椭圆有关的最值问题

F1
的直线
专题：求变量的取值范围或最值
思想方法： 1.函数法： 化归为求函数值域或最值
建立变量不等式并求解 2.不等式法：
3.几何法：从几何图形中确定临界值
作业： P50习题2.2B组：1，2，3.
大值和最小值分别是什么？
y M O F x
化为关于x的二次函数的最值问题.
y
B2
设M（x0 ,y0）
则|MF2 | =（x0 -c) +y0
又 x0 a
2 2
2
2
2
M

y0 b
2
2
1
A1 F
1
O
B1
F2 A2
x
2
|MF2 | =
c
2 2
a
（x0 -
a
2
)
2
c
a x0 a
当x0 a，MF2 | 有最大值a c; |
当x0 a， MF2 | 有最小值a c; |
y
B2
M
近日点
F2 A2
远日点
A1 F
1
O B1
x
|MF2|min=|A2F2| =a-c
|MF2|max=|A1F2| =a+c
新知探究
3.点M在椭圆上运动，当点M在什么位置时， ∠F1MF2为最大？∠F1MF2 的范围呢？
y
M F1 O F2
F1 M F2 tan F1 M F2 ? F1 M F2 cos F1 M F2 ?
点M为短轴的端点. x 此时△F1MF2的面 积最大
构造不等式法 例1 设F1、F2为椭圆
x a
2 2

y b
2 2
1 a b 0
的两焦点，若椭圆上存在点P，使
∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率的取
2 2
b
2
| OM | x y
2 2 2
c a
2 2
a
x b
2 2
2
x
2
y O
M x
又0 x a
2
2
当 x = 0 时 | O M | 取 得 最 小 值 b， 当 x = a时 | O M | 取 得 最 大 值 a .
新知探究
2.椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最
高中数学选修 2-1
第二章 2.2.2 曲线与方程 椭圆有关的最值问题 第 四课时
新知探究
椭圆中的几个最值：
x a
2 2
1.对于椭圆
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y b
2 2
1 a b 0
解 ： 设 M( x , y ) 是 椭 圆 上 任 意 一 点 ，则 y
椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是 最大值为a，最小值为b. b
|PF1|2＋|PF2|2的最大值和最小值.
y
最大值为14. 最小值为8.
P F1 O F2 x
例7 已知点M为椭圆
x a
2 2

y b
2 2
1( a b 0) 上
F 任意一点， 1是椭圆的右焦点；过
；
l 交椭圆于A、B两点，求线段AB长的取值
范围.
3 | MA | 5 | MF 1 |
值范围.
e Î [ , 1) 2 1
y
B
F1 O
P F2 x
练习：已知F1 、F2椭圆的左右焦点，
椭圆上存在点M使得MF1⊥MF2, 求椭 圆的离心率的范围.
y
[ 2 2 ,1)
BM
F1 O F2
x
构造函数法： 例3 已知椭圆
x
2
y
2
1 的两个焦点
4
为F1、F2，点P是椭圆上任意一点，求