平面向量复习与小结学案

必修4
2.5.3平面向量复习与小结
【学习目标】
1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，通过学生补充相关内容，加深理解向量的概念、平面向量的基本定理、两向量平行与垂直的条件、平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，对分析问题、解决问题方面有更进一步的感受．．
2．通过本节对向量有关内容的复习，进一步认识事物之间的相互转化．感受数学的应用．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．
3．能通过一题多解的活动、通过多种方法间的沟通，体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．
【学习重点】构建知识网络、梳理题型解法、向量知识综合运用.
【难点提示】理清知识脉络与联系，知识与方法在一些综合性问题中的灵活运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材114121P 结合进行自主学习（对教材中的文字、
图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；
2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
【学习过程】 一、学习准备
前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容进行系统复习， 同时思考下列问题：
1.在对网络中个知识点回顾与复习后，请对不熟悉的知识点重点复习并写在空白处或添纸上（链接1供你参考对照），对个知识点尽可能达到一定的熟练程度，同时还要理清知识间的联系，发现明白知识的易错易混点，必须确保各知识点在求解问题时能准确与灵活运用！
2.在前面的学习中，我们遇到过哪些问题，运用了哪些思想方法求解？在前面的学习中， 求解有关向量问题的易错点有哪些？（见上学案2.5.1中的学习链接）
3.运用向量法解决几何问题的三步曲 、 、 （见上学案2.5.1中的学习链接）.
4. 用向量知识研究物理问题的基本思路、方法与步骤 （见上学案2.
5.2中的学习链接）.
二、典例赏析
例1.已知),2,3(),2,1(-==b a 当k 为何值时，（1）b a b a k 3-+与垂直？ （2）b a b a k 3-+与平行？平行时它们是同向还是反向？
解:
解后反思 共线向量的充要条件的两种表示形式在应用中的特点你学会了吗？ 变式练习 设坐标平面上有三点A 、B 、C ，,分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向的单位向量，若向量2-=，m +=，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线？
解：
例2.在ABC ∆中，.,,===若∙=∙=∙． 求证ABC ∆为正三角形．
证明:
解后反思 你能通过一题多解的训练学会举一反三吗？如下面的变式. 变式练习 02
=+∙若则ABC ∆的形状是
例3 .平面内有向量OA OB OP ===（1，7），（5，1），（2，1），点Q 为直线OP 上一动点，（1）求QA QB ∙取最小值时，点Q 的坐标;
（2）当点Q 满足（1）的条件和结论时，求cos AQB ∠的值． 解:
解后反思 从该题的求解是否感受到：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，给解题带来很大的方便．通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明与计算转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用．有助于“数形结合”解题思想的认识和掌握．
变式练习 已知向量(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，(,)22
ππ
θ∈-
（1）若a b ⊥ ,求θ的值;（2）求a b -的最小值; （3）求函数)(θf y ==a ·b 的单调增区间 解：
例4.已知a 、b 是两个非零向量，当a +t b （t ∈R ）的模取最小值时， （1）求t 的值； （2）求证：b ⊥（a +t b ）
思路启迪：利用|a +t b |2
=（a +t b ）2
进行转换，可讨论有关|a +t b |的最小值问题，
若能计算得b ·（a +t b ）=0，则证得了b ⊥（a +t b ）
解：
解后反思你还有其他证明方法吗？
变式练习 设向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ，且a 、b 满足
||3||b k a b a k -=+（k 为正实数）
，（1）求证：)()(b a b a -⊥+；（2）设a 与b 的数量积表示为k 的函数)(k f ，求)(k f （3）求函数)(k f 的最小值及取得最小值时与的夹角．
解：
四、学习反思
1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：通过本节课的复习对向量知识是不是更加理解与掌握了？能对向量知识的综合与灵活运用了吗？
2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？
3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？（链接2）
五、学习评价
1.（06四川）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量 积中最大的是（ ）
A.1213,PP PP ；
B.1214,PP PP ；
C.1215,PP PP ；
D.1216,PP PP . 2.ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，
已知sin 1B =，向量p ()a b =，，q (12)=，
．若q p //，则C ∠角的大小为 3.在下列命题中，正确命题的个数为
A
B
M
C
Q
P A
C
B
①a ·0＝0；②0·
a
＝０；③（→a ·→b ）→c =→a （
→b ·
→c
）
+=-，则0=b ；⑤→a ·→
b -→
b ·→a =→
0；
⑥1===→
→
→
c b a ，且→
a ∥→
b ，→
b ∥→
c ，则→
a 与→
c 是模相等且同向或反向的两个向量
⑦ a ·
b ＝０，则a 与b
中至少有一个为0； 4.已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围
为_____________________
5.已知向量a (2,3)m m =-+，b (21,2)m m =+-，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 .
6.如图ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD BN=
3
1
BD ，求证：M 、N 、C 三点共线 证：
7.已知向量,a b 满足1,a b ==且()30a kb ka b k +=-< （1）试用k 表示,a b ⋅并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 夹角的值； （2）当a b ⋅取最大值时，求实数,λ使a b λ-最小. 解：
8.如图，点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，求证：12OA OA OA OB +=+ （1） 一般地，如果点1A ，2A ，…1n A
-是AB 的n (3)n ≥等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例并证明你写的结论
解：
9.已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径， （Ⅰ）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （Ⅱ）求BP CQ ⋅的最大值
解：
10.教材P118页复习参考题A 组2、10、11，B 组1、4、5、
6、7、8.
【学习链接】
链接1.知识要点梳理 （一）基本概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫向量；零向量（特殊向量）：长度为零的向量；
2.单位向量：长度为一个单位长度的向量，与非零向量a 共线的单位向量0a a a
=±
；
3.平行向量：若非零向量,a b 方向相同或相反，则//a b ；规定零向量与任一向量平行，平行向量就是共线向量.
4.向量相等：b a =⇔ 模相等，方向相同；相反向量：b a
-=⇔模相等，方向相反.
5.两个非零向量a 、的夹角：做=a ；=b ；AOB ∠叫做a 与b
的夹角．
6.向量的坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=a
j y i x +，则
()y x ,叫做a 的坐标．
7.向量a 在b 方向上的投影：设θ为a 、b 的夹角，则cos a θ为a 在b 方向上的投影.
向量） 记：OA OB -是一个向量，=a
λ||||a λ
（三）基本定理、公式 （1）平面向量基本定理：若1e
与2e
不共线，则对平面内的任意一个向量a
，有且只有一
对实数1λ、2λ；使得=
a
2211e e λλ+．
（2）向量的模：a
＝
＝
2
2y
x +；非零向量a
与b 的夹角：
=
θc o s 2
22
22
12
12
121|
|||y x y x y y x x b a +++=
（3）向量平行：a ∥b ⇔λ=⇔1221y x y x =；向量垂直：a
⊥
b
⇔0=⋅⇔02121=+y y x x .。