全国信息技术优质课课件—利用贪心算法解决最短路径问题
数据结构与算法 贪婪法PPT课件
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把5子树的根与6子树的根用一条有向边相连成为一棵树，即完成两个 集合的合并，理解为原无向边 {1,3} 加入5子树。
西华大学数学与计算机学院 黄襄念
Union 操作规则： 考虑Find操作，如果树高越大，则Find操作的键比较次数就会增加。 上例Union操作没考虑这点，明显的缺点是Union后树高可能会变得 很大（想想：为什么？），最坏情况下树变成线性表（链表），Find 操作成为线性效率Ω(n)而非对数级。例如：集合{1}, {2}, {3}, {4}, {5} 的一种合并过程如图，最后得到一条线性链。需避免此种情况出现。
西华大学数学与计算机学院 黄襄念
3. 算法停止：全部顶点都包含于树中。 每次只扩展一个顶点，扩展次数 = |V|-1 = n-1
PrimMST (G) // 输入图 G = <V, E>，生成树 T = <VT, ET>
VT {v0 }
// 任选顶点v0 作为初始生成树
贪婪法PPT课件
2.2 最优子结构性质
❖最优子结构是指：一个问题的最优解 中包含它的子问题的最优解
❖例如，用合理的一套钱币实现最小兑 现问题，就满足最优子结构性质
❖当钱币面值是10、5、1时，要兑现26， 则可以用{10、10、5、1}实现。第一步 实现（取10）后，剩余问题的最优解是 {10、5、1}，是整个问题最优解的子集， 满足最优子结构性质
2. 贪婪法要满足的性质
用贪婪法解决问题时，并不能保证它能找到最 优解。但是，当问题满足下面两个性质时，贪 婪法可以找到问题的最优解。
2.1 贪婪选择性质 2.2 最优子结构性质
2.1 贪婪选择性质
❖贪婪选择性质是指：所求问题的全局 最优解，可以通过一系列的局部最优的 选择来达到
❖每进行一次选择，就得到一个局部的 解，并把所求解的问题简化为一个规模 更小的类似子问题
对任务3，找到当前花费最小的人员b∊{b, d}; -- 10
对任务4，找到当前花费最小的人员d∊{d}; -- 14
贪婪法解决任务分配问题的时间复杂度是O(n2)
4. 贪婪法完全成功解决的例子
4.1 连续背包问题 4.2 单源最短路径问题 4.3 Kruskal算法求解最小生成树 4.4 Prim算法求解最小生成树 4.5 钓鱼问题
❖三个贪心算法的复杂度都是O(nlogn)，都不能确保 求得最优解
3.4 任务分配问题
任务1 9 6 5 7
任务2 2 4 8 6
任务3 7 3 1 9
任务4 8 7 8 4
人员a 人员b 人员c 人员d
对任务1，找到当前花费最小的人员c∊{a, b, c, d};--5
对任务2，找到当前花费最小的人员a∊{a, b, d}; -- 7
最短路径问题-(PPT课件) 公开课
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
贪心法求解单元最短路径问题
实验 1. 贪心法求解单源最短路径问题实验内容本实验要求基于算法设计与分析的一般过程(即待求解问题的描述、算法设计、算法描述、算法正确性证明、算法分析、算法实现与测试) 。
应用贪心策略求解有向带权图的单源最短路径问题。
实验目的通过本次实验，掌握算法设计与分析的一般过程，以及每个步骤的基本方法。
并应用贪心法求解单源最短路径问题。
环境要求对于环境没有特别要求。
对于算法实现，可以自由选择C, C++, Java ，甚至于其他程序设计语言。
Java实验步骤步骤1：理解问题，给出问题的描述。
步骤2：算法设计，包括策略与数据结构的选择步骤3：描述算法。
希望采用源代码以外的形式，如伪代码、流程图等；步骤4：算法的正确性证明。
需要这个环节，在理解的基础上对算法的正确性给予证明；步骤5：算法复杂性分析，包括时间复杂性和空间复杂性；步骤6：算法实现与测试。
附上代码或以附件的形式提交，同时贴上算法运行结果截图; 步骤7：技术上、分析过程中等各种心得体会与备忘，需要言之有物。
说明：步骤1-6在“实验结果”一节中描述，步骤7 在“实验总结”一节中描述。
实验结果步骤1给定一个有向带权图G= ( V, E),其中每条边的权是一个非负实数。
另外，给定V 中的一个顶点，称为源点。
现在要计算从源点到所有其他各个顶点的最短路径长度，这里的路径长度是指路径上经过的所有边上的权值之和。
这个问题通常称为单源最短路径问题。
步骤2：Dijkstra 算法思想，即先求出长度最短的一条路径，再参照它求出长度此短的一条路径，以此类推，直到从源点到其他各个顶点的最短路径全部求出为止a：设计合适的数据结构。
带权邻接矩阵C记录结点之间的权值，数组dist来记录从源点到其它顶点的最短路径长度，数组p 来记录最短路径；b:初始化。
令集合S={u}，对于集合V-S中的所有顶点x,设置dist[x]=C[u][x];如果顶点i 与源点相邻，设置p[i]=u ，否则p[i]=-1 ；c：贪心选择结点。
实验项目名称∶用贪心算法解单源最短路径问题
实验项目名称：用贪心算法解单源最短路径问题一、实验目的：明确单源最短路径问题的概念；利用贪心算法解决单源最短路径问题；并通过本例熟悉贪心算法在程序设计中的应用方法。
二、实验原理：贪心算法原理：在贪婪算法（greedy method）中采用逐步构造最优解的方法。
在每个阶段，都作出一个看上去最优的决策（在一定的标准下）。
决策一旦作出，就不可再更改。
作出贪婪决策的依据称为贪婪准则（greedy criterion）。
三、实验内容与步骤：问题描述：求网（带权有向图）中从一个顶点到其余各顶点间的最短路径。
一个有向图G，它的每条边都有一个非负的权值c[i,j]，“路径长度”就是所经过的所有边的权值之和。
对于源点需要找出从源点出发到达其他所有结点的最短路径。
基本思想分步求出最短路径，每一步产生一个到达新目的顶点的最短路径。
下一步所能达到的目的顶点通过如下贪婪准则选取：在未产生最短路径的顶点中，选择路径最短的目的顶点。
设置顶点集合S并不断作贪心选择来扩充这个集合。
当且仅当顶点到该顶点的最短路径已知时该顶点属于集合S。
初始时S中只含源。
设u为G中一顶点，我们把从源点到u 且中间仅经过集合S中的顶点的路称为从源到u特殊路径，并把这个特殊路径记录下来（例如程序中的dist[i]）。
每次从V-S选出具有最短特殊路径长度的顶点u，将u添加到S中，同时对特殊路径长度进行必要的修改。
一旦V=S，就得到从源到其他所有顶点的最短路径，也就得到问题的解。
如上图所示，编程实现求从任一顶点出发到其它顶点的最短路径长度。
如下：please input the first number:00->0:00->1:450->2:100->3:250->4:450->5:50please input the first number:11->0:351->1:01->2:151->3:181->4:101->5:15please input the first number:22->0:202->1:352->2:02->3:152->4:452->5:50please input the first number:33->0:553->1:203->2:353->3:03->4:303->5:35please input the first number:44->0:634->1:284->2:434->3:84->4:04->5:5please input the first number:55->0:585->1:235->2:385->3:35->4:335->5:0四实验结果与结论自己总结五实验中遇到的问题及解决办法自己总结六实验结论自己总结参考程序段如下#include<stdio.h>#define MAX 10000int main(){int cost[6][6]={{0,50,10,MAX,45,MAX},{MAX,0,15,MAX,10,MAX},{20,MAX,0,15,MAX,MAX},{MAX,20,MAX,0,35,MAX},{MAX,MAX,MAX,30,0,5},{MAX,MAX,MAX,3,MAX,0}};int s[6],dist[6];int n;int i,j,k,m,min;clrscr();printf("please input the first number:");while(scanf("%d",&n)&&n>=0&&n<6){for(i=0;i<6;i++){s[i]=0;dist[i]=cost[n][i];}s[n]=1,dist[n]=0;for(j=1;j<6;j++){min=MAX;for(k=0;k<6;k++){if(s[k]==0&&min>dist[k]){min=dist[k];m=k;}}if(min==MAX)break;s[m]=1,dist[m]=min;for(k=0;k<6;k++){if(s[k]==0)dist[k]=(dist[k]<(dist[m]+cost[m][k]))?dist[k]:(dist[m]+cost[m ][k]);}}for(i=0;i<6;i++){if(dist[i]<MAX)printf("%d->%d:%d\n",n,i,dist[i]);}printf("please input the first number:");}}。
贪心算法和分支限界法解决单源最短路径
贪⼼算法和分⽀限界法解决单源最短路径单源最短路径计科1班朱润华 2012040732⽅法1：贪⼼算法⼀、贪⼼算法解决单源最短路径问题描述：单源最短路径描述：给定带权有向图G=(V,E),其中每条边的权是⾮负实数。
另外，还给定V中的⼀个顶点，称之为源(origin)。
现在要计算从源到其他各顶点的最短路径的长度。
这⾥的路径长度指的是到达路径各边权值之和。
Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的贪⼼算法。
Dijkstra算法的基本思想是：设置顶点集合S并不断地做贪⼼选择来扩充集合。
⼀个顶点属于集合S当且仅当从源点到该顶点的最短路径长度已知。
贪⼼扩充就是不断在集合S中添加新的元素（顶点）。
初始时，集合S中仅含有源(origin)⼀个元素。
设curr是G的某个顶点，把从源到curr 且中间只经过集合S中顶点的路称之为从源到顶点curr的特殊路径，并且使⽤数组distance记录当前每个顶点所对应的最短路径的长度。
Dijkstra算法每次从图G中的(V-S)的集合中选取具有最短路径的顶点curr，并将curr加⼊到集合S中，同时对数组distance 进⾏必要的修改。
⼀旦S包含了所有的V中元素，distance数组就记录了从源(origin)到其他顶点的最短路径长度。
⼆、贪⼼算法思想步骤：Dijkstra算法可描述如下，其中输⼊带权有向图是G=(V,E)，V={1,2,…，n}，顶点v 是源。
c是⼀个⼆维数组，c[i][j]表⽰边(i,j)的权。
当(i,j)不属于E时，c[i][j]是⼀个⼤数。
dist[i]表⽰当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。
在Dijkstra算法中做贪⼼选择时，实际上是考虑当S添加u之后，可能出现⼀条到顶点的新的特殊路，如果这条新特殊路是先经过⽼的S到达顶点u,然后从u经过⼀条边直接到达顶点i，则这种路的最短长度是dist[u]+c[u][i]。
如果dist[u]+c[u][i]1、⽤带权的邻接矩阵c来表⽰带权有向图, c[i][j]表⽰弧上的权值。
迪杰斯特拉算法（戴克斯特拉算法）（Dijkstra算法）-贪心、最短路径问题
迪杰斯特拉算法（戴克斯特拉算法）（Dijkstra算法）-贪⼼、最短路径问题戴克斯特拉算法：（英语：Dijkstra's algorithm，⼜译迪杰斯特拉算法）由荷兰计算机科学家在1956年提出。
戴克斯特拉算法使⽤了解决赋权的问题。
如图为⼀个有权⽆向图，起始点1到终点5，求最短路径lowcost数组存储下标点到起始点的最短距离，mst数组标记该点是否已标记，如下图，遍历graph数组找出初始点（点1）与个点之间的距离存⼊lowcost（距离<lowcost存⼊），*为⽆穷⼤遍历lowcost数组，找出最⼩值并且没有被标记过（mst != 0），找出的最⼩值的点标记（mst = 0），sum=4遍历graph数组，存⼊lowcost中（注意：8到2的距离+sum<lowcost[8]，所以lowcost[8]=graph[2][8]+sum）注意：mst[1]是等于0的，下⾯都是0遍历lowcost数组，找出最⼩值，sum=7以下都依次类推...输⼊：9 14 1 5 1 2 41 8 82 8 32 3 88 9 18 7 63 9 29 7 63 4 73 6 47 6 24 6 144 5 96 5 10输出：24代码：#include <iostream>#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAX 100#define MAXCOST 0x7fffffff //int型最⼤值void prim(int graph[][MAX],int n,int start,int end){int lowcost[MAX];int mst[MAX];int sum=0;for(int i=1;i<=n;i++)//将与各点与起始点的距离存⼊lowcost中{lowcost[i]=graph[start][i];mst[i]=1;}mst[start]=0; //起始点被标记for(int i=1;i<=n;i++){if(mst[end]==0)//终点被标记结束{cout<<sum;break;}int min=MAXCOST;int minid=0;for(int j=1;j<=n;j++)//遍历lowcost数组，找最⼩值{if(lowcost[j]<min && mst[j]!=0){min=lowcost[j]; //最⼩值minid=j; //最⼩值下标}}//cout<<"V"<<mst[minid]<<"-V"<<minid<<"="<<min<<endl;sum=min;//cout<<sum<<endl;mst[minid]=0; //最⼩值下标点被标记for(int j=1;j<=n;j++)//找最⼩值点与各点的距离{if(graph[minid][j]==MAXCOST)//如果此点与最⼩值点没有联系（距离为最⼤值）则lowcost不变，跳过{continue;}else if(graph[minid][j]+sum<lowcost[j] && mst[j]!=0)//此点与最⼩点有联系，并且+sum<lowcost 并且此点没有被标记，则赋值给lowcost {lowcost[j]=graph[minid][j]+sum;}}}}int main(){int n,m;int start,end;int graph[MAX][MAX];cin>>n>>m>>start>>end;//初始化图Gfor(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){graph[i][j]=MAXCOST;}}//构建图Gfor(int k=1;k<=m;k++){int i,j,cost;cin>>i>>j>>cost;graph[i][j]=cost;graph[j][i]=cost;}prim(graph,n,start,end); return0;}。
《最短路径问题》课件
A A1
符合条件的路径,并标明桥的位置.
ll12
l3 B1 l4 B
课堂小结
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
即AM+NB+MN的值最小.
M′ a M
b
N′
N
∙B
新知探究 跟踪训练
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行）， 现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何 选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，且使得AC的 长等于河宽； （2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作 MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置. A
点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此
时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小.A∙ M
a
A′
b
N
∙B
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线 b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所 得路径AMNB是最短的.
A∙ M
《最短路径问题》
知识回顾
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找
一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与
直线l的交点.
A
C
l
B
1.两点一线型.
如图，点A，B是直线l同侧的两
B
点，在直线l上找一点C使得
A
AC+BC的值最小，这时先作点B
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每次优先选取离出发点 距离最近的点，然后在以该 点为基础，更改出发点到其 它各顶点的距离，通过比较， 逐步找到从出发点到终点的 最短路径。
介绍算法，布置任务，建模推导
✓ 设计意图：布置任务，利用贪心算法模拟物流机器人如何自主找到从公司到客户家的 最短路径？
请你利用贪心算法模拟 物流机器人 如 何 自 主 找到 从公司到客户 家 的最短路 径？
xx
20 1 9
目录
1 说教材 2 说学情 3 说教学目标 4 说教学重难点 5 说教法学法 6 说教学过程
01
➢ 教材版本：上海科技教育出版社高中信息技术 选修《算法与程序设计》第一章第二节《算法 的作用》
➢ 主要内容：运用算法解决问题
➢ 地位与联系：承上启下
02
高二 学生
1 初步了解了算法和程序的知识 2 具备一定的抽象思维和逻辑推理能力 3 缺少利用算法解决实际问题的经验
01 这么多条路啊？ 02 选那一条？ 03 选最短的吧，省时间
最
从起点到达终点，
短 所有路径中边值总和最
路 径
小的路径。
导入新课
✓ 设计意图：紧接着向学生展示最短路径在人工智能、网络通信、物流快递等领域的应用， 介绍研究最短路径问题的意义，激发学生学习的热情。
01 节省时间
02 节省成本
03 提高效率
最短 路径
利用贪心
算法解决 最短路径
作业：有哪些解决最短路径的算法？各自的优缺点？
算法名称
原理
优点 缺点
贪心 算法
板书设计
利用贪心算法解决最短路径问题
1、最短路径定义。 2、贪心算法的概念。 3、利用贪心算法解决最短路径问题的
步骤。 4、总结。
感谢 欢迎
20 1 9
03
知识与技能
1、了解最短路径的概念。 2、掌握贪心算法的本质。 3、熟练运用贪心算法解决 最短路径问题。
过程与方法
通过合作探究、任务 驱动、分组学习等方法， 深入研究利用贪心算法 推导最短路径的过程， 归纳算法步骤，提升学 生分析问题、解决问题 和归纳问题的能力。
情感态度价值观
1、感受算法与生活的紧密 联系。 2、体验算法在解决问题过 程中的作用。 3、培养学生勤于思考，勇 于实践和团结协作 的精神 。
dis [v1]
dis [v2]
dis [v3]
w
初始
1
2
3
趁热打铁，归纳步骤
✓ 设计意图：结合任务解决过程，师生 共同归纳出利用贪心算法解决最短路 径问题的步骤，并通过流程图演示算 法的运行过程，掌握重点，突破难点， 为利用贪心算法解决此类问题打下坚 实的基础。
开始 将起始点V0放入S中
判断所有节
Y
点是否都求
出最短路径
N
选取不在S中且具有最小 距离的顶点Vi
找到最小
Y
距离的顶
点Vi
N
修改不在S中的顶点的距离
顶点Vi加入S中
结束
巩固知识，能力提升
✓ 设计意图：提高利用贪心算法解决最短路径问题的难度，设计物流配送任务，通过教师指导， 小组合作，提升学生整体解题能力，巩固所学知识，也是对本节课教学重难点的再次突破。
创建问题，自主探究
✓ 设计意图：结合生活实例，创建简单的最短路径问题，让学生通过自主探究，得出结果。
帮助快递小哥找到 从公司到客户家的最短 路径？
创建问题，自主探究
✓ 设计意图：对学生使用的方法进行分析，指出不足，并提出一种新的解决办法。
方案 1 2 3
路径 公司→书店→家 公司→超市→家 公司→超市→书店→家
假如A地为仓库，公司要 向不同的售货点供货，为了 节约成本，因此要计算出从A 点出发通向每个售货点的最 短距离路径。也就是求解图 中顶点A到图中其它各顶点的 最短路径，图中每个顶点代 表一个售货点。
课堂小结，作业布置
✓ 设计意图：简要回顾本节课内容，强调算法在解决问题时所起的作用，布置作业：请 学生在课下查阅资料，寻找其它解决最短路径问题的算法，和本节课所学内容做比较， 分析优缺点，开阔学生视野。
长度 7公里 7公里 6公里
枚举
比较
得出 长、效 率低。
解决办法
利用贪心算 法解决最短路 径问题。
介绍算法，布置任务，建模推导
✓ 设计意图：介绍贪心算法，给出利用贪心算法解决最短路径的方案，激发学生求知欲。
贪心算法
方案
问题求解时，总是 做出在当前最好的选择。
04
教学重点
利用贪心算法推导最短路径的过程
教学难点
归纳利用贪心算法解决最短路径问题的步骤
05
采用教法设计：
案例分析法 任务驱动法 分组教学法 演示法 归纳法
采用学法设计：
自主探究 协作学习 学练结合
06
情景导入
✓ 设计意图：利用谚语“条条大路通罗马”，提出“面对这么多条通往罗马的道路，要想最快 到达这个城市，你会选择哪一条？”引出最短路径问题，让学生了解最短路径定义。
介绍算法，布置任务，建模推导
✓ 设计意图：在教师的指导下分析问题，建立模型。
介绍算法，布置任务，建立模型
✓ 设计意图：学生以合作探究作的方式，利用算法运算表模拟推导过程，并通过演示动画进行验证， 分析算法的优点，体验贪心算法在推导最短路径时所起的作用，突出教学重点。
算法运算表
演示动画
过程
S集
T集