气体分子运动论和热力学基础之玻尔兹曼分布律

其中n0表示εp = 0处单位体积内各种速度的总分子数。
在一定的速度和坐标范围内，在一定的温度下的 平衡状态中，分子的能量越低，分子数就越多态。
{范例8.6} 玻尔兹曼分布律
d N n 0 (2 π m k T )3 /2 e x p ( k T )d v x d v y d v z d x d y d z
在重力场中εp = mgz，因此在高 为z处的单位体积内的分子数为
n=dxddNyB dzn0exp(m kT gz)
在重力场中，气体分子的密度随高度的增加按指数规律减小。
分子的质量越大，分子数密 度随高度减小得越快，这是 因为重力的作用越显著。
气体的温度越高，分子数随 高度减小得越慢，这是因为 分子的无规则热运动加剧。
在温度一定时，分子的平均动能是一定的， 所以，分子优先占据势能较低的位置。
如果对坐标 进行积分
N0 n0
V
exp(p )dxdydz
kT
上式就演化为麦克 斯韦速率分布律。
由于对速率的积
分是归一化的
(2π m kT)3/2exp(k T k)dvxdvydvz1
可得玻尔兹曼分 布律的常用形式
dNBn0exp(kT p)dxdydz
[解析](2)在重力场中，气体分子的密度 随高度的分布可用点的密集程度表示。
不论什么 分子，由 于重力的 作用，分 子数密度 在低空比 较大，在 高空比较 小。
氖气的分 子量比较 小，分子 数密度减 小得比较 慢，在同 样的高度 内，点数 相对比较 均匀。
氧气的 分子量 比较大， 分子数 密度减 小得比 较快， 在高空 比较稀 薄。
{范例8.6} 玻尔兹曼分布律
(1)求证：在重力场中分子数 密度按高度分布的规律为
n
n0
exp(mgz) kT
其中z是高度。
氢气、氖气、氮气、氧气和氟气的分子量分别为2，20，28， 32和38，氢气、氖气、氮气、氧气和氟气在300K时分子数密度 按高度分布的曲线有什么异同？氧气在温度100K到400K(间隔 为50K)时分子数密度按高度分布的曲线有什么异同？ (2)用点 表示分子，通过点的密集程度表示氖气，氮气和氧气分子按高 度分布的规律。(温度设为300K)
{范例8.6} 玻尔兹曼分布律
(1)求证：在重力场中分子数 密度按高度分布的规律为
n
n0
exp(mgz) kT
其中z是高度。
氢气、氖气、氮气、氧气和氟气的分子量分别为2，20，28， 32和38，氢气、氖气、氮气、氧气和氟气在300K时分子数 密度按高度分布的曲线有什么异同？氧气在温度100K到 400K(间隔为50K)时分子数密度按高度分布的曲线有什么异 同？ (2)用点表示分子，通过点的密集程度表示氖气，氮气 和氧气分子按高度分布的规律 (温度设为300K)。
玻尔兹曼认为：气体在一定的温度下处于平衡状态时，在速
度间隔vx~vx + dvx、vy~vy + dvy、vz~vz + dvz和坐标间隔x~x + dx 、
y~ y + dy、z~z + dz中的分子数为
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此式称为玻尔兹曼
d N n 0 (2 π m k T )3 /2 e x p ( k T )d v x d v y d v z d x d y d z分称布为律概，率因exp子(-。ε/kT)
[解析](1)麦克斯韦的速度分布律和速 率分布律的指数中都包含动能因子
k
1 mv2 2
这是不考虑分子受外力场影响的情况。
如果分子在保守力场中运动，分子的总 能量就是动能与势能之和ε = εk + εp。 玻尔兹曼认为：指数中的动能应该用总能量代替。
{范例8.6} 玻尔兹曼分布律
(1)求证：在重力场中分子数 密度按高度分布的规律为
n
n0
exp(mgz) kT
其中z是高度。
氢气、氖气、氮气、氧气和氟气的分子量分别为2，20，28， 32和38，氢气、氖气、氮气、氧气和氟气在300K时分子数密度 按高度分布的曲线有什么异同？氧气在温度100K到400K(间隔 为50K)时分子数密度按高度分布的曲线有什么异同？
由于势能与位置有关，因此分子在空间的分布是不均匀的。