2014高考数学一轮复习课件2.3函数的奇偶性与周期性

(2013·福州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对 任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x －x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)． 【思路点拨】 证明f(x＋4)＝f(x)，进而运用周期性与
移一个单位得到的，而y＝f(x)的图象的对称轴为x＝0. 【答案】 B
3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，
则f(8)的值为(
A．－1 【解析】
)
B．0 ∵f(x＋4)＝f(x)， C．1 D．2
∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(8)＝f(0)． 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(8)＝f(0)＝0. 【答案】 B
第三节
函数的奇偶性与周期性
1．奇函数、偶函数的定义
奇 偶性 奇函数 偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x
定
义
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＝f(x)
都有______________， 都有_____________， 那么函数f(x)是奇函数 那么函数f(x)是偶函数.
2．奇、偶函数的性质
【解析】
依题意b＝0，且2a＝－(a－1)， 1 ∴b＝0且a＝ ， 3 1 则a＋b＝ . 3
【答案】 B
2．已知y＝f(x)是偶函数，则函数y＝f(x＋1)的图象的 对称轴是( ) A．x＝1 B．x＝－1 1 1 C．x＝ D．x＝－ 2 2
【解析】 y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平
4－（－x）2 4－x2 又∵f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)， x －x ∴函数f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为R，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝ －(x2＋2)＝－f(x)； 当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)． 但f(0)＝－2≠0，所以函数f(x)为非奇非偶函数.
奇偶性把自变量转化到区间[0，1]上．
(2)根据f(－x)＝－f(x)求解．
【尝试解答】
(1)用转化与化归思想将f(
3 2
)转化到
x∈[0，1]上． 当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]， ∵f(x)为偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝－x＋1. 3 3 1 1 3 ∴f( )＝f( －2)＝f(－ )＝－(－ )＋1＝ . 2 2 2 2 2 (2)由f(－x)＝－f(x)， 1 －x x －2x a－2x 2 －a 2 －a a 得 －x ＝－ x ，即 ＝ x， 1 2 ＋a 2 ＋a a＋2 ＋2x a
1．本题第(1)题，若盲目化简：f(x)＝ x－1 （x＋1） · ＝ x＋1
2
x2－1 将扩大函数的定义域，作出
错误判断．第(2)题易忽视定义域无从入手． 2．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于 原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析 式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应 分情况判断．
判断下列函数的奇偶性． 4－x2 (1)f(x)＝ . |x＋3|－3
x2＋2（x＞0）， (2)f(x)＝ －x2－2（x≤0）.
【解析】
4－x2≥0 (1)由 ，得－2≤x≤2且x≠0. |x＋3|≠3
∴函数f(x)的定义域关于原点对称， 4－x2 4－x2 f(x)＝ ＝ ， x x＋3－3
∴2是f(x)(x≥0)的一个周期，
又∵f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴f(－2 011)＋f(2 012)＝f(2 011)＋f(2 012) ＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝1. 【答案】 C
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不
充分条件．
1.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 2．设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的 公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶 ×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(1)(2012· 浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周期为2 3 的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f( )＝ 2 ________． 2x－a (2)(2013· 清远调研)已知函数f(x)＝ x 在其定义域上 2 ＋a 为奇函数，则a＝________．
【思路点拨】 (1)先根据周期性缩小自变量，再根据
b ＋2 b＋4 1 1 1 2 又因为f(－ )＝－ a＋1，f( )＝ ＝ ， 2 2 2 1 3 ＋1 2 b＋4 1 所以－ a＋1＝ . 2 3 ∴3a＋2b＝－2.
【答案】
－2
错因分析：(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联 系起来． (2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，从而无法求出a、b的值． 防范措施：(1)对于周期函数，应注意所给区间包含几 个周期，有助于我们挖掘隐含条件． (2)对于两个字母的求值，应列两个方程求解，这也是
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2) 图象法；(3)性质法．
1.若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(直线x＝a对称．
2．若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函 数，其中一个周期为T＝2|a－b|.
3．周期性
3．周期性 f(x＋T)＝f(x) 若f(x)对于定义域中任意x均有_______________ (T为不 等于0的常数)，则f(x)为周期函数． 若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也 是f(x)的周期．
1．奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数
具有奇偶性的什么条件？ 【提示】 定义域关于原点对称，必要不充分条件．
(2013·惠州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函
数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x) ＝log2(x＋1)，则f(－2 011)＋f(2 012)的值为( A．－2 【解析】 B．－1 C．1 ) D．2
∵对于x≥0时，都有f(x＋2)＝f(x)，
1．根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的解析式 时，转化区间应根据周期性或奇偶性，不能随便转化． 2．若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有 1 1 f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝ 或f(x＋a)＝－ (a是 f（x） f（x） 常数且a≠0)，则f(x)是以2a为一个周期的周期函数．
4．(2012· 陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函 数的为( ) A．y＝x＋1 B．y＝－x3 1 C．y＝ D．y＝x|x| x
【解析】 数． 【答案】 D A选项中的函数为非奇非偶函数．B、C、D
选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函
判断下列各函数的奇偶性： (1) f(x)＝(x＋1) 1－x ； 1＋x
lg（1－x2） (2)f(x)＝ ； |x－2|－2
【思路点拨】
先求定义域，看定义域是否关于原
点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉．
【尝试解答】
1＋x≠0， (1)由 1－x 得，定义域为(－1， 1＋x≥0
1]，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数． 1－x2＞0 (2)由 得，定义域为(－1，0)∪(0，1)． |x－2|≠2 ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， lg（1－x2） ∴f(x)＝ . －x lg[1－（－x）2] lg（1－x2） 又∵f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)， x －x ∴函数f(x)为奇函数．
时有定义，则f(0)＝0.
(1)(2013· 珠海调研)已知函数f(x)＝
x2＋x，x≤0， 2 ax ＋bx，x＞0
为奇
函数，则a＋b＝________． (2)(2013· 揭阳质检)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝ x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，则实数a的取值范围是 ________．
①
又因为f(－1)＝f(1)， b＋2 所以－a＋1＝ ，即b＝－2a. 2 将②代入①，得a＝2，b＝－4. 所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
②
【答案】
－10
1．(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝ f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x) ＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( A．335 B．338 C．1 678 ) D．2 012
奇偶性求解．
【尝试解答】
(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝f(－1)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.
2．(1)若y＝f(x＋a)是偶函数，函数y＝f(x)的图象有什么 对称性？(2)如果y＝f(x＋b)是奇函数，函数f(x)的图象有什
么对称性？
【提示】 (1)f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)f(x)的
图象关于点(b，0)中心对称．
1．(人教A版教材习题改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义 在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( ) 1 1 1 1 A．－ B. C. D．－ 3 3 2 2
促使我们挖掘隐含条件的动力．
【正解】 因为f(x)的周期为2， 3 3 1 所以f( )＝f( －2)＝f(－ )， 2 2 2 1 1 即f( )＝f(－ )． 2 2 1 1 又因为f(－ )＝－ a＋1， 2 2
b ＋2 b＋4 1 2 f( )＝ ＝ ， 2 1 3 ＋1 2 b＋4 1 所以－ a＋1＝ . 2 3 2 整理，得a＝－ (b＋1)． 3
【解析】
(1)设x＞0，则－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)＝ax2＋bx.
又f(－x)＝－f(x)，
∴a＝－1，b＝1，∴a＋b＝0.
(2)当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(0)＝0. ∴函数f(x)在R上是增函数， 由f(3－a2)＞f(2a)， 得3－a2＞2a，解得－3＜a＜1. 【答案】 (1)0 (2)(－3，1)
(1)图象特征： 原点 奇函数的图象关于_______对称，偶函数的图象关于 y轴 ________对称．
(2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两 相同 个区间上有_______的单调性；偶函数在关于原点对称的两 相反 个区间上有______的单调性． (3)奇函数图象与原点的关系： 0 如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)＝____ .
从2012年的高考试题看，有7个省份考查函数的奇偶
性、周期性，主要考查奇偶性的判定，利用奇偶性与周期性 求函数值，与单调性交汇求解简单的方程与不等式，多以选 择题和填空题的形式出现，属中、低档题目，其中利用函数 的周期性时，应注意隐含条件的挖掘．
易错辨析之三
忽视隐含条件的挖掘致误
(2012· 江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数， ax＋1，－1≤x<0， 在区间[－1，1]上，f(x)＝ bx＋2 其中a， x＋1 ，0≤x≤1， 1 3 b∈R.若f( )＝f( )，则a＋3b的值为________． 2 2 3 3 【错解】 因为f(x)的周期为2，所以f( )＝f( －2)＝ 2 2 1 f(－ )， 2 1 1 即f( )＝f(－ )． 2 2
1 ∴ ＝a，∴a＝± 1. a
3 【答案】 (1) 2 (2)± 1
1．解答本题(2)时因误用f(0)＝0而求得a＝1，当定义域
包含0时，可用f(0)＝0，但应注意检验． 2．(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真． (2)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函 数在关于原点对称的区间上单调性相同． (3)①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；②若奇函数f(x)在x＝0