30度,45度,60度角的三角函数值(1)
304560度角三角函数值教案
304560度角三角函数值教案本教案主要介绍30度、45度和60度角的三角函数值的求解方法。
一、30度角的三角函数值1. 正弦函数(sinθ)：在单位圆上，30度角对应的坐标为（1/2，1/2√3），其正弦函数值为sin30° = y坐标 = 1/22. 余弦函数(cosθ)：在单位圆上，30度角对应的坐标为（1/2，1/2√3），其余弦函数值为cos30° = x坐标 = 1/23. 正切函数(tanθ)：tanθ = 正弦函数/余弦函数 = y坐标/x坐标= 1/√34. 余切函数(cotθ)：cotθ = 余弦函数/正弦函数 = x坐标/y坐标= √3/1二、45度角的三角函数值1. 正弦函数(sinθ)：在单位圆上，45度角对应的坐标为（1/√2，1/√2），其正弦函数值为sin45° = y坐标= 1/√22. 余弦函数(cosθ)：在单位圆上，45度角对应的坐标为（1/√2，1/√2），其余弦函数值为cos45° = x坐标= 1/√23. 正切函数(tanθ)：tanθ = 正弦函数/余弦函数 = y坐标/x坐标= 1/1 = 14. 余切函数(c otθ)：cotθ = 余弦函数/正弦函数 = x坐标/y坐标= 1/1 = 1三、60度角的三角函数值1. 正弦函数(sinθ)：在单位圆上，60度角对应的坐标为（1/2，√3/2），其正弦函数值为sin60° = y坐标= √3/22. 余弦函数(cosθ)：在单位圆上，60度角对应的坐标为（1/2，√3/2），其余弦函数值为cos60° = x坐标 = 1/23. 正切函数(tanθ)：tanθ = 正弦函数/余弦函数 = y坐标/x坐标= (√3/2) / (1/2) = √34. 余切函数(cotθ)：cotθ = 余弦函数/正弦函数 = x坐标/y坐标= (1/2) / (√3/2) = 1/√3四、总结与补充1.在30度、45度和60度角的三角函数值中，正弦函数和余弦函数的值都是由单位圆上的坐标确定的。
直角三角形的特殊角度计算
直角三角形的特殊角度计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。
在直角三角形中，两个直角边之间的夹角可以通过三角函数来计算。
本文将介绍如何计算直角三角形中的特殊角度，即30度、45度和60度角。
1. 30度角计算：在直角三角形中，30度角的边长比例是1:2:√3。
假设直角边的长度为a，斜边的长度为c，则另一个直角边的长度为2a。
根据勾股定理可得c²=a²+(2a)²=5a²。
因此，斜边的长度c为a√5。
2. 45度角计算：在直角三角形中，45度角的边长比例是1:1:√2。
假设直角边的长度为a，斜边的长度为c，则根据勾股定理可得c²=a²+a²=2a²。
因此，斜边的长度c为a√2。
3. 60度角计算：在直角三角形中，60度角的边长比例是1:√3:2。
假设直角边的长度为a，斜边的长度为c，则另一个直角边的长度为a√3。
根据勾股定理可得c²=a²+(a√3)²=4a²。
因此，斜边的长度c为2a。
通过以上计算，我们可以得到直角三角形中的特殊角度的边长比例。
这些特殊角度在数学和几何学中经常被使用，并在实际应用中起到重要作用。
除了边长比例，我们还可以通过三角函数来计算直角三角形中的特殊角度的正弦、余弦和正切值。
1. 30度角的三角函数值：正弦值sin(30°) = 1/2余弦值cos(30°) = √3/2正切值tan(30°) = 1/√32. 45度角的三角函数值：正弦值sin(45°) = √2/2余弦值cos(45°) = √2/2正切值tan(45°) = 13. 60度角的三角函数值：正弦值sin(60°) = √3/2余弦值cos(60°) = 1/2正切值tan(60°) = √3这些三角函数值在计算和测量过程中使用广泛，并具有许多实际应用，如建筑设计、物理学、工程学等。
30°,45°,60°角的三角函数值
30°,45°,60°角的三角函数值三角函数是数学中一个非常重要的概念，它们被广泛地应用于自然科学、工程技术、计算机科学等领域，具有广泛的应用价值。
在三角函数中，最基本的角度是30°、45°、60°，它们也被称为特殊角度，因为它们的三角函数值是可以精确计算的，非常有用。
本文将详细介绍30°、45°、60°角的三角函数值及其应用。
1. 30°角的三角函数值：（1）正弦函数值：sin30°=1/2（2）余弦函数值：cos30°=√3/2（3）正切函数值：tan30°=√3/3（4）余切函数值：cot30°=√3这种值得到的特殊角度的三角函数被几何学家和导航人员广泛使用，因为它们是关于圆周上的等腰三角形的特殊函数。
例如，sin30°等于1/2，是指在等腰直角三角形中，斜角为30°的边上的正弦比为1/2。
类似地，cos30°等于√3/2，是指在等腰直角三角形中，斜角为30°的角余割比为√3/2。
2. 45°角的三角函数值：（1）正弦函数值：sin45°=√2/2（2）余弦函数值：cos45°=√2/2（3）正切函数值：tan45°=1（4）余切函数值：cot45°=1如果我们构造一个45°-45°-90°等腰直角三角形，那么它的两条直角边就是相等的，而斜边就是两个直角边的平方和的平方根。
因此，sin45°=√2/2，即等腰直角三角形中斜边上的正弦比为√2/2。
cos45°与sin45°相同，并且tan45°=1，这意味着等腰直角三角形中斜边上的正切比为1。
因为余切函数是正切函数的倒数，所以cot45°也等于1;在等腰直角三角形中，斜边上的余切比是1。
《30°,45°,60°角的三角函数值》课件
AC＝ 3a
sin30°＝
BC AB
＝a 2a
＝
1 2
B
2a
60°
a
cos30°＝
AC＝
AB
3a 2a
＝
3 2
A
30°
3a ┌ C
tan30°＝
＝ BC
AC
＝ a
3
3a 3
做一做
⑴60°角的三角函数值分别是多少 ?你是怎样得到的?
⑵45°角的三角函数值分别是多少 ?你是怎样得到的?
⑶完成下表:
cos2 A 1 sin2 A. 或cosA 1sin2 A.
B
商的关系:
c
tan A sin A
cos A
A
a
┌
b
C
想一想
如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝a,∠A＝
30°,求BC。
解:∵∠C＝90°,∠A＝30°∴AB＝2BC,设
BC＝x则AB＝2x,由勾股定理得
AC2＋BC2＝AB2
北师大版九年级数学（下）
第二节 30°,45°,60°角的三角函数值
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兰州四十八中学 朱萍
回顾与思考1
锐角三角函数定义
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜
边的比、邻边与斜边比、对边与邻边的比也随之确
定,分别叫做∠A的正弦、余弦、正切。
sin A a c
O
B
C D
A
解:如图,根据题意可知,
∠AOD＝ 12×60°＝30°,OD＝2.5m,
∴OC＝OD
cos30°＝2.5×
3 2
≈
2.165（m）
1.2_30度_45度_60度角的三角函数值(1)课件
驶向胜利 的彼岸
?
将实际问 题数学化
B
C A
D
1 0 0 ∠AOD 60 30 , OD=2.5m, 2.5 2 在Rt△O C D 中， C D B O C 0 cos 30 , A OD 3 0 O C O Dcos 30 2.5 2.165(m). 2
a 2 b 2 a 2 b2 a 2 b2 ( ) ( ) 2 2 2 c2 c c c c
c
b
a B
C
问题: 如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝a,∠A＝ 30°,求BC.
2x
B x C
分析:
A
30°
a
┌
1.由∠C＝90°,∠A＝30°,我们想到了什么?
2.假设BC＝x,那么AB等于多少? 3.接下来如何求出BC?
0
60
0
特殊角的三角函数值的 计算
1. sin 60 2 sin 30 cos 30
3 1 3 解：原式 2 2 2 2
例：计算下列各值：
3 3 2 2
0
例：计算下列各值：
2. sin 60 cos 60
2 2
3 2 1 2 解：原式 ( ) ( ) 2 2
(互余角的三角函数关系）
小结
拓展
回味无穷
直角三角形中的边、角关系
驶向胜利 的彼岸
看图说话:
B
c a A b ┌ C
300
450
直角三角形三边的关系.
直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. 特殊角300,450,600角的三角函数 值. 互余两角之间的三角函数关系. 同角之间的三角函数关系
tan常见的数值
tan常见的数值
Tan函数是数学中常用的三角函数之一，它表示直角三角形中某个角的正切值。
在数学和工程领域中，tan常见的数值包括：
1. tan(0) = 0：表示角度为0度时，正切值为0。
2. tan(30) = 0.5774：表示角度为30度时，正切值为0.5774。
3. tan(45) = 1：表示角度为45度时，正切值为1。
4. tan(60) = 1.7321：表示角度为60度时，正切值为1.7321。
5. tan(90) = 无穷大：表示角度为90度时，正切值为无穷大。
6. tan(-30) = -0.5774：表示角度为-30度时，正切值为-0.5774。
7. tan(-45) = -1：表示角度为-45度时，正切值为-1。
8. tan(-60) = -1.7321：表示角度为-60度时，正切值为-1.7321。
9. 其他角度值的正切值可以通过计算器、表格或数学公式来求得。
在实际应用中，tan常见的数值对于计算机图形学、控制工程、信号处理等方面都有着广泛的应用。
但是需要注意的是，在计算过程中需要注意单位制的转换和精度控制等问题，以保证计算结果的准确性。
- 1 -。
北师大版九年级数学下册第一章30°,45°,60°角的三角函数值
方法归纳 特殊角的三角函数值的记忆方法: (1)数形结合记忆法:如图1-2-1所示,由定义可得各角的三角函数值.
图1-2-1
(2)增减规律记忆法:①正弦值随锐角度数的增大而增大,依次为 1 , 2 , 3 ; 222
②余弦值随锐角度数的增大而减小,依次为 3 , 2 , 1 ;③正切值随锐角度 222
点拨 从实际问题中抽象出数学问题,添加辅助线,构造矩形及含有特殊角 的直角三角形是解题关键.
知识点一 30°,45°,60°角的三角函数值
1.(2019天津滨海新区模拟)tan 45°的值等于 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.1
2
2
2
答案 D tan 45°=1.
2.(2019广东阳江一模)已知∠A是锐角,且满足3tan A- 3=0,则∠A的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.无法确定
综上所述,可归纳如下口诀进行记忆:一二三,三二一,三九二十七.
解析 (1)原式=3× 3 -2× 3 -2× 2 = 3 - 3 - 2 =- 2 . 322
1 -1
(2)原式= 2
3
2 = 3-6 3
3 = -3 3
3 = (-3 3
3)(2
3-3) = 27-15
3
=9-5 3 .
题型二 利用特殊角的三角函数值解决实际问题 例2 如图1-2-4,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm,灯罩BC长 为30 cm,底座厚度为2 cm,灯臂与底座构成的角∠BAD=60°.使用发现,光线 最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE 是多少cm?(结果精确到0.1 cm,参考数据: 3 ≈1.732)
九年级数学上 30°,45°,60°角的三角函数值
23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值【学习目标】经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，熟练进行计算，使学生理解正、余弦相互关系式及推导过程，并能利用其解答一些根本问题．【学习重点】能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算． 【学习难点】进一步体会三角函数的意义．旧知回忆：如下图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°(1)sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝ba ．(2)假设∠A ＝30°，那么a c ＝12．根底知识梳理知识模块一 30°、45°、60°角的三角函数值 阅读教材P 117～118页的内容，答复以下问题： 1．如何得出30°、45°、60°角的三角函数值？答：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°，设BC ＝1，那么AB ＝2，由勾股定理得AC ＝3，于是可得sin 30°＝12，cos 30°＝32，tan 30°＝33，sin 60°＝32，cos 60°＝12，tan 60°＝3.2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，设BC ＝1，那么AC ＝1，AB ＝2，于是有：sin 452cos 452tan 45°＝1． 【归纳结论】特殊角三角函数值：例：求以下各式的值：(1)cos 260°＋cos 245°＋2sin 30°sin 45°； (2)cos 60°＋sin 45°cos 60°－sin 45°＋cos 60°－cos 45°cos 60°＋cos 45°.解：(1)原式＝(12)2＋(22)2＋2×12×22＝14＋12＋12＝54；(2)原式＝12＋2212－22＋12－2212＋22＝〔1＋2〕2＋〔1－2〕212－〔2〕2＝1＋2＋22＋1－22＋21－2＝－6. 知识模块二正弦和余弦的关系阅读教材P 119页的内容，答复以下问题： 正弦和余弦的关系是怎样的？ 如何推导？答：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.∵sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，sin B ＝b c ，cos B ＝ac ，∴sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B.∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝90°－∠A ，即sin A ＝cos B ＝cos (90°－∠A)，cos A ＝sin B ＝sin (90°－∠A)例1：填空：(1)：sin 67°18′＝0.9225，那么cos 22°42′＝0.9225； (2)：cos 4°24′＝0.9971，那么sin 85°36′＝0.9971． 例2：sin A ＝1/2，且∠B ＝90°－∠A ，求cos B.解：∵∠B ＝90°－∠A ，∴∠A ＋∠B ＝90°，∴cos B ＝cos (90°－∠A)＝sin A ＝12.变式：α、β为锐角，且sin (90°－α)＝13，sin β＝14，求cos 〔90°－β〕cos α的值．解：∵sin (90°－α)＝cos α＝13，cos (90°－β)＝sin β＝14，∴cos 〔90－β〕cos α＝1413＝34.根底知识训练1．(1)在△ABC 中，sin B ＝cos (90°－∠C)＝12，那么△ABC 是等腰三角形；(2)α为锐角，tan (90°－α)＝3，那么α的度数为30°． 2．计算：(1)〔tan 30°－1〕2＋|1－tan 60°|cos 45°＝3(2)cos 60°＋sin 245°＋tan 30°·tan 60°sin 230°＋cos 230°＝2．本课内容反思1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。
特殊的三角函数值表30,45,60
特殊的三角函数值表30,45,60
三角函数把一个角度转换成一个“比率”，它可以告诉我们那个角度的正切值、余切值和正弦值等等，是计算和研究它们之间关系的关键技术手段，是构成计算机科学领域的重要内容，其研究活动以大数据技术为基础，通过对数据的分析总结，开发出多种特殊的三角函数值表。
特殊的三角函数值表，一般有30°、45°、60°几种。
30°是角度最小的，
其正切值为0.577，余切值为1.732，正弦值为0.5，其余两个角度的正切值均小
于该值，而余切值都大于1.732；45°正切值为1，余切值等于1，正弦值为0.707，在此值的基础上，60°的值就大于45°的，但是小于1，而余切值也大于1。
三角函数值表是应用大数据处理技术来总结数据的重要技术工具，在很多计算
器的设计中得到了广泛的应用，并且把特殊的三角函数值表作为标准进行开发，它能够帮助社会上人们解决一些日常生活中涉及到三角函数的问题，比如在工业自动化控制中，三角函数也常常被应用到做一些快速的计算，提高效率，如今，随着技术的发展和新颖的理论出现，特殊的三角函数值表也会不断丰富，为人们解决问题提供了一种新的思路。
30度,45度,60度角的三角函数值(1)
直角三角形的边角关系
2.300,450,600角的三角函数值(1)
金水四中数学组
回顾与思考1
锐角三角函数定义
w直角三角形中边与角的关系: w在直角三角形中,若一个
锐角确定,那么这个角的对
w这张表还可以看出许多
知识之间的内在联系?
w(3)tan300等于多少?
大家的想法
sin30°应等于三角板中30°角 而在直角三角形中，30°的角
的对比与斜边的比值 所对的直角边等于斜边的一
半
w若设这个直角边为x，则斜边为2x，另一条直角边为 x
w老师期望:
w你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来个
重新认识和评价.
w根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
44
做一做P11
特殊角的三角函数值表
三角函数
0 600
w(1)sin30 等于多少? 0
45 ┌ ┌
w(2)cos300等于多少?
tanA=
sinA=cos cosA
B
w如图,观察一副三角板:
w它们其中有几个锐角 300
w分别是多少度?
450
知识在于积累
w(5)sin450,sin600等于多少?
w(6)cos450,cos600等于多少? 300
w(7)tan450,tan600等于多少? 450
450 ┌ 600 ┌
正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 余切cotα
锐角α
300
w要能记
450
住有多
好
《30° 45° 60°角的三角函数值》直角三角形的边角关系PPT课件
分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，BC=35m,求AB .
B
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，
即
A斜的边对边
BC AB
1 2
可得AB= 2BC = 70m .
A
C
即需要准备70m长的水管
随堂检测 1.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是 14m ，
2.计算 2sin 30 3tan 30 tan 45 的值是
（
）
A
B
随堂检测
5.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹 角∠BCA=600.求B,C间的距离(结果精确到1m).
解：在Rt△ABC中， tan BCA AB ,
BC 即tan 600 12 ,
∴ CE=DB=5m CD=EB=1.5m
Ｃ
Ｅ
在Rt△ACE中 tan ∠ACE=AE
CE
Ｄ
Ｂ
∴ AE=CE ·tan ∠ACE=5 •tan60 0=53
∴ AB=5 3 +1.5=8.65+1.5=10.15≈10 m
即旗杆 的高度大约是10m．
归纳：解应用题之关键在 转化成数学问题
个性化作业
3
这个角的对边与斜边的比值都等于____2____.
自主学习检测 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= 54，则BC的长为__8___.
5、当锐角A>45°时，sinA的值( B )
A、小于
2 2
B、大于
2 2
C、小于 2 2
D、大于 2 2
1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
∠AOD 600 300 , OD=2.5m, 2
┌ C A
●
2.5
3 OC OD cos 30 2.5 2.165(m). B 2
D
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300, 高为7m,扶梯的长度是多少? 14m
0 1
1 0
0 不存在
练习
sin 0° +cos2 0° +tan 0°
例2 如图:一个小孩 荡秋千,秋千链子的长 度为2.5m,当秋千向两 边摆动时,摆角恰好为 600,且两边摆动的角 度相同,求它摆至最高 位置时与其摆至最低 位置时的高度之差(结 果精确到0.01m). 老师提示:将实际问题数学化.
B
c
看图说话: 直角三角形三边的关系. A 直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. 特殊角300,450,600角的三角函数值. 互余两角之间的三角函数关系. 同角之间的三角函数关系.
450
a
b
┌ C
300
450
┌ 600
┌
习题1.3
P13 1，4
准备计算器
例2 如图:一个小孩 荡秋千,秋千链子的长 度为2.5m,当秋千向两 边摆动时,摆角恰好为 600,且两边摆动的角 度相同,求它摆至最高 位置时与其摆至最低 位置时的高度之差(结 果精确到0.01m).
O
●
2.5
B
┌
C ADO解: Nhomakorabea图,根据题意可知, 1
OC 0 cos 30 , OD
三角函数 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 锐角α
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值学习目标： 1能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 学习过程：知识链接：如图所示 在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
1.（1）∠A+∠B= （2）a 、b 、c 三者之间的关系是 ，2. （1） sinA = cosB= ，（2）cosA= sinB= ， （3）tanA=Btan 1= ，（4）22sin A cos A ______+=，（5） tanA = A A cos sin3、 在Rt △ABC 中，若∠C=90°，∠B=30°， a : b : c = _________ 问题一：探索30°，45°，60°角的三角函数值1、观察:一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?2、如图：在直角三角尺ABC 中，若∠C=90°，∠A=30° ，∠B=60° ，设 BC为 x ，则 AC = ____， AB = ____sin30°=_________=_______ sin60°=_________=_______ cos30°=____ ____=_______ cos60°=_______ _=_______ tan30°=_________=_______ tan60°=______ ___=_______ 3、如图：在直角三角尺ABC 中，∠A=45°,请你仿上探索：sin45°=_________=_______ cos 45°=________=_______ tan 45°=________=_______ 4.小结：（背诵）5、发现：从上表中你可以看出三角函数的哪些规律?（1）_________ （2） _________ （3）___________B问题二：特殊角（30°，45°，60°）的三角函数的计算。