． 36)62(4
3
2==
∆ABC S 由等体积法，ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++= ∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=
⨯⨯363
1
3233113631 得：263
323
2-=+=
R ，
∴πππ)625(8)26(442
2
-=-==R S 球． ∴33)26(3
4
34-==
ππR V 球． 说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为
球半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为R 的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是R 2，四个球心构成一个棱长为R 2的正四面体，可以计算正四面体的高为
R R 3
62236=⨯，从而上面球离开桌面的高度为R R 3
6
22+
．
例10 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．
解：如图，等边SAB ∆为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDD C ，截球面得球
的大圆圆
1
O．
设球的半径R
OO=
1
，则它的外切圆柱的高为R
2，底面半径为R；
R
O
O
OB3
30
cot
1
=
︒
⋅
=，
R
R
OB
SO3
3
3
60
tan=
⋅
=
︒
⋅
=，
∴3
3
4
R
Vπ
=
球
，3
22
2R
R
R
Vπ
π=
⋅
=
柱
，
3
23
3
)
3
(
3
1
R
R
R
Vπ
π=
⋅
⋅
=
锥
，
∴9
6
4∶
∶
∶
∶
锥
柱
球
=
V
V
V．
例11正三棱锥ABC
P-的侧棱长为l，两侧棱的夹角为α
2，求它的外接球的体积．分析：求球半径，是解本题的关键．
解：如图，作⊥
PD底面ABC于D，则D为正ABC
∆的中心．
∵⊥
OD底面ABC，∴O、P、D三点共线．
∵l
PC
PB
PA=
=
=，α
2
=
∠APB．
∴α
αsin
2
2
cos
2
22
2l
l
l
AB=
-
=．
∴α
sin
3
3
2
3
3
=
=AB
AD，
设β
=
∠APD，作PA
OE⊥于E，在APD
Rt∆中，
∵α
βsin
3
3
2
sin=
=
PA
AD
，
又R
OA
OP=
=，∴l
PA
PE
2
1
2
1
=
=．
在POE
Rt∆中，∵
α
β
2
sin
3
4
1
2
cos
-
=
=
=
l
PE
PO
R，
∴
)
sin
4
3(2
sin
4
3
3
sin
3
4
1
2
3
4
2
2
3
3
2
α
α
π
α
π
-
-
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
=
l
l
V
球
．
说明：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．
例12 在球心同侧有相距cm
9的两个平行截面，它们的面积分别为2
49cm
π和2
400cm
π．求球的表面积．
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．
解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，
2
1
//BO
AO，且若
1
O、
2
O分别为两截
面圆的圆心，则
1
1
AO
OO⊥，
2
2
BO
OO⊥．设球的半径为R．
∵π
π49
2
2
=
⋅B
O，∴)
(7
2
cm
B
O=
同理π
π400
2
1
=
⋅A
O，∴)
(
20
1
cm
A
O=
设xcm
OO=
1
，则cm
x
OO)9
(
2
+
=．
在A
OO
Rt
1
∆中，2
2
220
+
=x
R；在B
OO
Rt
2
∆中，2
2
27
)9
(+
+
=x
R，∴2
2
2)9
(
7
20+
+
=
+x
x，解得15
=
x，
∴2
2
2
225
20=
+
=x
R，∴25
=
R
∴)
(
2500
42
2cm
R
Sπ
π=
=
球
．
∴球的表面积为2
2500cm
π．
几何体与球切、接的问题
1 球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1.1 球与正方体
如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，
O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH
和其内切圆，则2
a
OJ r ==
；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则2
2
GO R a ==
；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则
13
2
A O R '==
.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题. （1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r a =.
（2）正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有23r a =.
（3）
正方体的棱切球，如图3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有22r a =. 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）
A 2
B ．1
C ．212+
D 2思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22
AD R ==得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径. 【解析】由题意可知，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==11EF AA DD ⊂面，
∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =
点评：本题考查球与正方体“接”的问题，利用球的截面性质，转化成为求球的截面圆直径.
1.2 球与长方体
例 2自半径为
R 的
球面上一M ，引点
球的
三条两两垂直的弦
MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．
思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
【解析】以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．
点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．. 例 3已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求
出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，
4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.
【解析】正四棱柱也是长方体。

由长方体的体积16及高4可以求出
长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，
4，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径.长方体体对角线长为26，故球的表面积为24π.故选C.
点评：本题考查球与长方体“接”的问题，利用长方体的性质，转化成为求其体对角线. 2 球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
2.1正四面体与球的切接问题
（1） 正四面体的内切球，如图4. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有643
R h a ==；
（可以利用体积桥证明）
（2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有436R h a ==；（可用正四面体高h 减去内切球的半径得到）
（3） 正四面体的棱切球，如图6. 位置关系：正四面体的六条棱与球面相
切，正四面体的中心与球心重合；
数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有
6432,.3
R h a h a === 例 4设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
【解析】如图，正四面体ABCD 的中心为O ，BCD ∆的中心为1O ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离． 设R OA r OO ==,1，正四面体的一个面的面积为S ．
依题意得)(3
1r R S V BCD A +=-， 又S r V V BCD O BCD A ⋅⨯==--3
144 r r R 4=+∴即r R 3=．
所以
914422
==R r ππ外接球的表面积内切球的表面积．27
1
3
43433==R r
ππ外接球的体积内切球的体积．
2.2其它棱锥与球的切接问题
球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相
等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.
例5正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法可得：ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++=，得到263323
2-=+=R ．
【解析】如图，球O 是正三棱锥ABC P -的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．是正三棱锥的高，即1=PH ．是BC 边中点，H 在AE 上，
ABC ∆的边长为62，∴26263
=⨯=HE ． ∴3=PE 可以得到2321
=⋅===∆∆∆PE BC S S S PBC PAC PAB ． 36)62(43
2==∆ABC S
由等体积法，ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++= ∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯363132331
13631 得：263323
2-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(442
2-=-==R S 球． ∴33)26(34
34
-==ππR V 球．
点评：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半
径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法． 例6
.
思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.
【解析】此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1
，则AC=BC=CD =所求表面积是9π.(如图1)
点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体与球切接问题常用的方法．
例7 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
D. 思路分析：ABC ∆的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点O 到面ABC 的距离.由SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离即可求得棱锥的体积.
【解析】ABC ∆的外接圆半径为r 3
=，点O 到面ABC 的距离图2
C
d ,3
==SC
为球O 的直径⇒点S
到面ABC 的距离2d =此棱锥的体积为11233436
ABC V S d ∆=⨯=⨯=选A . 点评：本题难度不大，主要是利用转化与化归思想，将棱锥高应用球的几何性质计算得到．
3 球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各
例8已知有半径分别为2、3四个球都相外切，则此球的半径为.
思路分析：结合图形，分析四个球的球心A 、B 、C 、D 的位置，知AD=AC=BD=BC=5
，AB=6，CD=4.设AB 中点为E 、CD 中点为F ，连结EF.在△
ABF 中可得BF =，在△EBF 中可得EF =由于对称性可得第五个球的球心O 在EF 上，连结OA 、OD.OE+OF=EF 建立r 的方程
.
【解析】如图：设四个球的球心分别为A 、B 、C 、D
，则AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB 中点为E 、CD 中点为F ，连结EF.在△ABF 中求得
EBF 中求得
EF=由于对称性可得第五个球的球心O 在EF 上，连结OA 、OD.设第五个球的半径为r ，则OA=r+3
，OD=r+2，于是
OE+OF=EF
⇒平方整理再平方得
211+6036=0r r -解得6=
11
r 或6-（舍掉），故答案为611. 点评：本题通过分析球心的位置，根据它们构成的几何体特征，转化成平面几何中三角形边角关系，利用方程思想得解．
例9把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第
四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
【解析】四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高
3
62)332(222=⋅-=h ． 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3
622+． 点评：本题难度不大，主要是利用转化与化归思想，将棱锥高应用球的几何性质计算得到．
4 球与几何体的各条棱相切问题 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24
r a '=. 例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，
使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）
A ．3cm
B ．10 cm
C ．2
D ．30cm
思路分析：根据题意球心O 在图中AP 上，过O 作BP 的垂线ON 垂足为N ，ON=R ，OM=R ，由各个棱都为20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=102,设BPA α∠=，在Rt ∆BPM 中，由222BP BM PM =+,得103PM =.在Rt ∆PAM 中, 由
222PM AM AP =+,得102PA =在Rt ∆ABP 中得,
1022sin 202AB BP α===，在Rt ∆ONP 中得, sin ON R OP OP α==,从而22
R OP =2OP R =.在Rt ∆OAM 中, 由222OM AO AM =+,建立方程
22(1022)100R R =+即可得解.
【解析】如图所示，由题意球心在AP 上，球心为O ，过O 作BP 的
垂线ON 垂足为N ，ON=R ，OM=R ，因为各个棱都为20，所以
AM=10，BP=20,BM=10，AB=2设BPA α∠=，
在Rt ∆BPM 中，222BP BM PM =+,所以103PM =.在Rt ∆PAM 中,
222PM AM AP =+,所以2PA =在Rt ∆ABP 中, 22sin 202AB BP α===，在Rt ∆ONP 中, sin ON R OP OP
α==,所以22R OP =2OP R =.在Rt ∆OAM 中, 222OM AO AM =+,所以，22(1022)100R R =+,解得，10R =或30（舍）,所以，10,R cm =故选B.
点评：本题难度较大，主要是利用转化与化归思想，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立R 的方程．
5 球与旋转体切接问题
首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之
间的关系．
例11求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后
寻找几何体与几何体之间元素的关系．
【解析】如图，等边SAB ∆为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDD C ，截球面得球的大圆圆1O ．
设球的半径R OO =1，则它的外切圆柱的高为R 2，底面半径为R ；
R O O OB 330cot 1=︒⋅=， R R OB SO 33360tan =⋅=︒⋅=，
∴334R V π=球，3222R R R V ππ=⋅=柱， 3233)3(3
1R R R V ππ=⋅⋅=锥， ∴964∶∶∶∶
锥柱球=V V V ．
点评：本题充分利用轴截面，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径R 的联系． 例12在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小． 思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图的截面图，在图中，观察R 与r 和棱长间的关系即可． 【解析】如图，球心1O 和2O 在AC 上，过1O ，2O 分别作BC AD ,的垂线交于F E ,． 则由3,1==AC AB 得R CO r AO 3,321==．
3)(3=+++∴R r R r ， 233133-=+=
+∴r R ． （1）设两球体积之和为V ，
则))((34)(342233r Rr R R r r R V +-+=+=ππ =[]
=-+rR r R 3)(233342π⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)233(3)233(233342R R π =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--22)233(2)33(3323334R R π 当433-=R 时，V 有最小值．∴当4
33-==r R 时，体积之和有最小值． 点评：本题充分利用轴截面，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径,r R 的联系，将球的体积之和用r 或R 表示，应用二次函数的图象和性质确定其最小值．本题综合性较强，是函数与立体几何相结合的典例.。