二次函数的最值及函数值的范围
小专题8二次函数的最值及函数值的范围
小专题8 二次函数的最值及函数值的范围对于二次函数y＝a(x－h)2＋k图象上的两点(x1，y1)，(x2，y2)，求函数值的范围(最值)考虑以下四种情况：当a>0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是，y的最大值为y1，最小值为y2.当a<0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是，y的最大值为y2，最小值为y1．当a>0，x1≤x≤x2时，y的取值范围是1，y的最大值为y1，最小值为k.当a<0，x1≤x≤x2时， y的取值范围是， y的最大值为k，最小值为y2．类型1 已知自变量的取值范围求函数值的取值范围1．(温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是()A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－22．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是( )A．y≥3 B．y≤3C．y＞3 D．y＜33．如图，点P(x，y)在抛物线y＝－(x－1)2＋2的图象上，若－1＜x＜2，则y的取值范围是．4．已知点P(x，y)在二次函数y＝2(x＋1)2－3的图象上．(1)当0＜x＜1时，y的取值范围是；(2)当－2＜x＜1时，y的取值范围是；(3)当－4≤x＜1时，y的取值范围是．类型2 已知自变量取值范围下函数的最值，求待定系数的值5．若二次函数y＝x2＋4x＋a的最小值是2，则a的值是．6．已知关于x的二次函数y＝ax2＋a2.(1)若它的最小值为4，则a的值为；(2)若它的最大值为4，则a的值为．7．(黄冈中考)当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( ) A．－1 B．2C．0或2 D．－1或28．【易错】(泸州中考)已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为( ) A．1或－2 B．－2或 2C. 2 D．19．【分类讨论思想】(潍坊中考改编)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，求h的值．小专题8 二次函数的最值及函数值的范围y2≤y≤y1 y1≤y≤y2 k≤y≤y y2≤y≤k1,D 2,B 3,－2＜y≤2 4(1)－1＜y＜5 (2)－3≤y＜5 (3)－3≤y≤15 5,6 6(1)2 (2)－2 7,D 8,D9 解：如图，画出二次函数的大致图象．当h＜2时，由题意结合图象，可知当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝2处取得，即－(2－h)2＝－1.解得h1＝1，h2＝3(舍去)；当2≤h≤5时，函数y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，由题意结合图象，可知当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝5处取得，即－(5－h)2＝－1.解得h3＝4(舍去)，h4＝6.综上所述，h的值为1或6.章末复习(二) 二次函数分点突破知识点1 二次函数的图象与性质1．(株洲中考)若二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，则a ＜0(填“＝”“＞”或“＜”)． 2．抛物线y ＝3(x －1)2＋1的顶点坐标是(A)A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)3．关于抛物线y ＝x 2－4x ＋4，下列说法错误的是(D)A ．开口向上B ．与x 轴只有一个交点C ．对称轴是直线x ＝2D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大4．(攀枝花中考)在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是(C),A) ,B),C) ,D)5．(甘孜中考改编)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴分别交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求此二次函数解析式；(2)点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由．解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. ∴此二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)△BCD 为直角三角形．理由如下： ∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴顶点D 的坐标为(2，－1)．当x＝0时，y＝x2－4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∵点B的坐标为(3，0)，∴BC＝32＋32＝32，BD＝（2－3）2＋（－1）2＝2，CD＝22＋（－1－3）2＝2 5.∵BC2＋BD2＝20＝CD2，∴∠CBD＝90°.∴△BCD为直角三角形．知识点2 二次函数图象的平移规律6．(宜宾中考)将抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝2(x＋1)2－2．7．如果要得到y＝x2－6x＋7的图象，需将y＝x2的图象(B)A．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度知识点3 求二次函数解析式8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，则该抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3．9．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为(B)A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3知识点4 二次函数与一元二次方程、不等式10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝1，x2＝3；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜1或x＞3；(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3．11．(云南中考)已知二次函数y＝－316x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B(－4，－92)两点．(1)求b ，c 的值；(2)二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．解：(1)把A(0，3)，B(－4，－92)分别代入y ＝－316x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－316×16－4b ＋c ＝－92.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝98，c ＝3.(2)由(1)可得，该抛物线解析式为y ＝－316x 2＋98x ＋3.Δ＝(98)2－4×(－316)×3＝22564＞0，∴二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点．令－316x 2＋98x ＋3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8.∴公共点的坐标是(－2，0)或(8，0)． 知识点5 二次函数的实际应用12．(连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数解析式h ＝－t 2＋24t ＋1，则下列说法中正确的是(D)A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m13．(沈阳中考)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是35元/件，才能在半月内获得最大利润． 14．用长为6 m 的铝合金制成如图所示的窗框，窗框的上部是由两个正方形组成的矩形，解答下列问题：(1)若AB 为1 m ，求此时窗户的透光面积？(2)当AB 和BC 各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？解：(1)∵铝合金长为6 m ，AB ＝1 m ， ∴AD ＝(6－3－12)÷2＝54(m)．∴此时窗户的透光面积为1×54＝54(m 2)．(2)设窗户的透光面积为S m 2，AB ＝x cm ，则AD ＝(6－72x)÷2＝(3－74x)m.∴S ＝x(3－74x)＝－74x 2＋3x ＝－74(x －67)2＋97.∵－74＜0，∴当x ＝67时，S 最大，为97.答：当AB ＝67 m ，BC ＝32 m 时，窗户的透光面积最大，最大面积是97 m 2.易错题集训15．抛物线y ＝2x 2－5x ＋3与坐标轴的交点共有(B)A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．【数形结合思想】若二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象过A(－1，y 1)，B(2，y 2)，C(5，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(B)A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 217．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为(D)A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－218．已知二次函数y ＝－x 2＋2bx ＋c ，当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是(D)A ．b>1B ．b<1C ．b ≥1D ．b ≤119．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3，当－2≤x ≤2时，对应的函数值y 的取值范围为－5≤y ≤4．20．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式y<0的解集是x>5或x<－1．21．如图，用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14 m ，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是112m 2.中考题型演练22．(泰安中考)若二次函数y ＝x 2＋bx －5的对称轴为直线x ＝2，则关于x 的方程x 2＋bx －5＝2x －13的解为x 1＝2，x 2＝4．23．(凉山州中考)将抛物线y ＝(x －3)2－2向左平移3个单位长度后经过点A(2，2)． 24．(衡阳中考)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为(1，1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2 019的坐标为(－1_010，1_0102)．25．(南充中考)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数)，a ＞0，顶点坐标为(12，m)．给出下列结论：①若点(n ，y 1)与点(32－2n ，y 2)在该抛物线上，当n ＜12时，则y 1＜y 2；②关于x的一元二次方程ax 2－bx ＋c －m ＋1＝0无实数解，那么(A)A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误26．(黄石中考)如图，在Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝6 cm ，矩形ABCD 中AB ＝2 cm ，BC ＝10 cm ，点C 和点M 重合，点B ，C(M)，N 在同一直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线以每秒1 cm 的速度向右移动，至点C 与点N 重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y(cm 2)，则y 与x 的大致图象是(A)A. B.C. D.27．(广安中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc ＜0；②b ＜c ；③3a ＋c ＝0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3.其中正确的结论有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．(安徽中考)一次函数y ＝kx ＋4与二次函数y ＝ax 2＋c 的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1)求k ，a ，c 的值；(2)过点A(0，m)(0＜m ＜4)且垂直于y 轴的直线与二次函数y ＝ax 2＋c 的图象相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W ＝OA 2＋BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值．解：(1)由题意，得k ＋4＝2，解得k ＝－2. 又∵二次函数顶点为(0，c)，∴c ＝4.把(1，2)代入二次函数表达式，得a ＋c ＝2，解得a ＝－2.(2)由(1)得二次函数解析式为y ＝－2x 2＋4，令y ＝m ，得2x 2＋m －4＝0， ∴x ＝±4－m2. 设B ，C 两点的坐标分别为(x 1，m)，(x 2，m)，则BC ＝|x 1|＋|x 2|＝24－m2， ∴W ＝OA 2＋BC 2＝m 2＋4×4－m 2＝m 2－2m ＋8＝(m －1)2＋7.∴当m ＝1时，W 取得最小值7.29．(青岛中考)某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w(元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b. 将点(30，100)，(45，70)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧100＝30k ＋b ，70＝45k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝160. ∴y ＝－2x ＋160.(2)由题意，得w ＝(x －30)(－2x ＋160)＝－2(x －55)2＋1 250. ∵－2＜0，∴当x ＜55时，w 随x 的增大而增大． 又∵30≤x ≤50，∴当x ＝50时，w 有最大值，此时w ＝1 200.故销售单价定为50元，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为1 200元． (3)由题意，得(x －30)(－2x ＋160)≥800， 解得40≤x ≤70.∴每天的销售量y ＝－2x ＋160≥20. ∴每天的销售量最少应为20件． 核心素养专练30．【新定义问题】(贵港中考)我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2＋bx ＋c|(a ≠0，且b2－4ac ＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2－2x －3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当－1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝－1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是4．小专题9 二次函数与几何图形的小综合类型1 线段长、图形面积最值问题1．(自贡中考节选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为－2，点P(m ，n)是线段AD 上的动点．(1)求直线AD 及抛物线的解析式；(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝0，9a －3b －3＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.当x ＝－2时，y ＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3， ∴D(－2，－3)．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋t ， 将A(1，0)，D(－2，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋t ＝0，－2k ＋t ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，t ＝－1. ∴直线AD 的解析式为y ＝x －1.(2)由题意知P(m ，m －1)，Q(m ，m 2＋2m －3)(－2≤m ≤1)， ∴l ＝(m －1)－(m 2＋2m －3)＝－m 2－m ＋2＝－(m ＋12)2＋94.当m ＝－12时，l 最大＝94.2．如图，抛物线y ＝－2x 2＋2x ＋4经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x 轴的另一交点为A.若点P 为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值．解：过点P 作PF ⊥x 轴于点F. ∵P 为第一象限内抛物线上一点， 设P 点坐标为(n ，－2n 2＋2n ＋4)(0<n<2)， 则F 点坐标为(n ，0)． ∴S ＝S 梯形OCPF ＋S △PFB ＝（PF ＋OC ）·OF 2＋12PF ·BF＝12PF ·OB ＋12OC ·OF ＝－2n 2＋2n ＋4＋12×4n＝－2n 2＋4n ＋4 ＝－2(n －1)2＋6. ∴当n ＝1时，S 最大＝6.类型2 线段和、周长最值问题3．如图，抛物线y ＝－12x 2＋12x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：令y ＝－12x 2＋12x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2.∴A 点坐标为(－2，0)．连接AD ，交对称轴于点P ，连接PB ，则PA ＝PB.∴PB ＋PD ＋BD ＝PA ＋PD ＋BD ＝AD ＋BD. 此时P 点使△BDP 的周长最小．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋t.将点A ，D 坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，2k ＋t ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，t ＝1.∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.∵抛物线对称轴为直线x ＝－b 2a ＝12，将x ＝12代入y ＝12x ＋1，得y ＝54，∴点P 的坐标为(12，54)．类型3 线段数量关系、面积数量关系问题4．如图，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋5与x 轴交于点A(－1，0)，B(5，0)，直线y ＝－34x ＋3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m.若PE ＝5EF ，求m 的值．解：∵点P 的横坐标为m ，∴P(m ，－m 2＋4m ＋5)， E(m ，－34m ＋3)，F(m ，0)．∵点P 在x 轴上方，要使PE ＝5EF ，则0<m<5. ∴PE ＝－m 2＋4m ＋5－(－34m ＋3)＝－m 2＋194m ＋2.分两种情况讨论：①当点E 在点F 上方时，EF ＝－34m ＋3.∵PE ＝5EF ，∴－m 2＋194m ＋2＝5(－34m ＋3)．即2m 2－17m ＋26＝0. 解得m 1＝2，m 2＝132(舍去)；②当点E 在点F 下方时，EF ＝34m －3.∵PE ＝5EF ，∴－m 2＋194m ＋2＝5(34m －3)．即m 2－m －17＝0.解得m 3＝1＋692，m 4＝1－692(舍去)．综上所述，m 的值为2或1＋692.5．(龙东中考)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y ＝－32x ＋3交于C ，D 两点，连接BD ，AD.(1)求m 的值；(2)抛物线上有一点P ，满足S △ABP ＝4S △ABD ，求点P 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3过点(3，0)， ∴0＝－9＋3m ＋3. ∴m ＝2. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－32x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝72，y 2＝－94.∴D(72，－94)．∵S △ABP ＝4S △ABD ，∴12AB ×|y P |＝4×12AB ×94. ∴|y P |＝9，y P ＝±9.当y ＝9时，－x 2＋2x ＋3＝9，无实数解； 当y ＝－9时，－x 2＋2x ＋3＝－9， x 1＝1＋13，x 2＝1－13.∴点P 的坐标为(1＋13，－9)或(1－13，－9)． 类型4 特殊图形的存在性问题6．如图，已知抛物线y ＝14x 2－12x －2与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右边)，与y 轴交于点C.(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)令y ＝0，得14x 2－12x －2＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4. ∴A(4，0)，B(－2，0)．令x ＝0，得y ＝－2.∴C(0，－2)． (2)存在点P ，使得△ACP 是等腰三角形． 设P(1，a)，则AP 2＝a 2＋9，CP 2＝(a ＋2)2＋1＝a 2＋4a ＋5，AC 2＝20. ①当AP ＝CP 时，即a 2＋9＝a 2＋4a ＋5， 解得a ＝1.∴P 1(1，1)；②当CP ＝AC 时，即a 2＋4a ＋5＝20， 解得a ＝－2±19.∴P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)； ③当AP ＝AC 时，即a 2＋9＝20，解得a ＝±11.∴P 4(1，11)，P 5(1，－11)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为P 1(1，1)，P 2(1，－2＋19)，P 3(1，－2－19)，P4(1，11)，P5(1，－11)．7．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为P.若以A，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．解：y＝－x2－2x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.∴A(－3，0)，B(1，0)．∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点P的坐标为(－1，4)．如图，分别过△PAC的三个顶点作对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点M1，M2，M3.∵AM1綊CP，且C(0，3)，P(－1，4)，A(－3，0)，∴M1(－4，1)．∵AM2綊PC，且P(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)，∴M2(－2，－1)．∵CM3綊AP，且A(－3，0)，P(－1，4)，C(0，3)，∴M3(2，7)．综上所述，点M的坐标为(－4，1)或(－2，－1)或(2，7)．。
初三数学小专题(三) 二次函数的最值及函数值的范围
∴抛物线的表达式为 y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线顶点 G 的坐标为(1，4).
(2)点 M，N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧)，且到对称轴 的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M， N 之间(含点 M，N)的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围.
2.已知点 P(x，y)在二次函数 y＝2(x＋1)2－3 的图象上.
(1)当 0＜x＜1 时，y 的取值范围是 －1＜y＜5 ；
(2)当－2＜x＜1 时，y 的取值范围是 －3≤y＜5 ；
(3)当－4≤x＜1 时，y 的取值范围是 －3≤y≤15
.
3.(2020·河南)如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OA＝OB，点 G 为抛物线的顶点.
当 a>0，x1≤x≤x2 时，y 的取值围是 k≤y≤y1，y 的最大值为 y1， 最小值为 k.
当 a<0，x1≤x≤x2 时，y 的取值范围是 y2≤y≤k 最小值为 y2.
，y 的最大值为 k ，
类型 1 已知自变量的取值范围求函数值的取值范围 1.已知二次函数 y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3 的取值 范围内，下列说法正确的是( D ) A.有最大值－1，有最小值－2 B.有最大值 0，有最小值－1 C.有最大值 7，有最小值－1 D.有最大值 7，有最小值－2
当点 M 的坐标为(4，－5)时，点 N 的坐标为(6，－21)，∴－ 21≤yQ≤－5.
类型 2 已知自变量取值范围下函数的最值，求待定系数的值 4.若二次函数 y＝x2＋4x＋a 的最小值是 2，则 a 的值是 6 . 5.已知关于 x 的二次函数 y＝ax2＋a2. (1)若它的最小值为 4，则 a 的值为 2 ； (2)若它的最大值为 4，则 a 的值为－2 .
二次函数在指定区间上的最值
2. 如果函数开口向下（a<0）， 且对称轴在区间的左侧，函数在 区间的最大值为顶点处取值，最 小值为右侧端点取值。
总结词：对于二次函数在半开半 闭区间上的最值求解，需要考虑 函数的开口方向、对称轴以及区 间端点位置。
次数
二次函数为二次函数，是 一元函数的重要代表
二次函数的图形表示
开口方向
根据a的正负性，开口向上或 向下
顶点
二次函数的极值点，也是函数图 像的对称轴
区间
根据a、b、c的数值确定函数的单 调性，从而确定在某个区间的最值
二次函数的对称轴和顶点
对称轴
$x = -\frac{b}{2a}$，这是二次函数图像的对称轴
1. 如果函数开口向上（a>0）， 且对称轴在区间的左侧，函数在 区间的最小值为顶点处取值，最 大值为右侧端点取值。
3. 对于对称轴不在区间内的函数 ，其最值情况与上述情况类似， 只需将对称轴与区间的关系代入 求解即可。
实例三：二次函数在多个区间上的最值求解
总结词：对于二次函 数在多个区间上的最 值求解，需要分别考 虑每个区间的开口方 向、对称轴以及区间 端点位置。
详细描述
1. 对于每个区间，需 要分别判断函数的开 口方向和对称轴位置 ，确定最值点。
2. 对于多个区间的情 况，需要分别求解每 个区间的最值，并考 虑区间的端点位置进 行取舍。
3. 在求解多个区间最 值时，需要注意每个 区间之间的端点取舍 情况，确保得到正确 的最值。
05
结论与展望
二次函数在指定区间上最值的求解方法总结
二次函数的最值-初中数学知识点
1 / 1 二次函数的最值
1．二次函数的最值
（1）当0a >时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当2b x a
=- 时,2
44ac b y a -= . （2）当0a <时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当2b x a
=- 时，2
44ac b y a -= ． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．。
二次函数的最值问题总结
二次函数的最值问题二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．二次函数求最值（一般范围类）例1．当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．例4．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：二次函数求最值(经济类问题)例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值．分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000⨯=（元）；（2）依题意可设1800y k x =+，2200Z k x =+，∴有14008001200k +=，2200200160k +=，解得12115k k ==-，．所以800y x =+，12005Z x =-+． （3）1(800)2005W yZ x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭21(100)1620005x =--+，政府应将每台补贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.分析：（1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时x 的值.解：（1）x y +=1001，x y 212=； （2）)21100()100(x x y -•+=y 11250)50(212+--=x ，因为提价前包房费总收入为100×100=10000，当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元. 说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好.例3．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式1y ＝36x 83+-，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 分析：（1）将点（3，25），（4，24）代入求b 、c 的值；（2）y ＝1y -2y ；（3）将（2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五·一”之前的前提下求最大值.解：（1）由题意：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩，解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）12y y y =-23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++； （3）21316822y x x =-++ 2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+. ∵108a =-<，∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．最大利润211(46)111082=--+=（元）． 说明：本题在x ＝6，即6月份时取得最大值，但题目要求在“五·一”之前，所以要将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的增减性来求解.例4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．y 22 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元． 二次函数求最值(面积最值问题)例1.在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=例2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-= 4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x ∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．例3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H则有△AFB ∽△BHP∴PHBH BF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．例4.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10]=xx)-102+242.0.0(-=x)4.0102+3.2()1.0<x0(<当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．。
二次函数区间最值问题解析
二次函数区间及最值问题解析对于二次函数2(0)y ax bx c a =++>在m x n ≤≤上的最值问题（其中a 、b 、c 、m 和n 均为定值，max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值）：（1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在2b x a =-时，取到最小值，无最大值．（2）若2b n a<-，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =．（3）若2b m a>-，如图③，当，x m =min y y =；当x n =，max y y =．（4）若2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--，如图④，当2b x a =-，min y y =；当x n =，max y y =．【题型1二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】已知二次函数y ＝﹣x 2+2x +4，关于该函数在﹣2≤x ≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A ．有最大值4，有最小值0B ．有最大值0，有最小值﹣4C ．有最大值4，有最小值﹣4D ．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x ≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+2x +4＝﹣（x ﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x ≤2时，x ＝1时取得最大值5，当x ＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D ．【变式1-1】当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝x 2﹣3x +m 最大值为5，则m ＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m 的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y ＝x 2﹣3x +m ＝（x −32）2+m −94，∴该函数开口向上，对称轴为x =32，∵当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝x 2﹣3x +m 最大值为5，∴当x ＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m ，解得m ＝1，故答案为：1．【变式1-2】已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出M﹣m的值．【解答过程】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或38C．3或−38D．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1，①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m=−38；故选：C．【变式2-1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．1B．34C．−35D．−14【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴该函数的对称轴是直线x＝2，又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，解得a=−14，故选：D．【变式2-2】已知二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y的最小值为15，则a的值为（）A．1或﹣2B．−2或2C．﹣2D．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a＜0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，可得x＝1时，y＝15，即可求出a．【解答过程】解：∵二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=−42×2=−1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，∵﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，∴x＝1时，y＝2a+4a+6a2+3＝15，∴6a2+6a﹣12＝0，∴a2+a﹣2＝0，∴a＝1（不合题意舍去）或a＝﹣2．故选：C．【变式2-3】已知二次函数y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1（m≥0，n≥0），当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则mn的最大值为（）A．4B．6C．8D．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m，n的取值范围，将mn转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1的对称轴为直线x=6−K1，①当m＞1时，抛物线开口向上，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴6−K1≥2，即2m+n≤8．解得n≤8﹣2m，∴mn≤m（8﹣2m），m（8﹣2m）＝﹣2（m﹣2）2+8，∴mn≤8．②当0≤m＜1时，抛物线开口向下，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴6−K1≤1，即m+n≤7，解得m≤7﹣n，∴mn≤n（7﹣n），n（7﹣n）＝﹣（n−72）2+494,∴mn≤494，∵0≤m＜1，∴此情况不存在．综上所述，mn最大值为8．【题型3二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−14，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，【变式3-3】已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．23B．−72C．3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得=−3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=3，∴+=3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴=−32（舍），故选：C．【题型四解答题中区间求最值】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)当-4≤x ≤0时，求y 的最大值与最小值的积；(3)连接AB ，若二次函数y =-x 2+bx +c 的图象向上平移m (m >0)个单位时，与线段AB 有一个公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．【答案】(1)223y x x =--+，(1,4)-(2)20-(3)1m =，或25m < 【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合x 的取值范围求解．（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在AB 上，经过点A ，B 时m 的值，进而求解．（1）解：将(1,0)C ，(3,0)D -代入2y x bx c=-++得01093b c b c=-++⎧⎨=--+⎩，解得23=-⎧⎨=⎩b c ，2223(1)4y x x x ∴=--+=-++，∴抛物线顶点坐标为(1,4)-．（2）解： 抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)-，∴函数最大值为4y =，对称轴为直线=1x -，1(4)0(1)--->-- ，4x ∴=-时，16835y =-++=-为函数最小值，∴y 的最大值与最小值的积为4(5)20⨯-=-．（3）解：二次函数2y x bx c =-++的图象向上平移m 个单位后解析式为223y x x m =--++，抛物线顶点坐标为(1,4)m -+，当顶点落在线段AB 上时，45m +=，解得1m =，当抛物线向上移动，经过点(0,5)B 时，53m =+，解得2m =，当抛物线经过点(3,5)A -时，5963m =-+++，解得5m =，∴当1m =，或25m < 时，函数图象与线段AB 有一个公共点．【我思故我在】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．2．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，图象与x 轴交于点()1,0-．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若把抛物线的图象沿x 轴平移m 个单位，在自变量x 的值满足23x ≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为-2，求m 的值．【我思故我在】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论．3．如图，抛物线22y x x c =-++与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，且,OA OB =点G 为抛物线的顶点．()1求抛物线的解析式及点G 的坐标；()2点,M N 为抛物线上两点(点M 在点N 的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点,M N 之间(含点,M N )的一个动点，求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-++，G （1,4）；（2）﹣21≤Q y ≤4.【分析】（1）根据,OA OB =用c 表示出点A 的坐标，把A 的坐标代入函数解析式，得到一个关于c 的一元二次方程，解出c 的值，从而求出函数解析式，求出顶点G 的坐标．（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N 到对称轴的距离，判断出M,N 的横坐标，进一步得出M,N 的纵坐标，求出M,N 点的坐标后可确定Q y 的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线22y x x c =-++与y 轴正半轴分别交于点B ，∴B 点坐标为（c ，0），∵抛物线22y x x c =-++经过点A ，∴﹣c 2+2c+c=0，解得c 1=0（舍去），c 2=3，∴抛物线的解析式为223y x x =-++∵223y x x =-++=﹣（x －1）2+4，∴抛物线顶点G 坐标为（1,4）．（2）抛物线223y x x =-++的对称轴为直线x=1，∵点M,N 到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M 的横坐标为﹣2或4，点N 的横坐标为﹣4或6，点M 的纵坐标为﹣5，点N 的纵坐标为﹣21，又∵点M在点N的左侧，∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），则﹣21≤Q y≤4当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），则﹣21≤Q y≤﹣5，∴Q y的取值范围为﹣21≤Q y≤4．【我思故我在】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，对称轴性质等，解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意，进行计算．4．如图，已知二次函数y＝ax2＋3x＋1的图像经过点A（－1，－3）．2(1)求a的值和图像的顶点坐标．(2)若横坐标为m的点B在该二次函数的图像上．①当点B向右平移4个单位长度后所得点B′也落在该二次函数图像上时，求m的值；②若点B到x轴的距离不大于3，请根据图像直接写出m的取值范围．5．如图，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q ，使ACQ 的周长最小，求点Q 的坐标；(3)P 是第四象限内抛物线上的动点，求BPC △面积S 的最大值及此时P 点的坐标．⊥轴于点（3）解：过点P作PD x【我思故我在】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键．6．如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+交于点A (2，0)和点B ．（1）求m 和b 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式2x mx x b +>-+的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．【答案】（1）2m =-，2b =；（2）不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．【分析】（1）把A (2，0)分别代入两个解析式，即可求得m 和b 的值；（2）解方程222x x x -=-+求得点B 的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．【详解】解：（1）∵点A (2，0)同时在2y x mx =+与y x b =-+上，∴2022m =+，02b =-+，解得：2m =-，2b =；（2）由（1）得抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =-+，解方程222x x x -=-+，得：1221x x ==-，．∴点B 的横坐标为1-，纵坐标为23y x =-+=，∴点B 的坐标为(-1，3)，观察图形知，当1x <-或2x >时，抛物线在直线的上方，∴不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）如图，设A 、B 向左移3个单位得到A 1、B 1，∵点A (2，0)，点B (-1，3)，∴点A 1(-1，0)，点B 1(-4，3)，∴A A 1=BB 1=3，且A A 1∥BB 1，即MN 为A A 1、BB 1相互平行的线段，对于抛物线()22211y x x x =-=--，∴顶点为(1，-1)，如图，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线22y x x =-只有一个公共点，此时12M x -≤<，当线段MN 经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN 与抛物线22y x x =-也只有一个公共点，此时点M 1的纵坐标为-1，则12M x -=-+，解得3M x =，综上，点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．．【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．7．如图，直线y =x −5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y =ax 2−4x +c 经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)以AB 为边作矩形ABCD ，设点C 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示C ，D 两点的坐标；②当CD 边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m 的取值范围．【答案】(1)抛物线的解析式为y =x 2-4x -5；(2)①点C 的坐标为(m ，-m -5)；点D 的坐标为(m +5，-m )；②-7≤m ≤3且m ≠0．【分析】（1）先求得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）①利用等腰直角三角形的性质以及坐标与图形的性质可求得点C 的坐标；再利用平移的性质求得点D 的坐标即可；②根据点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，据此求解即可．（1）解：∵直线y =x −5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴点A 的坐标为(5，0)，点B 的坐标为(0，-5)，∵抛物线y =ax 2−4x +c 经过A ，B 两点，∴252005a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：15a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y =x 2-4x -5；（2）解：①∵点A 的坐标为(5，0)，点B 的坐标为(0，-5)，∴OA =OB =5，∴△OAB 是等腰直角三角形，则∠OAB =∠OBA =45°，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，∵四边形ABCD 是矩形，点C 的横坐标为m ．∴CB ⊥AB ，则∠CBE =∠OBA =45°，∴CE =BE =-m ，∴点C 的坐标为(m ，-m -5)；∵四边形ABCD 是矩形，∴CD =AB ，CD ∥AB ，∵点A 是点B 向右平移5个单位，向上平移5个单位得到的，∴点D 的坐标为(m +5，-m )；②设BC 的解析式为y =kx -5，把(m ，-m -5)代入y =kx -5，得-m -5=mk -5，解得：k =-1，∴BC 的解析式为y =-x -5，设AD 的解析式为y =-x +n ,把点D 的坐标（m +5,m ）代入y =-x +n ,得-m =-m -5+n ,解得：n =5,∴AD 的解析式为y =-x +5,当点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，联立2545y x y x x =-+⎧⎨=--⎩,解得：x 1=5，x 2=-2，当x =5时，点A 和点D 重合，不符合要求，x <-2即m +5<-2，得m <-7时，线段CD 与抛物线无交点，当点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，联立2545y x y x x =--⎧⎨=--⎩，解得：x 1=0，x 2=3，当x =0时，点C 与点B 重合，不符合要求，当x >3即m>3时，线段CD 与抛物线无交点，故-7≤m ≤3且m ≠0．【我思故我在】本题考查二次函数的图象及性质，直线和抛物线的交点以及解方程组和不等式组等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．8．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,P m y 在二次函数2y x bx c =++的图象上，点()2,Q m y 在一次函数1y x =-+的图象上．(1)若二次函数图象经过点()0,1，()2,1．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②当1m >时，请直接写出1y 与2y 的大小关系；(2)若只有当0m ≥时，满足120y y ⋅≤，请求出此时二次函数的解析式．【答案】(1)①221y x x =-+，顶点坐标为(1,0)②12y y ＞(2)2y x x=-【分析】（1）利用待定系数法即可求解出二次函数的解析式，配成顶点式即可求出二次函数的顶点坐标；求出y 1和y 2，再根据m 的取值范围即可比较；（2）先根据点P (m ,y 1)在2y x bx c =++图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，得到21y m bm c =++和21y m =-+，即有212()(1)y y m bm c m ⋅=++-+，再根据m 的取值范围可得：当01m ≤≤时，函数20y m bm c =++≤；当1m＞时，函数20y m bm c =++＞，可以判断出可知2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)，则可求出b 、c ，则问题得解．（1）①∵2y x bx c =++经过点(0,1)、(2,1)，∴有1421c b c =⎧⎨++=⎩，解得12c b =⎧⎨=-⎩，∴二次函数解析式为：221y x x =-+，∵2221(1)y x x x =-+=-，∴顶点坐标为(1,0)，②∵点P (m ,y 1)在221y x x =-+图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，∴21(1)y m =-，21y m =-+，∴2212(1)(1)(1)(1)(1)y y m m m m m m -=---+=-+-=-，∵m ＞1，∴m -1＞0，∴12(1)0y y m m -=-＞，∴12y y ＞；（2）∵点P (m ,y 1)在2y x bx c =++图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，∴21y m bm c =++，21y m =-+，∴212()(1)y y m bm c m ⋅=++-+，∵只有当0m ≥时，120y y ⋅≤，当01m ≤≤时，1-m ≥0，∵120y y ⋅≤，∴20m bm c ++ ，即当01m ≤≤时，函数20y m bm c =++ ，当1m＞时，1-m <0，∵120y y ⋅≤，∴20m bm c ++＞，即当1m＞时，函数20y m bm c =++＞，∴2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)，∴010c b c =⎧⎨++=⎩，解得01c b =⎧⎨=-⎩，∴二次函数的解析式为：2y x x =-．【我思故我在】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解二次函数解析式、求解顶点坐标等知识，判断出可知2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)是解答本题的关键．9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2450)(y ax ax a =-+<与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB OC =．(1)求这条抛物线的解析式；(2)求抛物线顶点坐标和对称轴方程；(3)若点1,()P x b 与2,()Q x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，将抛物线在PQ 上方的部分沿PQ 翻折180°，抛物线的其他部分保持不变，得到一个新图象，当这个新图象与过（0，-3）且平行于x 轴的直线恰好只有两个公共点时，请直接写出b 的取值范围．【答案】(1)245y x x =-++；(2)顶点坐标为（2，9），对称轴方程为2x =；(3)39b <<或3b =-．【分析】（1）由245y ax ax =-+得出OC ，再由OB OC =得出OB 的值，代入点B 可求出抛物线的解析式；（2）将抛物线化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴方程；（3）讨论PQ 在直线=3y -上方和在直线=3y -上两种情况即可得出b 的取值范围．(1)（1）∵245y ax ax =-+，令0x =，5y =，∴5OC =∴5OB OC ==，即B （5，0），将B （5，0）代入245x y a ax =-+得252050a a -+=，解得1a =-，即二次函数的解析式为245y x x =-++．(2)（2）由2245(2)9y x x x =-++=--+得，顶点坐标为（2，9），对称轴方程为2x =．(3)（3）如图，过（0，-3）且平行于x 轴的直线=3y -，当顶点M （2，9）的对称点在直线=3y -上，此时3b =，∴39b <<，当3b =-时，此时与=3y -的交点为2个，∴39b <<或3b =-．【我思故我在】此题考查了用代入法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴及顶点坐标及二次函数的翻折与交点问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解决本题的关键．10．已知一次函数12y x b =+的图象与二次函数()221y a x bx =++（0a ≠，a 、b 为常数）的图象交于A 、B 两点，且A 的坐标为(0,1)．（1）求出a 、b 的值，并写出1y ，2y 的表达式；（2）验证点B 的坐标为(1,3)，并写出当12y y 时，x 的取值范围；（3）设12u y y =+，12v y y =-，若m x n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，求m 的最小值和n 的最大值．【答案】（1）1a =，1b =，121y x =+，221y x x =++；（2）见解析；01x ；（3）m 的最小值为 1.5-，n 的最大值为0.5【分析】（1）把A 点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a 与b 的值；（2）画出函数图象，根据函数图象作答；（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大”时x 的取值范围，进而得m 的最小值和n 的最大值．【详解】（1）解：（1）把(0,1)A 代入12y x b =+得1b =，把(0,1)A 代入()221y a x bx =++得，1a =，∴121y x =+，221y x x =++；（2）解方程组2211y x y x x =+⎧⎨=++⎩得01x y =⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3B ，作121y x =+，221y x x =++的图象：由函数图象可知，121y x =+不在221y x x =++下方时，01x ，∴当12y y 时，x 的取值范围为01x ；（3）∵2221221132( 1.5)0.25u y y x x x x x x =+=++++=++=+-，∴当 1.5x - 时，u 随x 的增大而增大；()22212(21)1(0.5)0.25v y y x x x x x x =-=+-++=-+=--+，∴当0.5x 时，v 随x 的增大而增大，∴当 1.50.5x - 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∵若m x n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∴m 的最小值为 1.5-，n 的最大值为0.5.【我思故我在】本题是二次函数的综合题，主要考查了函数的图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法，关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用性质解题．11．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且关于直线1x =对称，点A 的坐标为()1,0-．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15︒，求线段CP 的长度；（3）当1a x a ≤≤+时，二次函数2y x bx c =++的最小值为2a ，求a 的值．。
易错专题：二次函数的最值或函数值的范围
易错专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一没有限定自变量的取值范围求最值【方法8①】1．已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是()A．3 B．2 C．1 D．－12．(2017·天门中考)飞机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是s ＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长距离为________米．3．函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二限定自变量的取值范围求最值【方法8②】4．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0和最大值3B．有最小值－1和最大值0C．有最小值－1和最大值3D．有最小值－1，无最大值第4题图第6题图5．已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，当－5≤x≤0时，它的最大值与最小值分别是() A．1，－29 B．3，－29 C．3，1 D．1，－36．(2017·宿迁中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上从点A向点C移动，点Q在边CB上从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是()A．20cm B．18cm C．25cm D．32cm7．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝－2x2＋80x＋750，由于某种原因，售价只能满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是________元．◆类型三限定自变量的取值范围求函数值的范围8．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是()A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5 C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤19．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是()A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜310．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值11．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3 B．－1 C．4 D．4或－112．如果二次函数y＝x2－6x＋8在x的一定取值范围内有最大值(或最小值)3，则满足条件的x的取值范围可以是()A．－1≤x≤5 B．1≤x≤6C．－2≤x≤4 D．－1≤x≤113．★(2017·乐山中考)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，求m的值．参考答案与解析1．C 2.9003．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝⎛⎭⎫x 2－23x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝⎛⎭⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13.4．C5．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图象的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.6．C 解析：设点P ，Q 的运动时间为t s ，则AP ＝CQ ＝t cm ，CP ＝(6－t )cm ，∴PQ ＝PC 2＋CQ 2＝（6－t ）2＋t 2＝2（t －3）2＋18(cm)，∵0≤t ≤2，∴当t ＝2时，PQ 的值最小，∴PQ 最小＝2×（2－3）2＋18＝25(cm)．故选C.7．1550 8.C9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.10．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图象的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.11．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a＝4a （a －1）－424a＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.12．D13．解：y ＝x 2－2mx ＝(x －m )2－m 2，①若m ＜－1，当x ＝－1时，y ＝1＋2m ＝－2，解得m ＝－32；②若m ＞2，当x ＝2时，y ＝4－4m ＝－2，解得m ＝32＜2(舍去)，③若－1≤m ≤2，当x ＝m 时，y ＝－m 2＝－2，解得m ＝2或m ＝－2(舍去)，∴m 的值为－32或 2.。
二次函数的最值与最值点
二次函数的最值与最值点二次函数是指具有形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0.在数学中，我们常常关注二次函数的最值与最值点，它们对于函数图像的形状与性质具有重要意义。
一、二次函数的最值最值是指函数在定义域内所能取得的最大值或最小值。
对于二次函数而言，其最值与函数的开口方向有关。
1. 当二次函数的抛物线开口向上时，函数的最值为最小值。
在这种情况下，最小值点是抛物线的顶点，也是二次函数的最值点。
2. 当二次函数的抛物线开口向下时，函数的最值为最大值。
同样地，最大值点也是抛物线的顶点，它也是二次函数的最值点。
二、如何求二次函数的最值要求二次函数的最值与最值点，需要进行一些计算与分析。
1. 首先，可以通过计算二次函数的导数，找出导数为零的点。
导数为零的点对应的x坐标就是二次函数的最值点的横坐标，也就是x值。
2. 其次，通过将x值代入二次函数中，可以求得相应的y值，即最值点的纵坐标。
这个y值就是二次函数的最值，它可以是最大值或最小值。
三、举例说明假设有二次函数f(x) = -3x² + 6x + 2，我们来求解它的最值与最值点。
1. 首先，计算导数f'(x) = -6x + 6，并令其为零，解得x = 1。
这说明x = 1是二次函数的最值点的横坐标。
2. 将x = 1代入原函数f(x)中，得到f(1) = -3(1)² + 6(1) + 2 = 5。
因此，最值点的纵坐标为y = 5，即最值为最小值。
综上所述，对于给定的二次函数，我们可以通过计算导数来求解最值点的横坐标，并通过代入求得相应的纵坐标，从而得到最值与最值点的具体数值。
最值与最值点对于理解二次函数的图像特征和函数性质具有重要作用，它们帮助我们分析和预测函数在不同区间内的变化趋势，为实际问题的求解提供了依据。
二次函数的最大值和最小值
二次函数: yax2 bxc ( a0 )
a(x
b 2a
)2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
二次函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) f(x0 )
对于定义域内任意x都成立，那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最小值。 记作ymin=f(x0 )
当x1时 ymax132 2
二次函数的最大值和最小值
(2 ) y1x22x1x [ 3,1 ]
5
x5
解：y1(x5)2 6
y
5
5 [ 3 ,1 ]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
26 当x3时 ymax 5
当x1时
6
ymin
5
二次函数的最大值和最小值
(3) y1x22x1x [ 1,2]
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymaxt2 2
y
1
x
0 t t+1
二次函数的最大值和最小值
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论
二次函数的最大值和最小值
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解： y2(x1)22
xR
当 x=1时，ym i n2
二次函数最大值公式
二次函数最大值公式引言：二次函数是数学中一个重要的函数类型，也是高中数学中较为基础的内容之一。
在学习二次函数时，我们经常需要求解二次函数的最大值。
本文将详细介绍二次函数最大值的相关概念和计算方法，并给出求解二次函数最大值的公式。
一、二次函数的基本定义与性质二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a ≠ 0。
它的图像通常是一个抛物线，开口的方向由a的正负决定。
二次函数具有以下基本性质：1. 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称，这条直线称为二次函数的对称轴。
2. 判别式：若二次函数的判别式Δ=b²-4ac>0，则二次函数与x轴有两个交点，且图像开口向上；若Δ=0，则二次函数与x轴有且仅有一个交点，且图像开口向上；若Δ<0，则二次函数与x轴没有交点，且图像开口向上或向下。
3. 最值：对于开口向上的二次函数，它的最小值为对称轴上的函数值；对于开口向下的二次函数，它的最大值为对称轴上的函数值。
二、求解二次函数的最大值公式对于开口向上的二次函数，我们需要求解它的最大值。
下面是求解二次函数最大值的公式推导：设函数f(x)=ax²+bx+c的顶点为V(h,k)，其中h为x坐标，k为y 坐标。
顶点坐标可以通过将二次函数转化为标准形式来求解，即使用配方法将二次函数写成y=a(x-h)²+k的形式。
将二次函数转化为标准形式得到f(x)=a(x-h)²+k，展开得到f(x)=ax²-2ahx+ah²+k。
对于开口向上的二次函数，a>0，最大值即为顶点的y坐标k。
因此，我们需要求解k的值。
根据二次函数顶点的性质，顶点的横坐标h=-b/2a。
将h代入二次函数的标准形式得到k=a(-b/2a)²+k，化简后得到k=c-b²/4a。
所以，对于开口向上的二次函数，它的最大值为c-b²/4a。
二次函数的最值和区间
二次函数的最值和区间
最值问题
对于一个二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、
$c$ 是实数且 $a \neq 0$。
我们可以通过求导数或配方法求出函数的
最值。
最值的判断
首先，我们来判断二次函数的最值。
如果 $a > 0$，则二次函
数开口向上，最值为最小值；如果$a < 0$，则二次函数开口向下，最值为最大值。
最值的计算
要计算二次函数的最值，可以通过以下步骤：
1. 求出顶点坐标：函数的顶点坐标为 $(h, k)$，其中 $h = -
\frac{b}{2a}$，$k = f(h)$。
2. 判断最值类型：根据 $a$ 的正负判断最值类型。
3. 计算最值：根据最值类型和顶点坐标求得最值。
区间问题
二次函数的定义域和值域也是我们需要关注的问题。
定义域
二次函数的定义域是 $x$ 的取值范围。
对于任意二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其定义域为实数集 $\mathbb{R}$。
值域
二次函数的值域是$y$ 的取值范围。
对于开口向上的二次函数，值域为一切大于等于顶点 $k$ 的实数。
对于开口向下的二次函数，
值域为一切小于等于顶点 $k$ 的实数。
总结
二次函数的最值和区间问题是数学中一个基础但重要的概念。
通过计算最值和确定定义域、值域，我们可以更好地理解和分析二次函数的特性和应用。
希望本文对二次函数的最值和区间问题有所帮助！。
二次函数的最大值公式
二次函数的最大值公式二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式是y=ax2+bx+c，其中a,b,c是常数，且a≠0。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，它的最值出现在抛物线的顶点处。
本文将介绍如何求解二次函数的最大值公式，以及它的几何意义和应用。
一、最大值公式的推导要求解二次函数的最大值公式，首先要确定二次函数是否有最大值。
根据二次函数的性质，我们知道：当a>0时，二次函数开口向上，函数有最小值，没有最大值；当a<0时，二次函数开口向下，函数有最大值，没有最小值；当a=0时，二次函数退化为一次函数，没有最值。
因此，我们只考虑a<0的情况，即开口向下的抛物线。
为了方便起见，我们假设a=−1，则二次函数可以写成：y=−x2+bx+c要求解这个函数的最大值，我们可以利用配方法，将它化为标准形式：y=−(x2−2b2x+b24)+c+b24y=−(x−b2)2+c+b24由于(x−b2)2≥0对任意的x都成立，所以当且仅当(x−b2)2=0时，即x=b2时，函数取得最大值。
此时，最大值为：y max=c+b2 4这就是二次函数的最大值公式。
如果将a=−1恢复为一般情况，则有：y max=4ac−b2 4a二、最大值公式的几何意义二次函数的最大值公式可以从几何角度来理解。
如下图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(h,k)，其中h=−b2a 是对称轴的方程，k=4ac−b24a是顶点的纵坐标。
当a<0时，顶点是抛物线的最高点，也就是函数的最大值。
三、最大值公式的应用二次函数的最大值公式在实际问题中有很多应用，例如：投掷物体的最高点：如果一个物体以初速度v0从地面以角度θ抛出，忽略空气阻力，那么它的运动轨迹可以用一个二次函数来描述：y=x tanθ−gx22v20cos2θ其中x是水平方向的位移，y是竖直方向的高度，g是重力加速度。
这个函数的系数为a=−g2v20cos2θ<0，所以它有一个最大值，表示物体抛出后能达到的最高点。
二次函数求最值的方法
二次函数求最值的方法
二次函数的一般式是y=ax的平方+bx+c,当a大于0时开口向上,函数有最小值;当a小于0时开口向下,则函数有最大值。
而顶点坐标就是(-2a分之b,4a分之4ac-b方)，把a、b、c分别代入进去,求得顶点的坐标，4a分之4ac-b方就是最大值或最小值。
二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax²+bx+c(且a≠0)，它的定义是一个二次多项式(或单项式)。
如果令y值等于零，则可得一个二次方程。
该方程的解称为方程的根或函数的零点。
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。
二次函数最值及函数值范围问题
二次函数最值及函数值范围问题1.如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5分析:先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1,∵a＝1＞0，二次函数开口向上．∴x＞﹣1时，y随x 的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1时，y有最小值=（-1+1）2-4=﹣4，故选B．2.已知二次函数y＝﹣x2+4，当﹣2≤x≤3时，函数的最小值是，最大值是．分析:由二次函数解析式可求得其开口方向、对称轴，再利用增减性可求得答案．解：如图．∵y＝﹣x2+4，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，∴当﹣2≤x≤0时，y随x的增大而增大，∴当x＝﹣2时，y有最小值0，当x＝0时，y有最大值4，当0≤x≤3时，y随x的增大而减小，∴当x＝0时，y 有最大值4，当x＝3时，y有最小值﹣5，综上可知当﹣2≤x≤3时，函数的最小值是﹣5，最大值是4，故答案为﹣5；4．3.已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为-5，则h的值为（）A.3﹣或1+ B.3﹣或3+ C.3+或1﹣ D.1﹣或1+分析：由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1、x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最大值为﹣5，可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最大值﹣5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最大值﹣5，分别列出关于h的方程求解即可．解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，∴①如图1，若h＜1≤x≤3，x ＝1时，y取得最大值﹣5，可得：﹣（1﹣h）2+1＝﹣5，解得：h＝1﹣或h＝1+（舍）；②如图2，若1≤x ≤3＜h，当x＝3时，y取得最大值﹣5，可得：﹣（3﹣h）2+1＝﹣5，解得：h＝3+或h＝3﹣（舍）．③如图3，当h在1≤x≤3内时，y最大值是不是-5，而是1，即此情况下h的值不存在．综上，h的值为1﹣或3+．4.已知二次函数y＝（x﹣h）2+2（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则h的值为（） A．﹣1或1 B．﹣1或5 C．3或1 D．3或5 分析:由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值2，x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为6．可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值6；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值6，分别列出关于h的方程求解即可．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值6，可得：（1﹣h）2+2＝6，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值6，可得：（3﹣h）2+2＝6，解得：h＝5或h＝1（舍）．③当h在1≤x≤3内时，y的最小值是2，此情况下不符合题意，综上，h的值为﹣1或5，故选：B．5.已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）当0≤x≤4时，y的最小值是，最大值是；（3）当y＜0时，写出x的取值范围．分析:（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）根据二次函数的性质结合自变量的取值范围即可求解；（3）先求出方程x2﹣6x+8＝0的两根，再根据二次函数的性质即可求解．解：（1）y＝x2﹣6x+8＝（x2﹣6x+9）﹣9+8＝（x﹣3）2﹣1；（2）∵抛物线y＝x2﹣6x+8开口向上，对称轴为x＝3，∴当0≤x≤4时，x＝3，y有最小值﹣1；x＝0，y有最大值8；（3）∵y＝0时，x2﹣6x+8＝0，解得x ＝2或4，∴当y＜0时，x的取值范围是2＜x＜4．故答案为﹣1，8．6.已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7，其中﹣1≤x≤4，现有下列说法：①当x＝2时，y有最大值7；②当x＝2时，y有最小值7；③当x＝﹣1时，y有最小值﹣2；④当x＝4时，y有最大值3．其中正确的是（）A．①③B．①④ C．②④ D．①③④分析:根据函数的解析式画出该二次函数的草图，结合图形可得函数的最值情况．解：由函数图象可知，当x＝2时，y有最大值7，故①正确；当x＝﹣1时，y有最小值﹣2，故③正确；故选A．7.已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3分析:先求出x＝2时y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1,4），对称轴是x=1，当x=1时，y最大=4，当x＝2时，y＝﹣4+4+3＝3，∵当x＞1时，y随x的增大而减小，∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3，故选B．8.已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当x≥﹣2时，y的取值范围是．分析:根据函数中的解析式，先化为顶点式，从而可以得到当x≥﹣2时，y的取值范围．解：如图．∵二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴是x=1，当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，∴当x≥﹣2时，y≤4，故答案为：y≤4．9.已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最大值-1，有最小值-2 B.有最大值0，有最小值-1 C.有最大值7，有最小值-1 D.有最大值7，有最小值-2 分析：把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．10.若二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值是2，求a的值．分析：根据题意：二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值＝列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可．解：∵二次函数y＝ax2﹣4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．11.当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2分析：利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．解：y＝x2﹣2x+1=（x-1）2，对称轴为x=1．当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大．当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0（位于对称轴x=1的左侧），x2＝2（位于对称轴x=1的右侧）．当a≤x≤a+1位于对称轴左侧时，y随x的增大而减小；函数有最小值1，则x=a时，y有最大值，x=a+1时有最小值，∵x=0时y=1，∴此情况下x=a+1=0，a=-1，当a≤x≤a+1位于对称轴右侧时，y随x的增大而增大；函数有最小值1，则x=a时，y有最小值，x=a+1时有最大值，∵x=2时y=1，∴此情况下x=a=2，a=2，∴a＝2或﹣1，12.已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y 的最大值为9，则a的值为．分析：先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a．解：∵二次函数的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∴x＜-1时函数递减，x＞-1函数递增，∵﹣2≤x≤1时函数递增，∴y的最大值为9时x=1，当x=1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，∴3a2+3a﹣6＝0，∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去），∴a=1．13.已知点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是．分析：根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的y的取值范围，本题得以解决．解：∵二次函数y＝2（x+1）2﹣3，∴该函数对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，取得最小值-3，此时y ＝﹣3，∵点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是：﹣3≤y≤5．14.已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y 的最大值为7，求a的值．分析：根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，可以判断a的正负，得到关于a的方程，从而可以求得a的值．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3＝a（x+1）2+3a2﹣a+3，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，∴a＜0，当x＝﹣1时，y＝7，∴7＝a（x+1）2+3a2﹣a+3，解得，a1＝﹣1，a2＝（舍去），故答案为：﹣1．15.已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣a2+4（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣1≤x≤4时，y 的最小值为﹣5．求此二次函数的解析式．分析：利用二次函数的性质可找出抛物线的对称轴为直线x＝1，结合“当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣5”，即可得出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值，进而可得出二次函数的解析式；解：（1）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣a2+4的对称轴为直线x＝﹣＝1．∵当x≥2时，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵x=-1与x=3时，它们对应的二次函数的值相等，而3＜4，-1≤x≤4时，y的最小值为﹣5，即x=4时，y=5，∴a×42﹣2a×4﹣a2+4=-5，即16a-8a-a2+4=-5，解得：a＝﹣1，a=9（不合条件，舍去）∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．。
二次函数的最值与应用
二次函数的最值与应用二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
在研究二次函数时，最值是其中一个重要的性质，它能帮助我们解决很多实际生活中的问题。
本文将深入探讨二次函数的最值原理及其应用。
一、二次函数的最值原理1. 最值的定义最值即函数在某个特定区间内取得的最大值或最小值。
二次函数的最值可以通过抽象函数形式来确定。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不为零，其图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
2. 最值的条件二次函数的最值可以通过一些条件来确定。
当二次函数开口方向为开口朝上时，其最值为最小值，当开口方向为开口朝下时，其最值为最大值。
此外，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，最值的横坐标为（-b/2a）。
二、二次函数最值的求解1. 最值的求解方法解决二次函数的最值问题可以通过图像、导数以及配方法来求解。
其中通过图像可以直观地确定最值点的位置，通过导数可以求得最值点的切线斜率为零，而通过配方法则是用完全平方式将二次函数转化为顶点形式，从而确定最值。
2. 图像法求最值图像法通过绘制二次函数的图像来确定最值点的位置。
对于开口朝上的二次函数，最小值点即为图像的顶点；对于开口朝下的二次函数，最大值点即为图像的顶点。
通过观察图像的形状，可以直观地判断出最值点的位置。
3. 导数法求最值导数法通过求二次函数的导函数（一次导数）来确定最值点的位置。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其导函数为y' = 2ax + b。
通过求导函数的解，可以得到最值点的横坐标，从而确定最值点的位置。
4. 配方法求最值配方法通过将二次函数用完全平方式转化为顶点形式来确定最值点的位置。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，通过完全平方式将其转化为y = a(x - h)^2 + k的形式，其中(h, k)为顶点的坐标。
通过转化后的函数形式，可以直接确定最值点的位置。
二次函数的最值与图像
二次函数的最值与图像二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在很多实际问题中都有广泛的应用。
在学习二次函数的过程中，了解最值与图像关系是十分重要的。
本文将详细讨论二次函数的最值以及与图像的关系。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c，其中a不等于0，a、b、c为实数，且a、b、c常常是给定的值。
其中，a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c为常数项。
二、二次函数的最值1. 最小值和最大值二次函数的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c来说，如果a > 0，那么该二次函数开口朝上，函数的最小值是在顶点处取得的；如果a < 0，那么该二次函数开口朝下，函数的最大值是在顶点处取得的。
2. 寻找最值要寻找二次函数的最值，我们可以利用顶点公式。
二次函数的顶点坐标可以通过以下公式计算得出：顶点的x坐标：x = -b / (2a)顶点的y坐标：y = f(x)通过计算顶点的坐标，我们可以得到二次函数的最值。
三、二次函数图像与最值的关系1. 开口方向与最值二次函数的开口方向与最值有密切关系。
当二次函数开口朝上时，函数的最小值在顶点处取得；当二次函数开口朝下时，函数的最大值在顶点处取得。
2. 图像与顶点的位置关系二次函数的图像在平面直角坐标系中呈现出抛物线的形状。
当二次函数的顶点在平面坐标系的坐标原点时，图像的对称轴与x轴重合；当二次函数的顶点的坐标不在坐标原点时，图像的对称轴与x轴有一定的偏移。
3. 图像的凹凸性与开口方向二次函数图像的凹凸性与开口方向一致。
当二次函数开口朝上时，图像是凹的；当二次函数开口朝下时，图像是凸的。
通过观察图像的凹凸性，我们可以判断二次函数的开口方向。
四、实例分析通过以下实例，我们可以更好地理解二次函数的最值与图像的关系。
例1：考虑函数f(x) = x² - 4x + 3。
二次函数的最大值与最小值
二次函数的最大值与最小值威海市实验中学初四·七班—戚东平许多人都知道当把一个苹果抛向空中时，苹果会飞向空中，但它的速度会逐渐减小，并最终不向上运动（瞬间静止在空中），之后再加速落下。
这是因为物体受重力的缘故。
但其实，将苹果运行的时间与高度在坐标系中画出来，就是一个弧线，而且不是一般的弧线，是二次函数。
对于一个二次函数来说，它有正向的弧，也有倒的弧。
正弧的最高点是函数的最大值，而倒向的最低点则是最小值。
今天，我们就围绕着二次函数的最大与最小值来到论一下。
摘要：通过对二次函数的一些研究，来了解并掌握求二次函数的最大与最小值的方法。
一、出现的原因二次函数之所以会出现最大至于最小值，我们就要从它的根源说起。
二次函数的表达式可写为y=ax2+bx+c（abc均为常数，a≠0），其中的ax2+bx+c与我们所学一元二次方程有几分相像。
其实，二次函数与一元二次方程的就如同一次函数与二元一次方程的关系基本一致。
我们可以把原式写为ax2+bx+c+y=0，为了方便讨论且自变量与因变量的影响是互相的，所以我们就先假设y是改变x的自变量。
那么每一次在求值时我们都会先取一个y的值。
这时，y就可以看做一个常数那么我们就把它与常数项c写在一起，即ax2+bx+（c+y）=0，这下子整个式子中只有x是一个变量，这个式子也就是一个地地道道的一员二次方程了。
而这个方程中abc是固定不变的，因而y的改变会改变式子的常数项，这样一来，在解方程的时候, (c+y)的值与前面的ab相配合组成的方程可能有两个不相等的实根或两个相等的实根或没有实根。
这也就说明了当y值固定时，可能有两个x 满足，或只有一个，或没有。
再从x的角度来说，有两个x可以造成同一个y 值，但这两个点关于一个点对称，这个点就是特殊点，即最大（小）值，而不论x如何变化，y总有一道不可逾越的鸿沟，到达固定点后就会折返。
因此二次函数的这一特性造就了它的最大（小）值。
二次函数的最值与极值点
二次函数的最值与极值点二次函数是一种常见的数学函数，其图像通常呈现开口向上或开口向下的抛物线形状。
在研究二次函数的性质时，最值和极值点是其中的重要概念。
本文将详细介绍二次函数的最值与极值点，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、二次函数的最值二次函数的最值指的是函数在定义域上的最大值和最小值。
二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。
我们先来讨论抛物线开口向上的情况。
当a>0时，二次函数的图像开口向上。
在这种情况下，函数的最小值称为最小值。
为了确定最小值，我们可以观察二次函数的顶点。
二次函数的顶点可以通过公式x = -b/2a求得。
通过这个公式，我们可以得到横坐标x的值，然后将x代入函数中求得纵坐标y的值，即为最小值。
再来讨论抛物线开口向下的情况。
当a<0时，二次函数的图像开口向下。
在这种情况下，函数的最大值称为最大值。
同样地，我们可以使用顶点的横坐标和纵坐标来找到二次函数的最大值。
二、二次函数的极值点二次函数的极值点是指函数的导数为0的点。
具体来说，对于一元函数y=f(x)，如果在某点x0处导数f'(x0)=0，那么这个点就是函数的极值点。
对于二次函数y=ax² + bx + c而言，导数f'(x) = 2ax + b。
我们将二次函数的导数置为0，得到2ax + b = 0。
解这个方程得到x0 = -b/2a，这个值就是二次函数的极值点。
通过将x0代入原二次函数的表达式中，即可求得极值点的纵坐标。
需要注意的是，当a>0时，极值点为最小值点；当a<0时，极值点为最大值点。
三、二次函数最值和极值点的应用1. 最值和极值点的几何意义最值和极值点在几何中具有重要的意义。
对于开口向上的二次函数来说，顶点是函数曲线的最低点，它代表了最稳定的状态。
对于开口向下的二次函数来说，顶点是函数曲线的最高点，也代表了最稳定的状态。
二次函数的定义
二次函数的定义定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c 若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a ≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：（a，h，k是常数，a≠0）（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示。
二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。
二次函数的判定：二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。
二次函数的最大值和最小值二次函数的最值：1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。
也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，，当x=x1 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时。
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4.已知点P（x，y）在二次函数y＝2（x＋1）2－3的图象上. （1）当0＜x＜1时，y的取值范围是 －1＜y＜5 ； （2）当－2＜x＜1时，y的取值范围是 －3≤y＜5 ； （3）当－4≤x＜1时，y的取值范围是 －3≤y≤15 .
类型2 已知自变量取值范围下函数的最值，求待定系数的值
5.若二次函数y＝x2＋4x＋a的最小值是2，则a的值是 6 . 6.已知关于x的二次函数y＝ax2＋a2. （1）若它的最小值为4，则a的值为 2 ； （2）若它的最大值为4，则a的值为－2 .
当a<0，x1≤x≤x2时， y的取值范围是 y1≤y≤y2 ，
y的最大值为y2 ，最小值为y1 .
当a>0，x1≤x≤x2时， y的取值范围是k≤y≤y1， y的最大值为y1，最小值为k.
当a<0，x1≤x≤x2时， y的取值范围是 y2≤y≤k ， y的最大值为 k ，最小值为 y2 .
1.如图，已知二次函数y＝（x＋1）2－4，当－2≤x≤2时，函数的最
小值和最大值分别是（C ）来自A.－3和5B.－4和－3
C.－4和5
D.－1和5
2.已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是（ B ）
A.y≥3
B.y≤3
C.y＞3
D.y＜3
3.如图，点P（x，y）在抛物线y＝－（x－1）2＋2的图象上，若－1＜ x＜2，则y的取值范围是 －2＜y≤2 .
7.（2018·黄冈）当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则 a的值为（ D ）
A.－1 B.2 C.0或2 D.－1或2
8.【易错】已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3（其中x是自变量），当
x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为
（D ）
数学 九年级 下册 （北师）
第二章 二次函数 小专题（五）二次函数的最值及函数值的范围
类型1 限定自变量的取值范围，求函数值的范围（最值）
对于二次函数y＝a（x－h）2＋k图象上的两点（x1，y1），（x2， y2），求函数值的范围（最值）考虑以下四种情况：
当a>0，x1≤x≤x2时， y的取值范围是y2≤y≤y1， y的最大值为y1，最小值为y2.
A.1或－2
B.－ 2或 2
C. 2
D.1
9.【分类讨论思想】已知二次函数y＝－（x－h）2（h为常数），当自 变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，求h的值.
解：如图，画出二次函数的大致图象. 当h＜2时，由题意结合图象，可知 当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝2处取得， 即－（2－h）2＝－1. 解得h1＝1，h2＝3（舍去）；
当2≤h≤5时，函数y＝－（x－h）2的最大值为0，不符合题意； 当h＞5时，由题意结合图象，可知 当自变量x的值满足2≤x≤5时，函数的最大值在x＝5处取得， 即－（5－h）2＝－1. 解得h3＝4（舍去），h4＝6. 综上所述，h的值为1或6.