气体分子运动论和热力学基础之玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
玻尔兹曼分布律在物理学中的应用
气体分子运动论
01
玻尔兹曼分布律是气体分子运动论的基础，可以用来描述气体
分子在平衡态下的速度分布和能量分布。
热力学
02
玻尔兹曼分布律在热力学中也有广泛应用，如热力学第二定律、
熵的概念等都涉及到玻尔兹曼分布律。
固体物理
03
在固体物理中，玻尔兹曼分布律可以用来描述电子在金属中的
05 结论与展望
研究结论
玻尔兹曼分布律在重力场中粒 子按高度分布的研究表明，在 一定条件下，粒子分布符合玻
尔兹曼分布。
随着高度的增加，粒子分布 逐渐稀疏，但仍保持玻尔兹
曼分布特征。
重力场对粒子分布的影响表现 为在低处粒子聚集，高处粒子 较少，这与玻尔兹曼分布的特
性相符合。
研究限制与不足
01
本研究仅限于理论分析和模拟，未能进行实际实验验证。
能量状态
根据能量守恒，可以得出 粒子在重力场中的能量状 态由动能和势能共同决定。
能量变化
在重力场中，粒子的能量 会发生变化，主要表现在 动能和势能之间的转换。
03 玻尔兹曼分布律与重力场 的结合
玻尔兹曼分布律在重力场中的适用性
玻尔兹曼分布律适用于粒子在平衡态 下的分布情况，当粒子受到重力作用 时，其分布情况同样适用玻尔兹曼分 布律。
玻尔兹曼分布律重力 场中粒子按高度分布
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的概述 • 重力场中粒子的运动规律 • 玻尔兹曼分布律与重力场的结合 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01 玻尔兹曼分布律的概述
定义与特性
定义
玻尔兹曼分布律是描述粒子在平衡态下按能量分布的规律，其数学表达式为f(E) = exp(-E/kT)，其中E为粒子能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
玻尔兹曼分布律
分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数。
6
*力学量的平均值
x
xdN
N
xf ( x)dx
g( x)
g( x)dN
N
g( x) f ( x)dx
7
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布
重力场中粒子按高度的分布（ P ）mgh
热运动使分子趋于均匀分布而重力使之位于低处。 在重力加速度可以认为不变的范围,取地面为势能 零点.分布在高度为h的地方单位体积内的分子数?
上式右方仅与速率有关.与速度方向无关.具有各向同性的特点.
分布在任一速率v ~ v +dv区间的体积是
4v2 dv 17
结论：在平衡态下，当气体分子间的相互作用 可以忽略时，分布在任一速率区间v ~ v +dv 的 分子数占总分子数的比率为
dN v (
m
3
) 2 e mv2 2kT 4v2 dv
§4 玻尔兹曼分布律
4.1 统计分布律与分布函数的概念 • 分布函数
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布 • 等温大气压强公式（高度计原理）
• 玻尔兹曼密度分布律
• 玻尔兹曼分子按能量分布律
§5 麦克斯韦速度分布律
5.1 麦克斯韦速度分布律
5.2 麦克斯韦速率分布律
平均速率 v和方均根速率 v2, 最可几速率vp
3
• 分布函数 以伽尔顿板实验为例说明。
设一定量的分子总数为N
dN(x) 表示分布在某区间 x~ x +d x 内的分子数， dN (x) /N表示分布在此区间内的分子数占总分子数 的比率（或百分比）。
dN(x)/N 是 x 的函数，在不同区间附近取相等的 间隔，此比率一般不相等。
玻尔兹曼速度分布律
分子平均动能与温度的关系
分子平均动能是气体分子动能的平均值，与温度T有关。根据 玻尔兹曼速度分布律，分子平均动能随着温度的升高而增大 。这是因为高温下气体分子运动速度更快，具有更高的动能 。
分子平均动能与温度的关系可以用公式E=3/2kT表示，其中E 是分子平均动能，k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。这个公 式反映了气体分子平均动能与温度的正比关系。
高温高压下的适用性
当温度和压力较高时，玻尔兹曼速度分布律可能不再适用。这是因为高温和高压条件下，气体分子间 的相互作用以及分子与容器壁之间的相互作用变得更加复杂，需要考虑量子效应和相对论效应的影响 。
在高温高压条件下，可能需要采用其他理论模型，如量子统计力学或相对论统计力学，来描述气体分 子的速度分布。
适用范围
玻尔兹曼速度分布律适用于稀薄气体，即在分子数密度较低的情况 下，气体分子的运动行为可以用该定律来描述。
02 玻尔兹曼速度分布律的数 学表达式
表达式概述
玻尔兹曼速度分布律是描述气体分子在平衡态下速度分布的统计规律，其数学表达 式为：f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/2kT)，其中m是分子质量，k 是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。
玻尔兹曼速度分布律
目录
CONTENTS
• 引言 • 玻尔兹曼速度分布律的数学表达式 • 玻尔兹曼速度分布律的物理意义 • 玻尔兹曼速度分布律的应用 • 玻尔兹曼速度分布律的局限性 • 玻尔兹曼速度分布律的发展与展望
01 引言
背景介绍
气体分子运动论
气体分子运动论是物理学的一个重要 分支，主要研究气体分子在空间中的 运动规律和相互作用。
气体分子运动论和热力学基础之玻尔兹曼分布律
kT
)dvx
dvy
dvz
dxdydz
在温度一定时，分子的平均动能是一定的， 所以，分子优先占据势能较低的位置。
如果对坐标 进行积分
N0 n0
V
exp( p )dxdydz
kT
上式就演化为麦克 斯韦速率分布律。
由于对速率的积
分是归一化的
(m 2πkT
)3/ 2
exp(
k kT
)dvxdvydvz
/
2
exp(
kT
)dvx
dvy
dvz
dxdydz
分布律，exp(-ε/kT) 称为概率因子。
其中n0表示εp = 0处单位体积内各种速度的总分子数。
在一定的速度和坐标范围内，在一定的温度下的 平衡状态中，分子的能量越低，分子数就越多态。
{范例8.6} 玻尔兹曼分布律
dN
n0
(
m 2πkT
)3
/
2
exp(
[解析](2)在重力场中，气体分子的密度 随高度的分布可用点的密集程度表示。
不论什么 分子，由 于重力的 作用，分 子数密度 在低空比 较大，在 高空比较 小。
氖气的分 子量比较 小，分子 数密度减 小得比较 慢，在同 样的高度 内，点数 相对比较 均匀。
氧气的 分子量 比较大， 分子数 密度减 小得比 较快， 在高空 比较稀 薄。
由于势能与位置有关，因此分子在空间的分布是不均匀的。
玻尔兹曼认为：气体在一定的温度下处于平衡状态时，在速
度间隔vx~vx + dvx、vy~vy + dvy、vz~vz + dvz和坐标间隔x~x + dx 、
y~ y + dy、z~z + dz中的分子数为
热学-统计物理3 第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
v v pv v 2
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例1 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
M
3.方均根速率 v2
v2
N
0
v2dN N
0
v2Nf N
(v)dv
o
v
v2 v2 f (v)dv 4 ( m )3 2 e mv2 2kT v4dv
0
2 kT
0
v4ev2 dv 3
0
8 5
v2 3kT m
v2 3kT 3RT
2kT
v
麦克斯韦速率分布函数的物理意义： f (v) dNv
Nd v
既反映理想气体在热动平衡条件下，分布在速率 v 附近单
位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，又表示任意
一分子的速率出现在 v附近单位速率区间内的概率。
如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画 出的一条表示f(v) —v之间关系的曲线，称为气体分子的麦 克斯韦速率分布曲线。 ，它形象地描绘出气体分子按速率 分布的情况。
大量分子的速率的算术平均值叫做分子的平均速率.
v
vNf (v)dv
0
vf (v)dv
v 4 (
m
)3 e2 mv2 2kT v2dv
N
0
0
3.5玻尔兹曼分布律
1.38 1023 300 kT 10 2 2 2 ( 3 . 7 10 ) 1 2d p
6.8 103 ( m )
此计算值大于热水瓶胆的两壁间距，所以氮气分子 的平均自由程为 0.4 cm。
例.试计算气体分子热运动速率的大小介于vp- vp/100 和vp+vp/100之间的分子数占总分子数的百分数。 vp 99 ＝ vp 解：按题意 v v p 100 100
临界点 实际气体 等温线 临界等 温线
T
饱和蒸汽压
凝结线
范德瓦耳斯等温线 蒸发线
气体动理论
§3.7 气体分子的平均自由程
一个分子连续两次 碰撞之间经历的平 均自由路程叫平均 自由程 一个分子单位时间里 受到平均碰撞次数叫 平均碰撞频率 z
单位时间内分子经历的平均距离 v， 平均碰撞 z 次
v z
玻耳兹曼分布律：在温度为 T 的平衡态下，任何系 统的微观粒子按状态分布： dN E E/kT e N
玻耳兹曼分布律是麦克斯韦速率分布律的推广，其中状态 对应于一定能量值，也就是说，在能量越大的状态，粒子 数就越少，且随能量值增大按指数规律衰减。 重力场中分子按高度分布：
dN h e mgh/kT N0
平均碰撞频率 z
u
A d
d d
设有效直径为 d 的分子 A 以相对平均速率 u 运动， 其它分子可设为静止。在A运动方向上，以 d 为半 径的圆柱体内的分子都将与分子A碰撞。该圆柱体的 截面积 就叫碰撞截面
d
2
单位时间内分子A走 u ，相应的圆柱体体积为 u ，则 平均碰撞频率 统计理论可计算 平均自由程 对空气分子 标准状态下
§ 3.5 玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布律
就此空气柱求玻耳兹曼分布律中的n0
解 根据玻耳兹曼分布律，在重力场中，存在于x~x+dx ， y~y+dy ， z~z+dz 区间内，具有各种速度的分子数为
dN = ndV = n0e-e p / kTdxdydz
取z 轴垂直向上，地面处 z=0， 可得
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。
解 由气体的状态方程, 有
n
=
p kT
=
1.33 ´ 10-3 1.38 ´10-23 ´ 300
=
3.21´1017 m-3
l=
1 2π d 2n =
1 2π (3´10-10 )2 ´ 3.21´1017
= 7.79 m
12/13
一. 分子的平均碰撞频率 Z
一个分子单位时间内 和其它分子碰撞的平 均次数，称为性小球，分子间的碰撞 为完全弹性碰撞。大量分子中，只有被考察的特定分子A
以平均速率 u 运动，其它分子都看作静止不动。
8/13
·单位时间内与分子 A 发生碰撞的分子数为 nπ d 2u
dN (rv,vv) = Ce-e / kTdvxdvydvzdxdydz
式中e =ek+ep 是分子的总能量， C 是与位置坐标和速度无关 的比例系数。 这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。它给出了 分子数按能量的分布规律。
5/13
例 在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A ， 设柱体
一. 重力场中粒子按高度的分布
dp = -r gdh dp = -nm gdh
平衡态下气体的温度处处 相同，气体的压强为
分子动理论2(玻耳兹曼分布范氏自由程)
程
目录
• 引言 • 玻耳兹曼分布 • 范氏自由程 • 玻耳兹曼分布与范氏自由程的关系 • 结论
01
引言
主题简介
玻耳兹曼分布
描述气体分子在平衡态下，分子 速度分布的概率密度函数。
范氏自由程
分子在连续两次碰撞之间所走的 平均距离。
重要性及应用领域
物理学
气体分子运动论、热力学、统计物理等领域的基 础理论。
对未来研究的展望
1
随着科学技术的发展，我们需要进一步深入研究 微观粒子的运动规律和相互作用机制，探索更深 入的理论和模型。
2
我们需要加强跨学科的合作和研究，将分子动理 论与其他学科的理论和方法相结合，科研人才，加强 科研队伍的建设，为未来的科学研究和发展提供 有力的人才保障。
03
范氏自由程
范氏自由程的定义
01
范氏自由程是指分子在两次碰撞之间所走的平均距离。
02
它与气体分子的平均碰撞频率和分子的平均热运动速度有关 。
03
范氏自由程是分子动理论中的一个重要概念，用于描述气体 分子间的相互作用和运动特性。
范氏自由程的推导
01
通过气体分子的平均碰撞频率和分子的平均热运动速
范氏自由程则可以用来研究气体分子的输运性质，如扩散、 热传导和黏滞等现象。通过对范氏自由程的研究，可以深 入了解气体分子的微观运动规律。
对微观世界理解的意义
01
玻耳兹曼分布和范氏自由程对 于我们理解微观世界具有重要 的意义。
02
通过这两个概念，我们可以更 好地理解分子之间的相互作用 和运动规律，从而深入探究物 质的本质和变化规律。
这个分布函数描述了分子在某一特定速度v下的概率密度，反 映了气体分子速度分布的概率特征。
大学物理 12-7 玻尔兹曼能量分布律
1. 概述
无力场作用) 理想气体 — 自由粒子(无力场作用 无力场作用
ε = εk ε P = 0
氏分布(按动能分布 速率分布 — M氏分布 按动能分布 氏分布 按动能分布) 均匀” 空间分布 — “均匀” 均匀
有力场作用) 实际气体 — 非自由粒子 (有力场作用 有力场作用 按动能分布) 速率分布 — M氏分布(按动能分布 氏分布 按动能分布
对速度积分得： 对速度积分得：dN
x, y, z
= n0e
ε P kT
ε P kT
dxdydz
dV
dV 含各种速率) 含各种速率 x、y、z 处单位空间体积内分子数 (含各种速率 如为重力场大气层 (ε p = mgz)
n=
dNx, y,z
= n0e
~ 与εቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和T 有关
n = n0e
mgz kT
1908 Perin(法国 法国1807-1942)实验验证并测定 值 实验验证并测定k值 法国 实验验证并测定 1926 诺贝尔奖
坐标空间
x x + dx，y y + dy，z z + dz
3 2
m kT dNvx ,vy ,vz ,x, y,z = n0 dvxdvydvzdxdydz e 2πkT 速率空间 坐标空间 n0 — ε P = 0 处单位体积内分子数
εk +ε p
统计意义： 如分子) 统计意义：微观粒子(如分子 占据能量较低状态概率 如分子 >占据能量较高状态概率 占据能量较高状态概率
ε = εk + ε P
不均匀” 按势能分布 按势能分布) 空间分布 — “不均匀” (按势能分布 不均匀
玻尔兹曼定律：分子热运动与温度
玻尔兹曼定律，也称玻尔兹曼分布定律，是描述分子热运动与温度之间关系的物理定律。
它是由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪末发现的，为揭示分子热运动及热力学规律奠定了基础。
玻尔兹曼定律指出，在一个封闭的系统中，分子遵循统计力学原理，具有各向同性的随机运动。
在达到热平衡时，分子的热运动速度服从玻尔兹曼分布。
具体来说，玻尔兹曼分布描述了分子的速度分布与温度之间的关系。
玻尔兹曼分布可以用公式f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * exp(-mv^2/2kT) 来表示，其中f(v)代表速度v的分子数占总分子数的比例，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常量，T是绝对温度。
从玻尔兹曼分布的公式可以看出，分子的速度分布随温度而变化。
当温度升高时，分子的热运动速度增加，速度分布图变宽且向右平移。
而当温度降低时，分子的热运动速度减小，速度分布图变窄且向左平移。
这说明，温度与分子热运动速度之间存在直接的关系。
玻尔兹曼定律不仅揭示了分子热运动与温度之间的关系，还为热力学定律提供了理论基础。
其中最重要的便是热力学第二定律中的熵增定律。
熵是系统的无序程度的度量，而熵增定律表明，在一个封闭系统中，熵总是不断增加的，直至达到热平衡。
玻尔兹曼定律的分布函数可以用来解释熵增定律，因为分子的热运动速度在不同温度下分布的不均匀性增加了系统的无序程度。
玻尔兹曼定律的应用广泛。
在物理学中，它被用于解释气体的热力学性质、热扩散以及能量传递等现象。
在工程学中，它被用于设计供热、制冷和空调系统，以及优化材料的热导性能。
总之，玻尔兹曼定律揭示了分子热运动与温度之间的密切关系。
它不仅为热力学定律提供了理论基础，还在物理学和工程学领域得到了广泛应用。
通过研究玻尔兹曼定律，我们可以更好地了解分子热运动的规律，并应用于实际生活和科学研究中。
玻尔玆曼分布定律
玻尔兹曼分布定律是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布的定律，以奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼命名。
在物理学和化学中，这个定律被广泛应用于描述气体分子的速度分布。
任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其他粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡状态。
玻尔兹曼分布定律具体说明了处于任何速度范围的粒子数量与系统温度的关系，这个关系由一个数学公式表示。
这个公式表明，随着系统温度的升高，高速运动的粒子数量会增加，而低速运动的粒子数量会减少。
这个定律在物理学中有广泛应用，不仅限于气体分子的研究，还涉及到其他领域如电磁学、热力学等。
此外，它也为统计力学的理论框架提供了基础，使得我们能够更好地理解物质的热性质和动力学行为。
84麦克斯韦玻尔兹曼分布
3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
2kT
m ——分子的质量 T ——热力学温度 k ——玻耳兹曼常量
3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
2kT
麦克斯韦速 率分布曲线
f (v)
面积= dN/N
f (v)
N
0
dN N
0
f vdv
1
归一化条件
速率分布曲线
2、麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，
分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子数
的比率为
3
dN v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2dv
N
2kT
麦克斯韦速率分布函数
圆盘的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能
通过S达到D
l v
v l
3、实验结果
•分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； •速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； •在某一速率附近的分子数 的比率最大； •改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。
解：
f (v) d N
N dv
1. f (v)dv dN N
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数
占总分子数的比率。
2.Nf (v)dv dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v速率区间内的分子数。
3.nf (v)dv N dN dN VN V
—— 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数。
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律是描述气体分子速度分布的一种数学模型。
它是由奥地利物理学家玻耳兹曼在19世纪末提出的，被广泛应用于研究气体动力学、热力学等领域。
玻耳兹曼分布律的基本假设是：气体分子的速度是随机的，且分子之间的碰撞是弹性碰撞。
在这种情况下，气体分子的速度分布服从玻耳兹曼分布律。
玻耳兹曼分布律可以用以下公式表示：
f(v) = (m/(2πkT))^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/(2kT))
其中，f(v)表示速度为v的气体分子的概率密度函数，m表示气体分子的质量，k表示玻尔兹曼常数，T表示气体的温度。
从公式中可以看出，玻耳兹曼分布律与气体分子的质量、温度有关，速度越大的气体分子出现的概率越小。
此外，玻耳兹曼分布律还可以用于计算气体的热容、热传导系数等物理量。
在实际应用中，玻耳兹曼分布律可以用于研究气体分子的速度分布、
温度分布等问题。
例如，在研究气体分子的平均速度时，可以利用玻
耳兹曼分布律计算速度的平均值。
在研究气体的热传导性质时，可以
利用玻耳兹曼分布律计算气体分子的平均自由程。
总之，玻耳兹曼分布律是描述气体分子速度分布的一种重要数学模型，被广泛应用于研究气体动力学、热力学等领域。
它的应用不仅有助于
深入理解气体分子的运动规律，还可以为相关领域的研究提供重要的
理论基础。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布
O
v p
v
v2
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一温度下不同种气体速率分布比较
大时， v 的统计平均值可表示为
Nivi
v i N
因为速率连续分布， 所以有
v 0 vdNv N
关于 v 的任意函数 g(v) 在 v1 v2 速率区间的统计平均值为
v2 g(v)dN v2 g(v) f (v)dv
g(v) v1 v2 dN v1 v2 f (v)dv
麦克斯韦
3
f
(v)
4
m
2k T
2
e mv2
v ( 2kT ) 2
T ——热力学温度
m ——单个分子的质量
k ——玻尔兹曼常量
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O v vp
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
v
p
v
v
p
vp 100
v
p
vp 100
vp 50
在此利用vp ，引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率
分布律改写成如下简单形式：
气体分子运动论和热力学基础之玻尔兹曼分布律
此外，可以结合量子力学和经典力学理论，深入研究气体分子在不同 尺度下的运动规律和相互作用机制。
04
通过这些研究，有望进一步揭示气体分子行为的奥秘，为相关领域的 发展提供新的思路和方法。
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该理论在统计物理学、热力学 、化学反应动力学等领域有着 广泛的应用，对于理解气体分 子行为的本质和规律具有重要 意义。
对未来研究的展望
01
随着实验技术和计算机模拟方法的不断发展，对气体分子运动和热力 学性质的研究将更加深入。
02
未来研究可以进一步探索玻尔兹曼分布律在不同条件下的适用范围和 局限性，例如极端温度、高压等极端条件下的气体分子行为。
02 气体分子运动论基础
分子运动论的基本概念
1 2
分子
物质的最小单位，具有热运动和相互碰撞的性质。
分子的热运动
分子在不停地做无规则的热运动，温度越高，热 运动越剧烈。
3
分子的碰撞
分子之间会发生碰撞，碰撞过程中会传递能量和 动量。
分子动理论的基本假设
分子无规则热运动的假设
分子在空间中的运动是无规则的，即每个分子的运动方向和速度 都是随机的。
该定律基于微观分子运动和宏观热力 学性质之间的关系，为理解气体性质 和热力学过程提供了基础。
玻尔兹曼分布律的重要性
玻尔兹曼分布律是热力学统计物理学的基石之一，对于理解气体分子在平 衡态下的行为至关重要。
该定律有助于解释和预测气体在不同温度和压力下的性质，如密度、压强、 内能等。
玻尔兹曼分布律在物理学、化学、生物学等领域都有广泛的应用，对于理 解物质的宏观性质和微观机制具有重要意义。
分子之间相互碰撞的假设
玻尔兹曼分布律(补充)
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的起源和定义 • 玻尔兹曼分布律的数学表达形式 • 玻尔兹曼分布律的应用 • 玻尔兹曼分布律与其他统计分布的关系 • 玻尔兹曼分布律的近似和推广 • 玻尔兹曼分布律的实验验证
01 玻尔兹曼分布律的起源和 定义
起源
01
19世纪末，路德维希·玻尔兹曼在 研究气体分子运动时，提出了分 子分布的一种理论。
总结
泊松分布和玻尔兹曼分布律都是描述随机事件发生次数的统计分布，但它们关 注的侧重点不同。泊松分布关注的是单位时间内事件发生的次数，而玻尔兹曼 分布律关注的是事件发生的相对频率。
与指数分布的关系
指数分布
在一定条件下，某个事件发生的时间间隔往往服从指数分布。如果一个随机变量服从指数分布，则其概率密度函 数是关于时间间隔的倒数对称的。
在分子运动论中的应用
01
02
03
分析分子运动规律
利用玻尔兹曼分布律，可 以分析气体分子在平衡态 下的运动规律，如平均速 度、方均根速度等。
研究分子碰撞过程
玻尔兹曼分布律可以用于 研究气体分子之间的碰撞 过程，如弹性碰撞、非弹 性碰撞等。
预测分子输运性质
通过玻尔兹曼分布律，可 以预测气体分子的输运性 质，如扩散系数、粘滞系 数等。
在信息论中的应用
熵的概念起源
玻尔兹曼分布律是信息论中熵概念的起源，熵表示系统的混乱程 度或不确定性的度量。
概率分布的应用
玻尔兹曼分布律作为一种概率分布，可以用于描述信息传输中的错 误概率分布。
信息编码与解码
在信息编码与解码的过程中，可以利用玻尔兹曼分布律来优化编码 方案，提高信息传输的效率和可靠性。
指导实际应用
玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。
玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导。
它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。
由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。
例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。
如果在这个情况下应用玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。
另外一个不适用玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用玻尔兹曼分布。
另外，由于它是基于非相对论的假设，因此玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。
玻尔兹曼分布律 - 推导麦克斯韦速度分布律是讨论理想气体在平衡状态中在没有外力场作用下分子按速度分布的情况。
这时分子在空间分布是均匀的，气体分子在空间各处的密度是一样的。
如果气体分子处于外力场(如重力场、电场或磁场)中，分子按空间位置的分布又将遵守什么规律呢？能有关。
实际上，麦克斯韦已导出了理想气体分子按速度的分布，即在速度区间dvxdvydvz的分子数与该区间内分子的平动动能εk有关，而且与e－εk/kT成正比。
据(9.29)式可得玻耳兹曼把麦克斯韦速度分布律推广到气体分子在任意力场中运动的情形。
在这种情况下，应考虑到分子的总能量ε＝εk＋εp，这里εk是分子的动能，εp是分子在力场中的势能。
同时，由于一般说来势能随位置而定，分子在空间的分布是不均匀的，需要指明分子按空间位置的分布，即要指出位置坐标分别在x到x＋dx，y到y＋dy，z到z＋dz区间内的分子数或百分比，这里dxdydz叫位置区间，而dvxdvydvz叫速度区间。
玻尔兹曼分布律描述了分子速度的哪些特征
玻尔兹曼分布律描述了分子速度的哪些特征在我们探索物质世界的微观领域时，分子的运动状态是一个极其重要的研究对象。
而玻尔兹曼分布律就像是一把神奇的钥匙，为我们揭示了分子速度的诸多特征。
要理解玻尔兹曼分布律所描述的分子速度特征，首先得明白什么是玻尔兹曼分布律。
简单来说，它是描述在热平衡状态下，分子在不同能量状态上的分布情况的规律。
分子的速度不是整齐划一的，而是呈现出各种各样的大小和方向。
玻尔兹曼分布律告诉我们，分子速度具有一定的概率分布。
这意味着在给定的条件下，某些速度出现的可能性更大，而另一些速度出现的可能性较小。
从速度大小的角度来看，玻尔兹曼分布律表明，大多数分子的速度处于一个中间范围。
也就是说，速度特别大或特别小的分子相对较少，而具有中等速度的分子占比较大。
这就好像在一个班级里，成绩特别好和特别差的学生是少数，成绩中等的学生占多数一样。
这种分布特征与温度有着密切的关系。
当温度升高时，分子的平均速度会增加，速度分布也会变得更宽。
这意味着更多的分子会具有较高的速度，同时低速度的分子数量相对减少。
反之，当温度降低时，分子的平均速度减小，速度分布变窄，高速度的分子数量大幅减少。
再从速度方向的角度来看，由于分子之间的频繁碰撞，分子速度的方向是完全随机的。
这就使得在没有外界干扰的情况下，从宏观上看，分子的运动是没有特定方向的。
玻尔兹曼分布律还揭示了分子速度与分子质量的关系。
一般来说，质量较小的分子在相同温度下往往具有更高的平均速度。
这是因为在相同的能量输入下，质量小的分子更容易被加速。
另外，玻尔兹曼分布律对于理解气体的宏观性质也有着重要的意义。
比如，气体的压强就与分子的速度分布密切相关。
分子撞击容器壁的速度和频率决定了气体对容器壁产生的压力大小。
在实际应用中，玻尔兹曼分布律在许多领域都发挥着重要作用。
在热力学和统计物理学中，它是基础理论之一，帮助我们理解和预测物质的热行为。
在化学领域，它有助于研究化学反应的速率和平衡。
气体分子运动和热力学基础(精)
第二篇气体分子运动和热力学基础热学是研究与热现象有关的物质运动规律的科学。
表示物体冷热程度的物理量是温度，把与温度有关的物理性质及状态的变化称为热现象，热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。
物体是由大量分子、原子组成的，这些微观粒子的不停的、无规则的运动称为分子热运动。
热学发展简史18世纪初，资本主义发展的初期，社会生产已有很大发展，生产中遇到的热现象增多了，因而提供不少关于热现象的知识，当时生产上需要动力，因而产生了利用热来获得机械功的企图，这样一来，开始了对热现象进行比较广泛的研究。
1714年，华伦海脱改良了水银温度计并制定了华氏温标，热学的研究从此走上实验科学的道路。
18世纪中期，瓦特制成了蒸汽机，人们多年来想利用热来获得机械功的愿望实现了。
随着蒸汽机在生产上被广泛地利用，提高效率便成为首要任务，同时也促使人们对热的本质进行深入的研究。
关于热的本质问题，有两种对立的学说：热质说——热是一种元素，它可以透入任何物体中，不生不灭，较热物体含较多的热质。
热是物质运动的一种表现，热是一种能量，能够与机械能互相转化。
热力学第一定律确立了热和机械功相互转化的数量关系，热力学第二定律告诉人们如何提高热机效率，热力学的两个基本定律都是从研究热和功的相互转化问题总结出来的，然而，热力学理论的应用远远地超出了这一问题的范围。
在热力学发展的同时，即19世纪中期，分子运动论也开始飞速地发展，为了改进热机的设计，对热机的工作物质——气体——的性质进行了广泛的研究，气体动理论便是围绕着气体性质的研究发展起来的。
克劳修斯首先从分子运动论的观点导出了玻意耳定律。
麦克斯韦最初应用统计概念研究分子的运动，得到了分子运动的速度分布定律。
玻耳兹曼认识到统计概念有原则性的意义，他给热力学第二定律以统计解释。
后来，吉布斯进一步发展了麦克斯韦和玻耳兹曼的理论，建立了系统的统计法，统计物理学至此发展成为完整的理论。
热学的研究方法：1.宏观法Macroscopic method最基本的实验规律 逻辑推理(运用数学)——称为热力学优点：具有高度的可靠性和普遍性。
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其中n0表示εp = 0处单位体积内各种速度的总分子数。
在一定的速度和坐标范围内，在一定的温度下的 平衡状态中，分子的能量越低，分子数就越多态。
{范例8.6} 玻尔兹曼分布律
d N n 0 (2 π m k T )3 /2 e x p ( k T )d v x d v y d v z d x d y d z
[解析](2)在重力场中，气体分子的密度 随高度的分布可用点的密集程度表示。
不论什么 分子，由 于重力的 作用，分 子数密度 在低空比 较大，在 高空比较 小。
氖气的分 子量比较 小，分子 数密度减 小得比较 慢，在同 样的高度 内，点数 相对比较 均匀。
氧气的 分子量 比较大， 分子数 密度减 小得比 较快， 在高空 比较稀 薄。
{范例8.6} 玻尔兹曼分布律
(1)求证：在重力场中分子数 密度按高度分布的规律为
n
n0
exp(mgz) kT
其中z是高度。
氢气、氖气、氮气、氧气和氟气的分子量分别为2，20，28， 32和38，氢气、氖气、氮气、氧气和氟气在300K时分子数密度 按高度分布的曲线有什么异同？氧气在温度100K到400K(间隔 为50K)时分子数密度按高度分布的曲线有什么异同？ (2)用点 表示分子，通过点的密集程度表示氖气，氮气和氧气分子按高 度分布的规律。(温度设为300K)
玻尔兹曼认为：气体在一定的温度下处于平衡状态时，在速
度间隔vx~vx + dvx、vy~vy + dvy、vz~vz + dvz和坐标间隔x~x + dx 、
y~ y + dy、z~z + dz中的分子数为
此式称为玻尔兹曼
d N n 0 (2 π m k T )3 /2 e x p ( k T )d v x d v y d v z d x d y d z分称布为律概，率因exp子(-。ε/kT)
n
n0
exp(mgz) kT
其中z是高度。
氢气、氖气、氮气、氧气和氟气的分子量分别为2，20，28， 32和38，氢气、氖气、氮气、氧气和氟气在300K时分子数密度 按高度分布的曲线有什么异同？氧气在温度100K到400K(间隔 为50K)时分子数密度按高度分布的曲线有什么异同？
由于势能与位置有关，因此分子在空间的分布是不均匀的。
{范例8.6} 玻尔兹曼分布律
(1)求证：在重力场中分子数 密度按高度分布的规律为
n
n0
exp(mgz) kT
其中z是高度。
氢气、氖气、氮气、氧气和氟气的分子量分别为2，20，28， 32和38，氢气、氖气、氮气、氧气和氟气在300K时分子数 密度按高度分布的曲线有什么异同？氧气在温度100K到 400K(间隔为50K)时分子数密度按高度分布的曲线有什么异 同？ (2)用点表示分子，通过点的密集程度表示氖气，氮气 和氧气分子按高度分布的规律 (温度设为300K)。
在重力场中εp = mgz，因此在高 为z处的单位体积内的分子数为
n=dxddNyB dzn0exp(m kT gz)
在重力场中，气体分子的密度随高度的增加按指数规律减小。
分子的质量越大，分子数密 度随高度减小得越快，这是 因为重力的作用越显著。
气体的温度越高，分子数随 高度减小得越慢，这是因为 分子的无规则热运动加剧。
在温度一定时，分子的平均动能是一定的， 所以，分子优先占据势能较低的位置。
如果对坐标 进行积分
N0 n0
V
exp(p )dxdydz
kT
上式就演化为麦克 斯韦速率分布律。
由于对速率的积
分是归一化的
(2π m kT)3/2exp(k T k)dvxdvydvz1
可得玻尔兹曼分 布律的常用形式
dNBn0exp(kT p)dxdydz
[解析](1)麦克斯韦的速度分布律和速 率分布律的指数中都包含动能因子
k
1 mv2 2
这是不考虑分子受外力场影响的情况。
如果分子在保守力场中运动，分子的总 能量就是动能与势能之和ε = εk + εp。 玻尔兹曼认为：指数中的动能应该用总能量代替。
{范例8.6} 玻尔兹曼分布律
(1)求证：在重力场中分子数 密度按高பைடு நூலகம்分布的规律为