2.3.3直线与平面垂直的性质(教案)
2.3.3-2.3.4直线与平面垂直的性质
2 a,E 为 PA 的中点.
求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.
名师导引:证明平面 EDB⊥平面 ABCD 的思路是 什么?(在平面 EDB 内寻找一条直线与平面 ABCD 垂直) 证明:设 AC EO∥PC. BD=O,连接 EO,E 为 PA 的中点,则
∵PC=CD=a,PD=
2 2 2
2 a,
跟踪训练 1 1:如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC.
求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点.
证明:(1)∵四边形 ADD1A1 为正方形, ∴AD1⊥A1D. 又 CD⊥平面 ADD1A1, ∴CD⊥AD1. ∵A1D CD=D, ∴AD1⊥平面 A1DC. 又 MN⊥平面 A1DC, ∴MN∥AD1. (2)连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC,
l⊥β)
1:地面上有两根相距 a 米的与地面 垂直的立柱,它们的高分别是 b 米和 c 米(b>c), 则它们上端的距离为 米.
解析:如图所示,根据题意可 知 AD=b,BC=c,AB=a,由线面垂 直的性质可得这两根立柱平 行,过点 C 向 AD 作垂线,设垂 足为 E,则可得 CD= 答案:
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
课前预习
栏 目 导 航
课堂探究
【课标要求】
1.通过直观感知、操作确认,归纳出直线与 平面、平面与平面垂直的性质定理. 2.掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直 的性质,并能运用性质定理解决一些简单 问题. 3.掌握平行与垂直之间的转化.
【实例】 在日常生活中常见到一排排和地面垂 直的电线杆.一排电线杆中的每根杆都与地面 垂直,那平面垂直的性质定理
2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质必修2教案学校：临清试验高中学科：数学编写人：贾红国审稿人：邢玉兰王桂强2.3.3直线与平面垂直的性质【教学目标】（1）培育同学的几何直观力量和学问的应用力量，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明.（2）把握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简洁应用。
（3）把握等价转化思想在解决问题中的运用.【教学重难点】重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简洁应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【教学过程】（一）复习引入师：推断直线和平面垂直的方法有几种？师：各判定方法在何种条件或情形下方可娴熟运用？师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？推断下列命题是否正确:1、在平面中，垂直于同始终线的两条直线相互平行。
2、在空间中，垂直于同始终线的两条直线相互平行。
3、垂直于同一平面的两直线相互平行。
4、垂直于同始终线的两平面相互平行。
师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已讨论过，这节课我们来共同探讨直线和平面假如垂直，则其应具备的性质是什么？（二）创设情景如图，长方体ABCD-ABC'D中,棱AA∖BB∖CC∖DD，所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有什么位置关系？（三）讲解新课例1已知：a,bO求证：b0a师：此问题是在a,b的条件下，讨论a和b是否平行，若从正面去证明b0a,则较困难。
而利用反证法来完成此题，相对较为简单，但难在帮助线S 的作出，这也是立体几何开头的这必修2教案部分较难的一个证明,在老师的知道下,同学尝试证明,稍后老师指正. 生:证明:假定b不平行于a,设bO,b，是经过点0的两直线a平行的直线.a0b,z a,b,即经过同一点O的两直线b卜都与垂直,这是不行能的,因此b0a.有了上述证明,师生可共同得到结论.：直线和平面垂直的性质定理:假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它例2.已知I,I,求证a〃.证明：设I=A,I=B在内过点A取两条直线a和bBI 且B与相交，设=cIIa,同理IC在平面中：1a,Ica∕∕c又a,ca//,同理b〃又ab=A//下列命题中错误的是（C）A、B、C、若始终线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的全部直线。
2.3.3-4线面垂直面面垂直的性质课件
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
C
平面PAC∩平面ABC＝AC,
BC 平面ABC
A
O
B
∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了 一种证明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
练习1. 两个平面互相垂直,下列命题正确 的是 ( ) A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
一符个号平表面示的：有哪些位
l
b
置关系?
Ⅱ.概括结论
bbbll 面bb面垂 直该命题正确线吗？面垂直
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（× ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。
P
作业：
1：如图：已知PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC，求证： A
C
BC⊥平面PAB
2.如图：以正方形ABCD的对角线AC为 B
折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求
BD与平面ABC所成的角。
D
D
折成
A
O
CA
2.3.3-2.3.4直线与平面、 平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案要求：1. 学生年级：高中数学或几何学课程2. 课时：1课时3. 主题：直线与平面垂直的性质教学目标：1. 了解什么是直线与平面垂直的几何关系；2. 掌握直线与平面垂直的判定条件；3. 能够解答直线与平面垂直相关的数学问题。
教学准备：1. 平面几何教材；2. 黑板、白板或投影设备；3. 教学PPT或展示素材。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入问题：什么是直线与平面垂直的几何关系？- 引导学生回顾直线与平面的定义，根据直观经验，直线与平面垂直表示什么意思？2. 探究（10分钟）- 提示学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直？- 引导学生尝试给出判定准则，并解释其原理。
- 让学生讨论并交流，引导他们总结判定直线与平面垂直的条件。
3. 讲解（15分钟）- 结合学生的讨论结果，给出判定直线与平面垂直的条件，并用几何公式或示意图进行解释。
- 强调判定条件的重要性并给出几个典型的示例。
4. 示例分析（10分钟）- 提供一些例题或实际问题，让学生运用所学的知识判定直线与平面之间的垂直关系。
- 引导学生分析和解答问题，让他们积极思考并应用所学知识。
5. 拓展应用（10分钟）- 提供一些更复杂或具有挑战性的问题，让学生应用所学知识解决。
- 引导学生思考解决问题的方法和步骤，并鼓励他们进行讨论和合作。
6. 小结（5分钟）- 总结本节课所学的内容和思考问题，并强调直线与平面垂直的判定条件。
- 提醒学生复习和巩固所学的知识，并鼓励他们提出对直线与平面垂直性质的理解和感悟。
教学延伸：如果时间允许，可以让学生进行实践活动或小组讨论，进一步探究直线与平面垂直性质的应用。
可以使用动画或虚拟现实技术来展示直线与平面垂直的几何关系，以增加学生的兴趣和参与度。
直线与平面垂直的判定(教学设计)
教学设计直线与平面垂直的判定一．教材分析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直关系转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的根底，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
二．学情分析学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线〔共面或异面〕互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论〞的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。
三．教学目标根据新课标要求和和教学内容的构造特征，学生获得知识、技能、方法及情感、态度、价值观等方面的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：〔1〕使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；〔2〕使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；〔3〕引导学生学会观察、发现问题、提炼结论，使他们在直观感知，操作确认的根底上学会归纳、概括结论。
〔1〕通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；〔2〕通过学生动手实践，亲身经历数学知识的形成过程，体验探究的乐趣，增强学习数学的兴趣。
培养学生学会从“感性认识〞到“理性认识〞过程中获取新知。
培养学生认真参与积极交流的主观意识；勇于探索新知的精神。
渗透由具体到抽象的思想及事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
四．教学重点、难点依据新课标要求及本节课在高中数学中的地位和作用确定以下重点和难点教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理。
教学难点：直线与平面垂直定义的正确理解；判定定理的探究和线线垂直与线面垂直关系的灵活相互转化。
五．教法和学法教法：讲授法；探究法；多媒体辅助教学法。
学法：本节课注重让学生认真观察分析、积极思考、主动探索、合作交流，尽可能增加学生参与课堂的时间；通过练习使学生稳固知识，熟练应用知识解决简单问题。
六．教学环境和教学用具教学环境：多媒体教室；教学用具：利用计算机多媒体课件辅助教学，黑板、三角板，自制三角形纸片，正方体模型，课本〔表示平面、书脊表示直线〕。
§2.3.3直线与平面垂直的性质导学案
§2.3.3直线与平面垂直的性质导学案编号21 班级 姓名主编人：吴振民 审核人：张永宏【学习目标】1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力 .2、掌握直线与平面垂直的性质定理的应用，提高逻辑推理能力。
【学习重难点】直线与平面垂直的性质定理及其应用一．预习1、直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？2、直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？ 二．探究.直线与平面垂直的性质定理思考1：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？思考2：一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？思考3：如果直线a ，b 都垂直于平面α，由观察可知a//b ，从理论上如何证明这个结论？直线与平面垂直的性质定理： 符号语言： 证明：证明此结论的方法叫做什么法？A A 1BC DB 1C 1D 1应用1：如图，已知,,l CA αβα=⊥于点A ，CB β⊥ 于点B ，,,a a AB α⊂⊥求证：//a l .三．课堂小结四．目标检测1.如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的 ( )A 、一条直线不相交B 、两条直线不相交C 、无数条直线不相交D 、任意一条直线都不相交2、若直线l 上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( )A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、平行、相交或在平面α内 3、过一点可作________个平面与已知平面垂直.4、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.5、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直 1、判断下列命题是否正确；（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ） （2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行；（ ）（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂 直，则这两条直线互相垂直（ ）五．课后作业（模块测评41页例1以及后面的变式训练） 六．课后反思A B Cαβ la。
高一数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质导学案(解析版)
2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质一、课标解读1.掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
2.掌握等价转化思想在解决问题中的运用.3.使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.4.能运用性质定理解决一些简单问题.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.二、自学导引问题1：如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：已知：a α⊥，b α⊥。
求证：b ∥a直线和平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号语言作用：a b问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？问题4：如图，长方体ABCD－A'B'C'D中，平面A'ADD’与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？问题5：设α⊥β，α∩β＝CD，A B α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，研究直线AB与平面β的位置关系。
归纳得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
想一想：用符号语言如何表述这个定理?三、典例精析例1 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，D A AC EF 1及与异面直线都垂直相交. 求证：EF ∥1BD变式训练1 如图所示，已知SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交 .,,,,G F E SD SC SB 于求证：SB AE ⊥例2 如图所示，平面⊥⊥PAC ABC PAB 平面平面,平面ABC ，⊥AE 平面PBC ,E 为垂足.（1） 求证：ABC PA 平面⊥（2） 当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形变式训练2 如图所示，是所在平面外一点，是四边形ABCD ABCD P60=∠DAB 且 边长ABCD PAD a 面垂直于底面为正三角形，其所在平的菱形，侧面. (1) 若PAD BG AD G 平面边的中点，求证：为⊥ (2) 求证：PB AD ⊥四、自主反馈 1．两异面直线在平面α内的射影（ ）A ．相交直线B ．平行直线C ．一条直线—个点D ．以上三种情况均有可能2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）A ．有且只有—个B ．可能存在也可能不存在C ．有无数多个D ．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（ ）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确4．若平面α的斜线l 在α上的射影为l ′，直线b ∥α，且b ⊥l ′，则b 与l （ ）A ．必相交B ．必为异面直线C ．垂直D ．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长． 其中，正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个 n 4个6．在下列四个命题中，假命题为（ ）A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P 是四边形ABCD 所在平面外一点且P 在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD 内，若P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（ ）A ．圆内接四边形B ．矩形C ．圆外切四边形D ．平行四边形8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离等于（ ）A ．5B ．52C ．35D ．45答案2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质例1 证明：连接BD C B AB ,,11ABCD AC ABCD DD 平面平面⊂⊥,1D DD BD BD AC AC DD =⊥⊥∴11,, 又111,BD AC B BDD AC ⊥∴⊥∴平面C AB BD C B BD 1111,平面同理可证⊥∴⊥C BD A AD EF AC EF 11//,,又⊥⊥C AB EF C B EF 11,平面⊥∴⊥∴1//BD EF ∴例2 证明（1）在平面F AC DF D ABC 于作内取一点⊥,AC ABC PAC 且交线为平面平面,⊥AP DF PAC PA PAC DF ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面AP DG G AB DG ⊥⊥同理可证于作,D DF DG ABC DF DG = 内，且都在平面,ABC PA 平面⊥∴(2)连接H PC BE 于并延长交BE PC PBC E ⊥∴∆的垂心，是又已知AE PC PBC AE ⊥∴的垂线，是平面AB PC ABE PC ⊥∴⊥∴,平面PAC AB AB PA ABC PA 平面平面又⊥∴⊥∴⊥,, 是直角三角形即ABC AC AB ∆⊥∴,变式训练1.SA BC ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,平面，平面证明：SAB SA SAB AB A SA AB AB BC 平面平面⊂⊂=⊥,,, BC AE SAB AE SAB BC ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面 SC AE AEFG AE AEFG SC ⊥∴⊂⊥,,平面平面 SBC BC SBC SC C BC SC 平面平面又⊂⊂=,, SB AE SBC SB SBC AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面2.略自主反馈1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D。
2.3(3)直线平面垂直的判定及其性质(教学设计)
2.3（3）直线与平面垂直的判定及其性质（教学设计）2.3.3直线与平面垂直的性质院 2.3.4平面与平面垂直的性质一、教学目标1、知识与技能（1）掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）经历面面垂直到线面垂直再到线线垂直的思维过程.3、情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认，推理证明”，形成空间思维意识,会用图形和符号表达空间图形，体验数学的应用价值.二、教学重点、难点重点：线面垂直和面面垂直的性质定理的证明及应用.难点：线面垂直和面面垂直的两个性质定理的应用.三、教学方法与教学用具（1）教学方法：直观感知、操作确认，猜想与证明.（2）教学用具：长方体模型四、教学设计（一）复习回顾1、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
2、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
（二）创设情景，导入新课设问：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？（三）师生互动，新课讲解1、思考引出线面垂直的性质定理思考1：观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？思考2：已知直线a ⊥α 、b ⊥α、那么直线a 、b 一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b ’是经过点O 的两直线a 平行的直线.a ∥b ’, a α⊥,∴ b ’ α⊥即经过同一点O 的两直线b ,b ’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a.定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
《直线,平面垂直的判定及其性质》教案(新人教必修)
§2.3.1直线与平面垂直的判定一、教案目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）通过教案活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教案重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教案设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
《直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质》教学设计(优质课)
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.（二）教学重点、难点两个性质定理的证明.（三）教学方法学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.1．问题：已知直线a、b 和平面，如果a ,b ，那么直线a、b 一定平行吗？已知 a ,b 求证：b∥a.证明：假定b 不平行于a，设b =0 b′是经过O与直线a 平行的直线∵a∥b′，a∴b′⊥a即经过同一点O 的两线b、b′都与垂直这是不可能的，因此b∥a.2．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行简化为：线面垂直线线平行AA′、BB′、CC′、DD′ 所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b 归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法” 师生边分析边板书.学，培养几何直观能力. ，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.探索新知二、平面与平面平行的性质定理1．问题黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？2．例1 设，=CD，AB ，教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题生：借助长方体模型，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.2．平面和平面垂直的性质补充完善 .归纳知识提高3．面面垂直 线面垂直 线线垂直自我整合知识的能力. 课后作业2.3 第三课时 习案 学生独立完成固化知识提升能力备选例题例 1 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置桌面，另一条直 桌面所在的平面 垂直，a 是 内一条直线，若斜边 AB 与 a 垂 是否与 a 垂直？a AC 解析】 ACa AB aAC AB A评析】若 BC 与 垂直，同理可得 AB 与 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： “线线垂直→线面垂直→线线垂直”例 2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已 知 ⊥r ， ⊥r ， ∩ = l ，求证： l ⊥r ．【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在 r 内构造两相交直线分别与平面 、 垂 直．或由面面垂直的性质易在 、 内作出平面 r 的垂线，再设法证明 l 与其平行即可．【证明】法一：如图，设 ∩r = a ， ∩r = b ，在 r P ．过点 P 在r 内作直线 m ⊥ a ，n ⊥b ．∵ ⊥r ， ⊥r ，∴ m ⊥ a ，n ⊥ （面面垂直的性质） 又 ∩ = l ，a 平面 ABC BC 平面 ABCa BC角边 AC 与 直，则 BC内任取一点∴ l ⊥ m ，l ⊥n ．又 m ∩n = P ，m ，n r ∴l ⊥r ．法二：如图，设 ∩r = a ， ∩r ∵ ⊥r ， ⊥r ， ∴m ⊥r ，n ⊥r ． ∴ m ∥ n ，又 n ，m ， ∴ m ∥ ，又 ∩ = l ，m ，b ，在 内作 m ⊥a ，在 内作 n ⊥ b ．∴ m ∥ l ， 又 m ⊥r ，∴l ⊥r ．【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法 面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益 的．充分利用面。
直线与平面垂直的性质
可编辑ppt
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五、过程设计 (三) 线面垂直性质定理的应用
２、已知m、n是两条相交直线，L1、L2 是与 m、n都垂直的两条直线，且直线L与L1、L2都 相交．求证 ：12
证 直 ： m 线 m 、 nno确定一个平l面 1 1
l2
2
又 l m ,l n , l
三、教法分析
遵循新课程标准的教学理念，采用以“学生为 主体，教师为主导”的启发引导式的教学方法， 并且采用多媒体课件等教学手段，增大教学的容 量和直观性，有效提高教学效率和教学质量。
可编辑ppt
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2.3.3 直线与平面垂直的性质
1、通过创设问题情境，联系生活实例，猜想定理， 体现数学知识来源于实践的道理。
如果两条直线与平面所成的角相等，则两直线平行吗？
a a b' b b
a a bb
1
2
o o 1
A1
1
o11o1
2 oo22 A2
2
结论：平行、相交、异面可编辑ppt
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五、过程设计 (二) 线面垂直性质定理的探究
问题④：设直线a,b分别在正方体ABCD-A1B1C1D1中两个不
同的平面内，欲使a∥b,a,b应满足什么条件？
D1 A1
D1
C1
AB1 1
a C1
B1 A1
D1
a
ab
D
C1 B1
D
CD
C
C
A
A
B
(1)
B
A
B
(2)
结论：令它们同时垂直于同一可编个辑平ppt面！
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五、过程设计 (三) 线面垂直性质定理的应用
10.示范教案(2.3.3 直线与平面垂直的性质)
2.3.3 直线与平面垂直的性质整体设计教学分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用. 三维目标1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力. 重点难点直线与平面垂直的性质定理及其应用. 课时安排 1课时教学过程复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a ⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：⎭⎬⎫⊥⊂ααb a ⇒b ⊥a. 导入新课思路1.(情境导入)大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图2推进新课新知探究 提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA′、B B′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒b ∥a. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5. ⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 应用示例思路1例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a ⊥α,b ⊥α. 求证：a ∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O ∈b′,a ∥b′. 直线b′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c. ∵a ⊥α,b ⊥α,∴a ⊥c,b ⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O ∈b,O ∈b′,b ⊂β,b′⊂β,a ∥b′显然不可能，因此b ∥a.例2 如图7，已知α∩β=l,EA ⊥α于点A,EB ⊥β于点B,a ⊂α,a ⊥AB. 求证:a ∥l.图7证明：⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l ⊥平面EAB.又∵a ⊂α,EA ⊥α,∴a ⊥EA.又∵a ⊥AB,∴a ⊥平面EAB. ∴a ∥l.思路2例1 如图8,已知直线a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α. 求证：a ∥α.图8证明：在直线a 上取一点A ，过A 作b′∥b ，则b′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b′作平面β，设α∩β=a′,∵b′∥b ，a ⊥b,∴a ⊥b′.∵b ⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α.又∵a′⊂α,∴b′⊥a′.由a ，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a ，b′⊥a′知a ∥a′.∴a ∥α.例2 如图9，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ； （2）若∠PDA=45°，求证:MN ⊥面PCD.图9证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE ∥CD,NE=21CD. 又∵AM ∥CD,AM=21CD, ∴AMNE.∴四边形AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE.∵⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD ⊥AE.(2)当∠PDA=45°时,Rt △PAD 为等腰直角三角形, 则AE ⊥PD.又MN ∥AE, ∴MN ⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN ⊥平面PCD. 变式训练已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和平面α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角.求证：l ⊥α.证明：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO=BO=CO.设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA 、△POB 、△POC 中，∵PO=PO=PO ，AO=BO=CO ，∠POA=∠POB=∠POC ， ∴△POA ≌△POB ≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB 的中点D,连接OD 、PD ，则OD ⊥AB ，PD ⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB ⊥平面POD. ∵PO ⊂平面POD,∴PO ⊥AB. 同理,可证PO ⊥BC.∵AB ⊂α，BC ⊂α，AB∩BC=B,∴PO ⊥α，即l ⊥α.若l 不经过点O 时，可经过点O 作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α， ∴l ⊥α. 知能训练如图10，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a, （1）求证：BD 1⊥平面B 1AC; （2）求B 到平面B 1AC 的距离.图10（1）证明：∵AB ⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C,∴B 1C ⊥面ABC 1D 1. 又BD 1⊂面ABC 1D 1,∴B 1C ⊥BD 1. ∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC,∴AC ⊥面BB 1D 1D.又BD 1⊂面BB 1D 1D,∴AC ⊥BD 1. ∴BD 1⊥平面B 1AC.（2）解:∵O ∈BD,∴连接OB 1交BD 1于E. 又O ∈AC ，∴OB 1⊂面B 1AC. ∴BE ⊥OE ，且BE 即为所求距离.∵1BD BD OB BE =,∴BE=1BD BD ·OB=a a aa 332232=•. 拓展提升已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD 在平面α内，AB ∶CD=4∶6，AB 到α的距离为10 cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离.图11解：如图所示，过B 作BE ⊥α交α于点E ，连接DE, 过O 作OF ⊥DE 交DE 于点F,∵AB ∥CD ，AB ⊄α，CD ⊂α，∴AB ∥α.又BE ⊥α, ∴BE 即为AB 到α的距离，BE=10 cm 且∠BED=90°. ∵OF ⊥DE,∴OF ∥BE,得BDODBE OF =. ∵AB ∥CD,∴△AOB ∽△COD.∴46==AB CD OB OD ，得53106==BD OD . 又BDOD BE OF =，BE=10 cm, ∴OF=53×10=6（cm ）.∵OF ∥BE ，BE ⊥α.∴OF ⊥α，即OF 即为所求距离为6 cm. 课堂小结 知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 B 组1、2.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用，因此它是高考考查的重点.本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案：直线与平面垂直的性质一、教学目标1.知识目标：了解直线与平面的垂直关系，并掌握直线与平面垂直的性质。
2.能力目标：能够判断直线与平面是否垂直，并能够运用垂直的性质解决问题。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学习的主动性。
二、教学重点三、教学难点如何判断直线与平面是否垂直。
四、教学准备教师准备：教学课件、黑板、白板、绘图工具等。
学生准备：课本、笔记本等。
五、教学过程Step1：导入新知1.通过引入两个概念：“直线”和“平面”，并介绍其定义、性质和符号表示。
2.通过实际示例，引导学生思考并提出问题：“直线与平面之间是否存在一种特殊的关系？”“你认为直线与平面有什么样的垂直关系？”3.引导学生观察周围环境中直线与平面的垂直关系，并与学生一起讨论。
Step2：理论讲解1.引入直线与平面垂直的定义：“如果直线与平面上的任意一条直线都垂直相交，那么称这条直线与这个平面垂直。
”2.讲解直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直的定理：在同一个平面内，如果一条直线与另一条直线垂直相交，则它们与该平面垂直。
（2）直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面垂直的充分必要条件是这条直线上有一点在这个平面上，且在这个平面上有一般的直线与这条直线垂直。
3.讲解直线飞平面垂直的表示方法：以垂直符号“⊥”表示。
Step3：示例演练1.给出一些具体问题，引导学生分析并判断直线与平面是否垂直，并用判定定理进行解答。
例如：过一个点作平面外的一条直线，该直线与这个平面有什么样的关系？2.引导学生根据给定的条件使用垂直的性质进行证明，以锻炼思维能力。
Step4：归纳总结1.让学生复习并总结判定直线与平面垂直的方法和性质。
2.强化学生对垂直符号“⊥”的理解和应用。
Step5：拓展应用将所学的直线与平面垂直的知识应用到实际问题中，例如建筑工程、地理测量等领域，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
20-21版：2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质（创新设计）
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
（3）解 在等腰直角△ACB 中，AC＝BC＝ 2，
∴AB＝2，OC＝1，
∴S△VAB＝ 43AB2＝ 3. ∵OC⊥平面 VAB，
∴VC－VAB＝13OC·S△VAB＝13×1× 3＝ 33，
∴VV－ABC＝VC－VAB＝
3 3.
@《创新设计》
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练3】 (2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 为菱形，E为CD的中点. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE. (1)证明 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
【训练2】 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平 面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD， BD上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC. 证明 （1）在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF. ∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC， ∴EF∥平面ABC.
D.②③
解析 ①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以
①④错误.
答课堂反馈
@《创新设计》
3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）
A.α∥γ
B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能
解析 两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故
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性质定理的证明
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
（一）创设情景，揭示课题
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。（自然进入课题内容）
（二）研探新知
1、操作确认
观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？
思考：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
教
学
小
结
请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容是什么？
课后
反思
2
课堂教学设计
备课人
授课时间
课题
§2、3.3直线与平面垂直的性质
教
学
目
标
知识与技能
使学生掌握直线与平面垂直性质定理；能运用性质定理解决一些简单问题
过程与方法
启发引导，充分发挥学生的主体作用
情感态度价值观
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力
重点
性质定理的证明
1
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计Байду номын сангаас
2、推理证明
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，
然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
课本P71探究
（三）应用巩固
例子：课本P.71练习
做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。