第四节(解析函数)

解 析 函 数
如果函数f z 在z0 及z0的邻域内处处可导, 则称 f z 在z0 解析.
如果函数 z 在区域D内每一点解析则称 f z 在D内解析. f ,
如果f z 在z0 不解析, 则称z0 是f z 的奇点.
全纯函数或正则函数 或称f z 是D内的一个解析函数
2 2 2
因此可得



u 2 cos C x x 2 y 2 C 2 f ( z ) 2 cos C i 2 sin 2 2 • 2 cos i sin C 2 2

•
2z C
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1 w 例3 研究函数 的解析性. z
2 求u(x,y)的方法和例1一样，可以用三种方法，这里只介绍全微
分显式法，先计算v的偏导数 v 1 v sin , • 2 2
v cos (1 cos ) 2 sin


2
cos

2
由柯西－黎曼方程可得 u 1 u cos , • sin 2 2 2 2 则可得
解 1 x iy
u v u v 1, 1 x y x y 函数在复平面内处处不 可导,处处不解析. v u u v x x x e x cos y e sin y , 2 e cos y , e sin y , y y x x u v u v 导 , 函数在复平面内处处可 ,处处解析. x y y x
2
充分必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可 导的充分必要条件是
1. u ( x, y ), v ( x, y )在( x, y )点处可微； 2. 在(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导(微)
梯度 u (直角分量
u, v 分别是曲线u=常数和v=常数的法向矢量, 因此
U=常数和v=常数是互相正交的两曲线族
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(2)若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数 2u 2u 2u 2 v 2 v 2 v , , 2, 2, , 2 后边我们将证明,二阶偏导数 2 x xy y x xy y 存在且连续,对柯西-黎曼方程 u v u v , x y y x
f z 在D内是常数.
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v v 2 x, • 2y y x
v 2 xdy ( x) 2 xy ( x) 其中 (x)为x的任意函数,再 v 对x求导 2 y ( x) 由柯西-黎曼条件知道 ( x) 0 x 从而有 ( x) C 可得v=2xy+C
f z u x x , y iv x x , y
v y x , y iu y x , y
0
u x x, y u y x, y v y x, y v x x, y 0
u 常数，v 常数
z , 解 w在复平面内除 0外处处可导
dw 1 且 2, dz z
1 在除z 0外的复平面内 函数w 处处解析 , , z
而z 0是它的奇点 .
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例4
判定下列函数在何处可导，在何处解析： 1 z ; 2 f z e x cos y i sin y ; 3 z Re z .
前一式子对x求导,后一式子对y求导,相加可以消除v,得到
2u 2u 2 0 2 x y
同理可得
2v 2v 2 0 2 x y
如果某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续偏导数 且满足拉普拉斯方程 2 H 0, 则称H(x,y)为 区域B上的调和函数.
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以上说明u(x,y)和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程,即都是 调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别 称之为共轭调和函数
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u 2u 2u u ( ) 2 2 ( ) y y y x x x
可以用下列方法计算出 v( x, y ) (1)曲线积分法

dv
满足拉普拉斯方程
全微分的积分与路径无关,可选取特殊积分路径
使积分路径容易算出.
(2)凑全微分法 (3)不定积分法 以上方法同样适用于从虚部v求实部u的情况 微分的右端凑成全微分显式,v(x,y)自然求出
复 §1.1 复数与复数运算
复数的代数表示式： 复数的三角表示式： 复数的指数表示式： 扩充复平面： §1.2 复变函数
习
z x iy,
z r cos i sin
z re
i
复数的运算
复变函数的定义 常见复变函数
区域的概念
单连通域与多连通域
1
§1.3
导数
必要条件
Cauchy-Riemann条件
解析函数为 f ( z ) x 2 y 2 i(2 xy C ) z 2 iC
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例2 已知解析函数f(z)的虚部 v( x, y) x x2 y 2
求实部u(x,y)和解析函数f(z) v v 解 直角坐标系下， , 的计算比较烦琐，改用极坐标系 x y
3 x iy x x 2 ixy u u v v 2 x, 0, y, x. x y x y 当且仅当x y 0时, 柯西黎曼方程成立 . 函数仅在z 0可导, 在复平面内任何地方都 不解析.
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例5 如果f z 0在区域D处处为零，那末f z 在D内为常数. 证
例1 已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=x2-y2,求虚部和解析函数 解: 验证u是调和函数,
2u 2u 2, • 2 2 满足拉普拉斯方程,确实是某解析函数 2 x y
的实部.
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(1)曲线积分法
先计算u的偏导数
u u 2 x, • 2 y x y v v 2 y, • 2x 根据柯西-黎曼条件有 x y
三. 求解析函数的实部或虚部
若给定一个二元的调和函数,可以看做某个解析函数的实部 (虚部),利用柯西-黎曼条件求出相应的虚部(实部),也就确定了 这个解析函数. 给定的二元函数u(x,y)是解析函数的实部,求相应的虚部v(x,y) 二元函数v(x,y)的微分式是 v v dv dx dy 由柯西-黎曼条件可得 x y u u 原因如下 dv dx dy 是全微分， y x
u ( x, y ), v ( x, y )在( x, y )点处可微；
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充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)
在(x,y)处满足
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
1 f z 在区域D内解析 f z 在区域D内可导 2 f z 在一点解析 f z 在一点可导
实事上, 函数在一点可导 不一定在该点处解析 , .
函数在一点解 , 则在该点及该点的某个 析 邻域一定可导 .
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二. 解析函数的性质
(1)若函数f(z)=u+iv,在区域B上解析,则 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 (C1C2为常数)是B上的两组正交曲线族
C为积分常数
( 0, 0 )
•
( x, y )
o (x,0)
x
( x,0)
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(2)凑全微分法
dv=2ydx+2xdy dv=d(2xy)
由上已知 很容易凑成全微分形式d(2xy),则
此时显然有v=2xy+C
实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便. (3)不定积分法 上边算出 第一式对y积分,x看做参数,可得
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点 z=x+iy可导，那么有 u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在； x y x y
2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
u v u v , x y y x
u v x y v u x y
u v u v 两边分别相乘,得 x x y y u v u v 0 即 x x y y
u u v v 和 )梯度v(直角分量 和 ) 正交 x y x y
u 1 v 1 u v
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u u du d d
1 cos d sin d 2 2 2 2
• 2 cos d 2 d (cos ) d ( 2 cos )
dv=2ydx+2xdy
( x, y )
由此可得
右边是全微分,积分值
v
2 ydx 2 xdy C
( x, y ) ( x,0)
与路径无关,为便于计算,取如图路径:
y (x,y)
v
( x ,0)
2 ydx 2 xdy 2 ydx 2 xdy C 2 xdy C 2 xy C
那么f(z)在z=x+iy处可导。
u v x y u v y x
Cauchy-Riemann方程 在极坐标系下的形式为
1 v u 1 u v
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§1.4
一. 解析定义