4 质数 算术基本定理

§4 质数 算术基本定理 一、教学目标：

通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求： 一级目标：掌握算术基本定理；

二级目标：掌握质数和合数的概念。

二、教学内容和重、难点：

1. 质数和合数

2. 算术基本定理

3.标准分解式

重点：算术基本定理

难点：算术基本定理的证明

三、教学方法和教具使用：

讲授法。

四、教学过程：

定义 如果一个大于1的整数的正因数只有1和它本身，那么就把这个整数叫做质数.否则就叫合数.

定理1 设a 是任何一个大于1的整数，则a 的除1以外的最小正因数q 是质数，且当a 是合数时，

证 假设q 不是质数，由质数的定义得，q 除1和它本身外还有一个正因数1q ，因而

11q q <<.但|q a ，故1|q a ，这与q 是a 的最小正因数矛盾.故q 是质数.

当a 是合数时，1,a a q =且11q a <≤，故21,a a q q q =≥ 定理2 若p 是一质数，a 为任一整数，则|p a 或(), 1.p a =

证 因(),|p a p ，p 为质数，故()(),1,.p a p a p ==或而当(),1p a =时，|.p a 故

(),1|.p a p a =或

推论2.1 设12,,

,n a a a 是n 个整数，p 是质数. 若12|n p a a a ，则p 整除某个.k a

证 若/|,1,2,

,i p a i n =，则(),1,1,2,,.i p a i n ==于是()12,1n p a a a =，这与

12

|n p a a a 矛盾.

定理3（算术基本定理）任意大于1的整数都能表示成质数的乘积，即对任一整数1a >，

有

12

12,n n a p p p p p p =≤≤≤ （1）

其中12,,

,n p p p 是质数，并且若

12

12

,m m a q q q q q q =≤≤ （2）

其中12,,

,m q q q 是质数，则,,1,2,

,.i i m n q p i n ===

证 首先用数学归纳法证明（1）式成立. 当2a =时，显然（1）式成立. 假设对于一切小于a 的正整数（1）式成立. 下面根据此归纳假推出（1）式对正整数a 也成立. 当a 为质数时，显然（1）式成立. 当a 为合数时，存在两个正整数,b c 满足条件

由归纳假设，b 和c 都分别能表示为质数的乘积，故a 能表示成质数的乘积，即（1）式成立.

其次，证明表示的唯一性. 若对a 同时有（1），（2）两式成立，则

1212n m p p p q q q = （3）

由定理3知，分别有质数,k j p q 使得11|,|.j k p q q p 但,j k q p 都是质数，故

11,.j k p q q p ==又11,k j p p q q ≥≥，故同时有11q p ≥和11,p q ≥因而11.q p =由（3）式得 2

2

.n n p p q q =同理可得2233,,

,q p q p ==依此类推下去，最后得,.n n m n q p ==

推论3.1 任意一个大于1的整数a 都能唯一地表为

1212,0,1,2,

,k k i a p p p i k αααα=>= （4）

其中()i j p p i j <<是质数.

（4）叫做a 的标准分解式.

推论3.2 设a 是一个大于1的整数，且 则a 的正因数d 可以表示为

1212,0,1,2,

,k k i i d p p p i k βββαβ=≥≥=. （5）

且当正整数d 可以由上式表示时，d 为a 的正因数.

证 设d 为a 的一个正因数，则当1d =时，d 可以表示为00012k d p p p =. 当1d >时，

因|,d a 故d 的质因数必为a 的质因数. 而12

12

,0,1,2,

,,k k i a a p p p a i k αα

α==>=从

而d 可以表示为 下面证明,1,2,

,.i i a i k β≤=

因|,|i i p d d a β

，故|.i i p a β

但因12

12

k k a p p p αα

α=，故1212|i k k p p p p βααα. 而()

111111,1i

i i k a i

i i k p

p p p p βααα-+-+=，故|,,,1,2,

,.i i i i i i i i i i p p p p i k βαβαβα≤≤=故a

的每个正因数d 都可以由（5）表示出来.

反之，当正整数d 可以由（5）式表示出来时，显然d 为a 的一个正因数.

附记 如把推论2中的条件“0,1,2,,i a i k >=”改为“0,1,2,

,i a i k ≥=”

，结论仍然成立.

推论3.3 设,a b 是任意两个正整数，且

121

2

1212

,0,1,2,,,,0,1,2,

,,

k k

k i k i a p p p i k b p p p i k αααβββαβ=≥==≥= （6）

则

()[]12

1

2

1212,,,,

k k

k k a b p p p a b p p p γγγ

δδδ

== （7）

其中()()min ,,max ,,1,2,,.i i i i i i i k γαβδαβ===

证 由（6）式易知12

12

k k p p p γγ

γ为,a b 的一个公因数，12

12k k p p p δδδ为,a b 的一个

公倍数（其中()()min ,,max ,i i i i i i γαβδαβ==，1,2,

,i k =）.

设d 为,a b 的任意一个正公因数，则由推论2及其附记得，d 可以表示为 其中0,0,1,2,

,i i i i k θαθβ≤≤≤≤=.故0,1,2,

,.i i i k θγ≤≤=于是

1212k k d p p p γγγ≤.于是，1212k k p p p γγγ为,a b 的最大公因数.

设m 为,a b 的任意一个正的公倍数，则|,|.a m b m 因|,|,1,2,

,i i i i p a p a i k α

β

=，故

|,1,2,,i i p m i k δ=.但1212,,,k k p p p δδδ两两互质，故

12

121212|,.k k k k p p p m p p p m δδδδδδ≤于是12

12k k p p p δδδ为,a b 的最小公倍数.

故（7）式成立.

根据定理1，可以构造质数表. 下面构造50

所有质数2,3,5,7.

2,3,5,7.把不超过50的所有正整数，首先划去