导数在经济中的应用举例

【摘要】导数是高等数学的基础之一，它在经济学中应用广泛，本文从边际分析，弹性分析两个领域说明导数在经济学中的应用.

【关键词】导数：边际成本；边际收入；边际利润；弹性

1.导数的概念

定义 1 设函数在点及其近旁有定义，当自变量在有增量时，函数有相应的增量

如果当时，的极限存在，则称在点处的导数存在或可导，这个极限值就称为函数在点处的导数，记为，即

2.导数在经济分析中的应用

1）边际成本

定义2 经济学中，边际成本是指总成本对产量的变化率.其经济意义是当产量达到某一点时，每增加一个单位产品所需增加的成本.边际成本一般记作，即

例1：某种产品生产件时，总成本（元），求当产量为100件时的平均成本和边际成本.

解：由于平均成本=，边际成本=，则生产100件时，总成本为

500元；

平均成本为；

边际成本为；

当时，

2）边际收入

定义3经济学中，边际收入是指总收入对销售量的变化率.其经济意义是当销售量达到某一点时每多销售一个单位产品时所增加的收入.边际收入一般记作，即

例2.设某产品的价格与销售量得关系为，求销售量为20时的总收入、平均收入与边际收入.

导数应用举例word版

§2—6 导数应用举例我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。一、导数在物理上的应用举例（一）导数的力学意义设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dt ds t s t v = '=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dt s d t s t v a =''='=在力学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。例1 某物体的运动方程为() 22 3 102 12秒米取g gt t s - =，求2=t 秒时的速度和加速度。解：根据导数的力学意义，得 ()()()()()()()(). 141024242,420242242, 12,62秒米秒米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v （二）导数的电学意义设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dt dq t q t I ='= 例2 设通过某导体截面的电量()?ω+=t A q sin （库仑），其中?ω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I 解：因为()?ω+=t A q sin ，所以 ()()()[]()?ωω?ω+=' +='=t A t A t q t I cos sin （安培）。二、导数在经济工作中的应用举例

导数在经济学中的应用

引言近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 2、经济分析中常用的函数由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸

多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成

导数及其应用概念及公式总结

导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数：（1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠

利用导数解决生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．二．利用导数解决优化问题的基本思路：三、应用举例例1（体积最大问题）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为 181234.53(m)042x h x x -??==-<< ?? ?．故长方体的体积为 22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ??=-=-<< ??? ．从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-．令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =．当01x <<时，()0V x '>；当312 x <<时，()0V x '<．故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值．从而最大体积233 (1)91613(m )V V ==?-?=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ．答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ．点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。例2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐

【精编_推荐】导数在经济学中的应用

导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到，则：称为c(x)在内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在内的平均变化率。而称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。例1，设有某种商品的成本函数为：其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加=50吨时，相应地总成本增加量为：这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即=1时，总成本的变化为：表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。产量由400吨减少1吨，即=-1时，总成本的变化为：表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。

在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义：定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即：其中=1或=-1。由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x 看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有：由极限存在与无穷小量的关系可知：（1）其中，当很小时有：（2）产品的增加=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为，即：误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导

导数及其应用)

导数及其应用导数的运算 1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n (x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= . 2. 求导数的四则运算法则： ()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2''' ≠-=??? ??v v u v vu v u 注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 ' ?'='x u x u y y 一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： 0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率；函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.曲线21 x y x =-在点()1,1处的切线方程为 ( ) A . 20x y --= B . 20x y +-= C .450x y +-= D . 450x y --= 2.曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为．变式一： 3.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( ) A ．4 B ．14- C ．2 D ．12 - 4.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( ) A .21y x =- B .y x = C .32y x =- D .23y x =-+ 变式二： 5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 6.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则 1299a a a +++的值为 .

导数及其应用.知识框架

要求层次重难点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念A了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义．导数的几何意义C 导数的运算根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数）B 导数公式表C 导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题B 定积分与微积分基本定理定积分的概念A了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．微积分基本定理A 高考要求模块框架导数及其应用

了解微积分基本定理的含义．一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率．注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．知识内容 x 0x y x O D C B A

导数在微观经济学中边际问题的应用

导数在微观经济学中边际问题的应用云南农业大学关键词：导数；变化率；边际；边际分析。前言：导数在现代经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有着很多具体的例子。掌握和应用导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要。把经济学中很多现象进行分析和归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答对很多经营决策者起了非常重要的作用。高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围非常广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我就导数在经济中边际问题的应用略做讨论。一、导数的概念从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。二、经济学中常用的函数导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。（一）价格函数一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见。例如：当购买的东西越多，消费者的消费额度就可以小些。（二）成本函数成本包括固定成本和变动成本两类. 固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为X。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为Y。这两类成本的总和称为总成本，记为Z，即 Z=X+Y 假设固定成本不变（X为常数），变动成本Y是产量Q的函数（Y=C(Q)），则成本函数为Z=X+C(Q)。（三）需求函数作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等. 为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量Q仅受市场价格x的影响。即

导数在经济学的应用

第七节导数在经济学中的应用本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 边际函数 ★ 边际成本 ★ 例1 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 函数的弹性 ★ 需求弹性 ★ 例5 ★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 ★ 返回内容要点：一、边际分析在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ?趋于0时，y 的相应改变量y ?与x ?的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化. 边际函数：根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值. 边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是，收入函数 )()(x xP x R = 利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数) 收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数. 二、函数弹性函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量

导数及其应用(知识点总结)

导数及其应用知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数'' ()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根（4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

高中数学导数及其应用电子教案

高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点（一）导数 1、导数的概念（1）导数的定义（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即。（Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。认知：（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；

②求平均变化率； ③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（2）导数的几何意义：函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。事实上，若函数在点处可导，则有此时，记 ,则有即在点处连续。（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。反例：在点处连续，但在点处无导数。

导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析一、内容安排本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时小结与复习.............. 约2课时二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：

(完整版)导数及其应用课标解读

导数及其应用课标解读 1、整体定位《标准》中对导数及其应用的整体定位如下： “微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。” 为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：（1）要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容呢？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解。（2）导数的运算不宜要求过高由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。这里，只要求学生能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=x 1,y= x 的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。（3）注重导数在研究函数和生活实践中的应用导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具。这里，我们要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。以及利用导数解诸如运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题，以及利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。（4）关注数学文化重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。 2、课程标准的要求（1）导数概念及其几何意义 ①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。 ②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 ①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=x 1,y=x 的导数。 ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。 ③会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。函数的单调性是函数的重要性质，函数的单调性问题是高考的热点问题，若利用函数定义求解，一般较为复杂，学生失分率高，新教材引入导数以后，有效地解决了这一难题。利用导

导数及其应用

1．设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),…,f n+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 2．已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为（） A．f（x）=(x-1)3+32(x-1) B．f(x)=2x+1 C．f(x)=2(x-1)2D．f(x) = -x+3 3.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________. 4．设t≠0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。5．已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间；（2）若f(x)在区间[-2，2]上最大值为20，求它在该区间上的最小值。 6．已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。 7．已知a∈R,讨论函数f(x)=e (x2+ax+a+1)的极值点的个数。 8．设函数f(x)=x-ln(x+m)其中常数m为整数。（1）当m为何值时，f(x)≥0; (2)定理：若g(x)在[a、b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a、b),使g(x0)=0. 试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0，在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。例2．已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处有极值。（1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。

导数应用举例

§2—6 导数应用举例我们知道，函数y = f (X )的导数f '(X 的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率, 因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。在意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。一、导数在物理上的应用举例 (一) 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为 S =s (t )，则物体运动的速度 v (t )是位移S = s (t )对时间t 的 ds 变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数v (t )=s '(t )=—;此时，若速度v 仍是时间t 的函数 dt d 2 s v (t ),我们可以求速度v 对时间t 的导数v '(t )，用a 表示，就是a = v (t )= s ^t )=—.在力 dt v (t )=s '(t )=6t 2 - gt, a (t )=s "(t )=12t -g, v (2 )= 24 - 2g = 24 - 20 = 4(米/秒 J a (2)=24-g =24-10 = 14(米/ 秒. 导数的电学意义 q 是q=q(t )，则通过该导体的电流 l (t 是电量q = q (t )对时间t 的变化率(单位时间内通过的电量)，即电量的一阶导数I (t )=q '(t )=四 dt 设通过某导体截面的电量 q =Asin ?t +W )(库仑)，其中A,◎严为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流 I (t) y = f (x )具有不同的实际学中, a 称为物体的加速度, 也就是说，物体运动的加速度 a 是位移s 对时间t 的二阶导数。某物体的运动方程为 S =2t '- 討2(9取10米/秒2 )，求t = 2秒时的速度和加速解: 度。根据导数的力学意义, 设通过某导体截面的电量解: 因为 q = Asin (o t )，所以

导数在生活中的优化问题举例

1.4第一课时生活中的优化问题举例一、课前准备 1．课时目标（1）了解函数极值和最值的基本应用. （2）会用导数解决某些实际问题. 2．基础预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： (1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中变量之间的，根据实际意义确定定义域. (2) 求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0,求定义域内的根，确定 . (3) 比较函数在和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值. (4) 还原到原中作答. 三、学习引领 1. 常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一. 2.解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．解决优化问题的基本程序是：读题建模求解反馈（文字语言）（数学语言）（导数应用）（检验作答） 3. 需要注意的几个问题 (1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响. (2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性. 四、典例导析题型一几何图形中的优化问题例1请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE =FB =x cm （1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2 ）最大，试问x 应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点（一）导数 1、导数的概念（1）导数的定义（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。如

在点处的导数（或变化率），记作，即。（Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。认知：（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；

③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（2）导数的几何意义：函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。事实上，若函数在点处可导，则有此时，

《导数及其应用》知识点总结

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值 00()() f x x f x y x x +?-?= ??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率： 00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=. 4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。二、导数的运算 1. 常见函数的导数：（1）()kx b k '+=(k , b 为常数)；（2）0C '=(C 为常数)；（3）()1x '=；（4）2()2x x '=；（5）32()3x x '=；（6）211()x x '=-；