一阶二维微分方程组

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误差要求？
yn (x)
ML h
n
n 1
( n 1)
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Lipschitz条件的加强
f y ( x, y ) L, ( x, y ) R0
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1、自治方程的相线
平衡点，斜率场，解图像，相 线图
dy dt
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y (1 y )
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一阶方程解的存在性、唯一性
R0 : x x0 a , y y0 b
f(x,y)在R0上连续
dy f ( x, y) .( 1 ) y y 0 dx y ( x0 ) y0
x
max

x0
f ( x, y ) M
( x , y ) R 0
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（3）在R0上
n y0 b
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函数序列一致收敛的条件
( x , y 1 ), ( x , y 2 ) R 0 , L 0 , s .t f ( x , y 2 ) f ( x , y 1 ) L y 2 y 1
Local Lipschitz condition
dy dt

f ( y ), f ( y 0 ) 0

则 （1）y0是源当且仅当 f(y)在y0附近严格单调增 加； （2） y0是汇当且仅当 f(y)在y0附近严格单调递 减；
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定理1.8（线性化定理）f(y)连续可微

若 f’(x0) >0 ，则 y0 是源；
若 f’(x0) <0 ，则 y0 是汇； 若f’(x0) =0 ，则需要进一步信息判断类型。
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一致收敛
n :0
(
n 1

n
n 1ห้องสมุดไป่ตู้)
n n 1
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n (x)
是（2）的连续解
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(x)
是（2）的唯一的解
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(1)的近似解析解（Piccard序列）
x
yn y0

x0
f ( s , y n 1 ( s )) ds
dy v 2 dt d y k y 2 dv k dt m y m dt
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5、一阶二维微分方程组的一般形式
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
初值问题
向量表示
dx f ( x , y ), x ( t 0 ) x 0 dt dy g ( x , y ), y ( t 0 ) y 0 dt
2.2：定性方法：相平面与轨线；解空 间与解曲线
dx 2 x 1 . 2 xy dt dy y 0 . 9 xy dt
平衡解分析
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微分方程=自然定律？



function dy=ODEfun2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=2*y(1)-1.2*y(1)*y(2);dy(2)=-y(2)+0.9*y(1)*y(2); return [T,Y]=ode45('ODEfun2',[0:0.5:100],[2;3]); >> [T1,Y1]=ode45('ODEfun2',[0:0.5:100],[1;1]); >> [T2,Y2]=ode45('ODEfun2',[0:0.5:100],[1;2]); >> numsol2=[T,Y,T1,Y1,T2,Y2] subplot(3,1,1),plot(T,Y,'-g');subplot(3,1,2),plot(T1,Y1,'b');subplot(3,1,3),plot(T2,Y2,'-r');figure;plot(Y(:,1),Y(:,2),'-g');hold on;plot(Y1(:,1),Y1(:,2),'-b');plot(Y2(:,1),Y2(:,2),'-r');


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P80
43.
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食饵的食物不丰富，自身的竞争非常激烈 两种群竞争（共生）模型
dx dx ax bxy ax (1 dt dt dy dy cy dxy cy (1 dt dt
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x N y M
) bxy ) dxy
环 境 的 限 制
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6、初值问题解的存在唯一性定理
du F (u ) , R {( t , u ) || t t 0 | a , || u u 0 || b } dt u (t ) u 0 0
在R上连续；关于 Lipschitz条件
满足局部的
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f ( x, y ) g ( x, y ) x0 y 0
du dx F (u ) f ( x , y ), x ( t 0 ) x 0 x 0 dt x dt u , u 0 y , dy y 0 g ( x , y ), y ( t 0 ) y 0 u0 dt
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最简单系统的定性分析
dx 1 x dt , (1) 1 2 0 ; ( 2 ) 0 1 2 ; ( 3 ) 1 0 , 2 0 dy 2 y dt
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相图
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作业：P89-figure2.4,2.5;P106-2.4.3（自 学）
3、传染病模型
x (t ) y (t ) r (t ) N dr Lx dt dx Lx Kyx , x ( 0 ) x 0 dt dy Kxy , y ( 0 ) N x 0 dt
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4、质点-弹簧系统模型
4、平衡点的分类

源、汇、结点
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例子:平衡点的类型与f(y)在y0的单调性
dy dt y; dy dt y; dy dt ( y 1)
2
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由此而得：线性化定理

定理 y0是汇

y0是源 y0是结点

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定理1.7 如果是自治方程的一个平衡点
第二讲 一阶二维微分方程组
1、二维微分方程组的模型：两生物种群 生态模型
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2、捕食-食饵模型（狐狸-野兔）
R dR dR R RF R (1 ) RF dt dt N dF dF F FR F FR dt dt
f ( s , y ( s )) ds , ( 2 )
（1）有解与（2）有连续解等价
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构造函数序列
x
y y0

x0
0 ( x) y0 x f ( s , y ( s ) ds ) (3) ( x ) y 0 f ( s , n 1 ( s )) ds n x0