电磁场与电磁波理论基础 第二章 课后答案

u=0
∂u 1 ∂u ∂u E = −∇u = − e ρ + eϕ + e z ρ ∂ϕ ∂z ∂ρ
得到 题 2-9 图
E = −∇u = 0, ρ ≤ a
a2 a2 E = − A 1 + 2 cos ϕ e ρ + A 1 − 2 sin ϕ eϕ , ρ ≥ a ρ ρ
代入得到
2 2
r1
-2 q
Y
S1 (-a, 0 , 0)
X
S 2 (a, 0, 0)
题 2-7 图
u (r ) =
q 4πε 0
1
( x + a)
2
+ y2 + z2
−
2 2 2 ( x − a) + y + z 2
电位为零，即令
q u (r ) = 4πε 0
∂u2 =0 ∂x
代入，得到
ρ S下 = −ε 0
∂u1 ∂x
=
x =0
ρd ρd ε U ε U x2 − 0 0 + 0 = − 0 0 + 0 2d 6 x =0 6 d d
ρ0
对于上极板，导体中的电位为常数
u1 = U 0
有
∂u1 =0 ∂x
上极板下表面电荷密度为
l
场分布具有柱对称性，电通密度矢量 D 仅有 e ρ 分量，由 高斯定理 题 2-15 图
D ⋅ dS = ρ
(S ) (V )
V
dV
取圆柱面为高斯面，有
2π
Dρ ρ ldϕ = 20 ρ e
0 0 0
2π ρ
−ρ
ρ ld ϕ d ρ
2πρ lDρ =
2π ρ
20 ρ e
b b
U = ò E ⋅ dl = ò
a a
arS 1 ar ar b 1 eρ ⋅ eρ d r = S 1 ò d r = S 1 ln a e0r e0 a r e0
b
（3）要使 ρ > b 区域内的电场强度为零，由上述情况③的结果可知，必须满足
a ρ S 1 + bρ S 2 = 0
2-9．电场中有一半径为 a 的圆柱体，已知圆柱内、外 的电位为
D ⋅ dS = 2π l ρ Dρ = Q = 2π al ρ
(S )
S1
+ 2π bl ρ S 2
Dρ =
a ρ S1 + bρ S 2
ρ
D =
a ρ S1 + bρ S 2
ρ
eρ
E =
a ρ S1 + bρ S 2
ε0ρ
eρ
（2）求两导体间的电压，由电位与电场强度之间的关系（此时电场强度须使用情况②时电 场强度的值） ，可以得到
2-11．两无限大平行板电极，距离为 d，电位分别为 0 和 U0，两板间充满电荷密度为 ρ 0 x / d 的介质，如 图所示。求两极板间的电位分布和极板上的电荷密 度。 解 由于两无限大平板间存在电荷密度分布， 电 位函数满足泊松方程。又平板沿 Y 和 Z 方向无穷大， 电位分布与 x 和 z 无关，因此，有
第二章 静电场 2-1． 已知半径为 r = a 的导体球面上分布着面电荷密度为
ρ S = ρ S 0 cos ϑ 的电荷，式中的 ρ S 0 为常数，试计算球面
上的总电荷量。 解 取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。由 球面积分，得到
2p p
r 2 sin qd qd j
q
j
r=a
Q = òò r S dS = ò
3 3 − − 2 2 + − y ( x + a ) + y 2 + z 2 2 + 2 y ( x − a ) + y 2 + z 2 2 e y 3 3 − − 2 2 + − z ( x + a ) + y 2 + z 2 2 + 2 z ( x − a ) + y 2 + z 2 2 e z
D ⋅ dS =
(S )
l
0 0

2π
Dρ eρ ⋅ eρ ρ dϕ dz = 2π l ρ Dρ = Q
其中 Q 为高斯面 S 内包围的总自由电荷。 （1）求空间各处的电场强度，分为三种情况 ①当 0 < ρ < a ，即内导体内部，此时 Q = 0 ，故有 Dρ = 0 D = 0 E = 0
=0 − 2 2 2 2 2 2 ( x + a) + y + z ( x − a) + y + z 1 2
简化可得零电位面方程为
( 3x + a )( x + 3a ) + 3 y 2 + 3z 2 = 0
根据电位与电场强度的关系，有
∂u ∂u ∂u E(r ) = −∇u (r ) = − e x + e y + e z ∂y ∂z ∂x 3 3 − − q 2 2 2 2 2 2 2 2 e =− − x + a) ( x + a) + y + z + 2( x − a) ( x − a) + y + z ( x 4πε 0
+r s
E2
E1
电，面密度为 -r S 。 对于单一均匀带电无限大平面，根据书上例 2.2 得到的推论，无限大带电平面的电场表达式为
-r s
E3
E=
rS 2e 0 rS , E3 = 0 e0
题 2-2 图
对于两个相距为的 d 无限大均匀带电平面，根据叠加原理
E1 = 0, E2 =
Z
S1 (0 ,0, 4)
②当 a <
ρ < b ，此时 Q = 2π al ρ S1 ，由高斯定理可得
D ⋅ dS = 2π l ρ Dρ = Q = 2π al ρ
(S )
S1
Dρ =
a ρS1
ρ
D =
a ρS1
ρ
eρ
E =
a ρS1ε0ρ来自eρ③当 ρ > b ，此时高斯面内的 Q = 2π al ρ S 1 + 2π bl ρ S 2 ，由高斯定理可得
U0
ρ0 x
d
题 2-11 图
ρ ρ d 2u =− V =− 0 x 2 ε0 ε 0d dx
且满足边界条件
u x =0 = 0 u x = d = U 0
求解二阶常微分方程，得到
u =应用边界条件，有
1 r0 3 x + c1 x + c2 6 e0 d
ì u = 0, c2 = 0 ï ï ï x =0 rd U í u x=d = U 0 , c1 = 0 + 0 ï ï 6e 0 d ï ï î
此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。 2-8. 两无限长同轴圆柱导体，半径分别为 a 和 b (a < b) ，内外导体间为空气，如题 2-8 所 示。设同轴圆柱导体的电荷均匀分布，其电荷面密度分别为 ρ S 1 和 ρ S 2 ，求： （1）空间各处 的电场强度； （2）两导体间的电压； （3）要使 ρ > b 区域内的电场强度等于零，则 ρ S 1 和 ρ S 2 应满足什么关系？ 解 根据内外导体表面的电荷分布， 可判断出空间电场分布具有柱对称性。 在柱坐标中， 作一长度为 l ， 半径为 ρ 的同轴圆柱形闭合高斯面 S ， 则在 S 侧面上 D 的大小处处相等，D 的方向均沿 eρ 方向。而在 S 的两端面上，由于 D 与端面方向垂直，故 D 对两端面的通量贡 献为零。根据高斯定理，我们可以得到
要是电场强度为零，必有
Ex = 0 , E y = 0 , Ez = 0
即
3 3 − − 2 2 2 2 2 2 2 2 − ( x + a ) ( x + a ) + y + z + 2 ( x − a ) ( x − a ) + y + z = 0 3 3 − − 2 2 2 2 2 2 2 2 x a y z x a y z y y 2 − + + + =0 + + + − ) ) ( ( 3 3 − − 2 2 2 2 2 2 2 2 − z ( x + a ) + y + z + 2 z ( x − a ) + y + z = 0
1 q1 q2 u (r ) = + 4πε 0 R1 R2
式中
+q
Z
P ( x, y,z )
R1
r
r2
o
R2
R1 = r - r1 = ( x + a ) e x + ye y + e z R1 = ( x + a ) + y 2 + z 2 R 2 = r - r2 = ( x - a ) e x + ye y + e z R2 = ( x - a ) + y 2 + z 2
ρ S上 = ε 0
∂u2 ∂x
= ε0
x=d
∂u ∂x
=
x =d
ε 0U 0
d
−
ρ0 d
3
r
ρV = 20 ρ e− ρ dr