第11讲 二次函数综合与提高

第11讲 二次函数综合与提高

知识要点梳理

1.二次函数解析式的表示方法

（1）一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； （2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）又叫交点式。 2.二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1） 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。a 越大，开口越小． （2） 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．

ab 的符号的判定：对称轴a

b

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．即抛物线过点),0(c

（4）赋值法：如c b a ++即为1=x 时的函数值，c b a +-即为1-=x 时的函数值 经典例题

例1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x 轴交于点（-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）； （4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．

针对练习

1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；

2.已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。

例2.如图所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧道宽AA1为16米。

（1）求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式；

（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。

例3．（湖北省咸宁）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．

（1）证明：243c b =；

（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．

例 4.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线212

12

++-=x x y 的一部分（单位：米），根据关系式回答： （1） 该同学的出手最大高度是多少？

（2） 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ （3） 该同学的成绩是多少？（参考数据87.315=） 针对练习

某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是4

5

22

+

+-=x x y 。请回答下列问题： （1）柱子OA 的高度是多少米？

（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

x

y

O 经典练习

1.二次函数c bx ax y +-=2

的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的图象不经过 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2.已知抛物线c bx ax y ++=2

的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） Ａ.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b a C.0,0,0=<>c b a

D.0,0,0<<>c b a

3.已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．0>++c b a B ．a b 2-> C ．0>+-c b a

D ．0

4.当0

在同一坐标系内的图象可能是（ ）

5.抛物线c bx ax y ++=2

中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论：①0>c ； ②0>++c b a

③0>+-c b a ④042

<-ac b

⑤0

⑥c a >

4

；其中正确的为（

） A ．①② B ．①④ C ．①②⑥ D ．①③⑤

6.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号；

②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同；

③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x 的值只能取0； 其中正确的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线bc ax y +=不经过（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C 第三象限．

D ．第四象限

8.抛物线772

--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．4

7-

≥k B ．47-

≥k 且0≠k C ．4

7->k D ．4

7

-

>k 且0≠k

9.二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，当0y <时，

x 的取值范围是（ ）

A ．13x -<<

B ．3x >

C ．1x <-

D ．3x >或1x <-

10若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2

)2(则b 、k 的值分别为（ ） （A ）0，5 （B ）0，1 （C ）—4，5 （D ）—4，1

11.若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 13 10

15 1412.已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于49

25

，则m 的值为( )

A.－2

B.12

C.24

D.48

13.抛物线c bx x y ++=2

的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 14.若二次函数332

-+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

15.已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －

1

4

的顶点的横坐标是2，则m 的值是_______. 16.已知二次函数3222

++-=a ax x y ，当a 时，该函数y 的最小值为0。

x

y

O 3

1- 第9题